六年级奥数题最值问题B.docx

资源描述

六年级奥数题最值问题B.docx

《六年级奥数题最值问题B.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《六年级奥数题最值问题B.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

六年级奥数题最值问题B.docx

六年级奥数题最值问题B

2019年六年级奥数题：

最值问题（B）

一、填空题

1.下面算式中的两个方框内应填,才能使这道整数除法题的余数最大.□÷25=104…□

2.在混合循环小数2.718281的某一位上再添上一个表示循环的圆点,使新产生的循环小数尽可能大.写出新的循环小数:

3.一个整数乘以13后,乘积的最后三位数是123,那么这样的整数中最小的是.

4.将37拆成若干个不同的质数之和,使得这些质数的乘积尽可能大,那么,这个最大乘积等于.

5.一个五位数,五个数字各不同,且是13的倍数.则符合以上条件的最小的数是.

6.把1、2、3、4…、99、100这一百个数顺序连接写在一起成一个数.

Z=1234567891011…9899100

从数Z中划出100个数码,把剩下的数码顺序写成一个

要求

尽可能地大.请依次写出

的前十个数码组成一个十位数.

7.用铁丝扎一个空心的长方体,为了使长方体的体积恰好是216cm3,长方体的长,宽,高各是cm时,所用的铁丝长度最短.

8.若一个长方体的表面积为54平方厘米,为了使长方体的体积最大,长方体的长,宽,高各应为厘米.

9.把小正方体的六个面分别写上1、2、3、4、5、6.拿两个这样的正方体,同时掷在桌子上.每次朝上的两个面上的数的和,最小可能是.最大可能是,可能出现次数最多的两个面的数的和是.

10.将进货的单价为40元的商品按50元售出时,每个的利润是10元,但只能卖出500个,已知这种商品每个涨价1元,其销售量就减少10个.为了赚得最多的利润,售价应定为.

二、解答题

11.王大伯从家（A点处）去河边挑水,然后把水挑到积肥潭里（B点处）.请帮他找一条最短路线,在下图表示出来,并写出过程.

12.某公共汽车线路上共有15个车站（包括起点站和终点站）,公共汽车从起点站到终点站的行驶过程中,每一站（包括起点站）上车的人中恰好在以后的各站都各有1人下车,要使汽车在行驶中乘客都有座位,那么在车上至少要安排乘客座位多少个?

13.有一块长24厘米的正方形厚纸片,如果在它的四个角各剪去一个小正方形,就可以做成一个无盖的纸盒,现在要使做成的纸合容积最大,剪去的小正方形的边长应为几厘米?

14.某公司在A,B两地分别库存有某机器16台和12台,现要运往甲乙两家客户的所在地,其中甲方15台,乙方13台.已知从A地运一台到甲方的运费为5百元,到乙方的运费为4百元,从B地运一台到甲方的运费为3百元,到乙方的运费为6百元.已知运费由公司承担,公司应设计怎样的调运方案,才能使这些机器的总运费最省?

———————————————答案——————————————————————

1.2426和24

因为除数是25,余数最大应是24,所以被除数为25⨯104+24=2426.算式应为2624÷25=104…24.

3.471

设这个整数为1000K+123,其中K是整数.因1000K+123=（1001K+117）+（K-6）,1001K和117都是13的倍数,因而（K-6）是13的倍数,K的最小值是6,这个数为6123,6123÷13=471.

4.2618

因37=17+11+7+2,它们的积为17⨯11⨯7⨯2=2618.

5.10257

五位数字各不相同的最小的五位数是10234.10234÷13=787…3.故符合题意的13的最小倍数为788.

验算:

13⨯788=10244有两个重复数字,不合题意,13⨯789=10257符合题意.

6.9999978956

由计算可知,Z共有192位数,去掉100位数码,还剩92个数字,所以

是92位数.对

来说,前面的数字9越多,该数越大.因此

中开头应尽可能多保留9.在Z中先划去第一个9前的8个数码,再分别划去第二个9、第三个9、第四个9、第五个9前各19个数码，这时共划去了84个数,这时得到的数是:

99999505152535455565758596061……

还需要划去16个数码,第六个9前面有19个小于9的数码,划掉7以前的6和6以下的所有数码,这样又划掉16个数码,还剩下7、8、5等3个数码,新组成的数为:

999997859606162…99100,前十个数码组成的十位数是9999978596.

7.6,6,6

设长方体的长、宽、高分别为xcm,ycm和zcm.则有xyz=216.

铁丝长度之和为（4x+4y+4z）cm,故当x=y=z=6时,所用铁丝最短.

8.3,3,3

设长、宽、高分别为x、y、z厘米,体积为V厘米3,则有2（xy+yz+zx）=54,从而xy+yz+zx=27.因V2=（xyz）2=（xy）（yz）（zx）,故当xy=yz=zx即x=y=z=3时,V2有最大值,从而V也有最大值.

9.7

每次朝上的两个面上的和,最小可能是2,这时两个面都出现1,最大可能是12.

以朝上的两个面上的数为加数,依次列出的加法算式共有6⨯6=36个,其中和为7的算式共有6个:

6+1,5+2,4+3,3+4,2+5,1+6.故每次朝上的两个面上的数的和,可能出现的次数最多是7.

10.20元

设每个商品售价为（50+x）元,则销量为（500-10x）个,总共可获利（50+x-40）⨯（500-10x）=10⨯（10+x）⨯（50-x）元.因（10+x）+（50-x）=60为一定值.故当10+x=50-x,即x=20时,它们的积最大.

11.以河流为轴,取A点的对称点C,连结BC与河流相交于D点,再连续AD.则王大伯可沿着AD走一条直线去河边D点挑水,然后再沿DB走一条直线到积肥潭去.这就是一条最短路线.

12.从第一站开始,车上人数为1⨯14,到第二站时,车上人数为2⨯13,依次可算出以下各站车上人数为3⨯12、4⨯11、5⨯10、6⨯9、7⨯8、8⨯6…车上最多的人数为56人,故车上至少应安排乘客座位56个.

13.如图,设剪去的小正方形边长为x厘米,则纸盒容积为:

V=x（24-2x）（24-2x）=2⨯2x（12-x）（12-x）

因2x+（12-x）+（12-x）=24是一个定值,故当2x=12-x时,即x=4时,其乘积最大从而纸盒容积也最大.

14.设由A地运往甲方x台,则A地运往乙方（16-x）台,B地运往甲方

（15-x）台,B地运往乙方（x-3）台.于是总运价为（单位:

元）:

S=500x+400（16-x）+300（15-x）+600（x-3）=400x+9100.

显然x满足不等式

.故当x=3时,总运费最省,为400⨯3+9100=10300（元）.

附送：

2019年六年级奥数题：

染色问题（A）

（编者按:

由于内容本身的限制,本讲不设填空题）

1.某影院有31排,每排29个座位.某天放映了两场电影,每个座位上都坐了一个观众.如果要求每个观众在看第二场电影时必须跟他（前、后、左、右）相邻的某一观众交换座位,这样能办到吗?

为什么?

2.如图是一所房子的示意图,图中数字表示房间号码,每间房子都与隔壁的房间相通.问能否从1号房间开始,不重复的走遍所有房间又回到1号房间?

3.在一个正方形的果园里,种有63棵果树、加上右下角的一间小屋,整齐地排列成八行八列（见图（a））.守园人从小屋出发经过每一棵树,不重复也不遗漏（不许斜走）,最后又回到小屋,行吗?

如果有80棵果树,连小屋在内排成九行九列（图（b））呢?

（a）（b）

4.一个8⨯8国际象棋（下图）去掉对角上两格后,是否可以用31个2⨯1的“骨牌”（形如）把象棋盘上的62个小格完全盖住?

5.如果在中国象棋盘上放了多于45只马,求证:

至少有两只马可以“互吃”.

6.空间6个点,任三点不共线,对以它们为顶点的线段随意涂以红色或蓝色,是否必有两个同色三角形?

7.如图,把正方体分割成27个相等的小正方体,在中心的那个小正方体中有一只甲虫,甲虫能从每个小正方体走到与这个正方体相邻的6个小正方体中的任一个中去.如果要求甲虫能走到每个小正方体一次,那么甲虫能走遍所有的正方体吗?

8.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回答下面的问题:

一只马从起点出发,跳了n步又回到起点.证明:

n一定是偶数.

9.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回答下面的问题:

一只马能否跳遍这半张棋盘,每一点都不重复,最后一步跳回起点?

10.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回答下面的问题:

证明:

一只马不可能从位置B出发,跳遍半张棋盘而每个点都只经过一次（不要求最后一步跳回起点）.

11.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回答下面的问题:

一只马能否从位置B出发,用6步跳到位置A?

为什么?

12.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回答下面的问题:

一只车从位置A出发,在这半张棋盘上走,每步走一格,走了若干步后到了位置B.证明:

至少有一个格点没被走过或被走了不止一次.

13.8⨯8的国际象棋棋盘能不能被剪成7个2⨯2的正方形和9个4⨯1的长方形?

如果可以,请给出一种剪法;如果不行,请说明理由.

14.（表1）是由数字0,1交替构成的,（表2）是由（表1）中任选、、

三种形式组成的图形,并在每个小方格全部加1或减1,如此反复多次进行形成的,试问（表2）中的A格上的数字是多少?

并说明理由.

表1

表2

———————————————答案——————————————————————

1.把影院的座位图画成黑白相间的矩形.（29⨯31）,共有899个小方格.不妨假定四角为黑格,则共有黑格450个,白格449个.

要求看第二场电影,每位观众必须跟他相邻的某一观众交换位置,即要求每一黑白格必须互换,因黑白格的总数不相等,因此是不可能的.

2.将编号为奇数的房间染成黑色,编号为偶数的房间染成白色.从1号房间出发,只能按黑白黑白……的次序,当走遍九个房间时应在黑色房间中,这个房间不与1号房间相邻,故不能不重复地走遍所有房间又回到1号房间.

3.图（a）行,走法如图所示.

图（a）

图（b）不行,将小屋染成黑色,果树染成黑白相间的颜色,则图（b）中有41个黑色的,40个白色的.从小屋出发,按黑白黑白……的次序,当走遍80棵树后,到达的树的颜色还是黑色,与小屋不相邻,故不可能最后回到小屋.

4.不能.原因是每一个2⨯1的矩形骨牌一定恰好盖住一个黑格和一个白格,31个这样的骨牌恰好盖住31个黑格和31个白格.

但是国际象棋棋盘上对角两格的颜色是相同的,把它们去掉后剩下的是30个白格,32个黑格,或32个白格,30个黑格,因此不能盖住.

5.中国象棋棋盘上有90个交叉点,把棋盘分成10个小部分,每部分有3⨯3=9个交叉点,由抽屉原则知,至少有一个小部分内含有6只马.

将这一小部分的9个交叉点分别涂上黑色及白色.总有两只马在不同颜色交叉点上,故一定有两只马“互吃”.

6.设这六个点为A、B、C、D、E、F.我们先证明存在一个同色的三角形:

考虑由A点引出的五条线段AB、AC、AD、AE、AF,其中必有三条被染成了相同的颜色,不妨设AB、AC、AD三条同为红色.再考虑三角形BCD的三边:

若其中有一条为红色,则存在一个红色三角形;若这三条都不是红色,则三角形BCD为蓝色三角形.

下面再来证明有两个同色三角形,不妨设三角形ABC的三边同为红色.

（1）若三角形DEF也是红色三角形,则存在两个同色三角形.

（2）若三角形DEF中有一条边为蓝色（不妨设DE）,下面考虑DA、DB、DC三

条线段，其中必有两条同色.

①若其中有两条是红色的,如DA、DB是红色的,则三角形DAB为第二个同色三角形（图1）.

②若其中有两条是蓝色的,设DA、DB为蓝色（图2）.此时在EA、EB两条线段中,若有一条为蓝色,则存在一个蓝色三角形;若两条都是红色的,则三角形EAB为红色三角形.

综上所述,一定有两个同色三角形.

7.甲虫不能走遍所有的立方体.

我们将大正方体如图分割成27个小正方体,涂上黑白相间的两种颜色,使得中心的小正方体染成白色,再使两个相邻的小正方体染上不同的颜色.显然在27个小正文体中,14个是黑的,13个是白的.甲虫从中间的白色正方体出发,每走一步,小正方体就改变一种颜色.故它走27步,应该经过14个白色的小正方体,13个黑色的小正方体.因此在27步中至少有一个白色的小正方体,甲虫进去过两次.故若要求甲虫到每个小正方体只去一次,甲虫就不能走遍所有的小正方体.

8.将棋盘上的各点按黑白相间的方式染上黑白二色.

由“马步”的行走规则,当“马”从黑点出发,下一步只能跳到白点,以后依次是黑、白、黑、白……要回到原出发点（黑点）,它必须跳偶数步.

9.不能.半张象棋盘共有45个格点,马从起点出发跳遍半张棋盘,则起点与最后一步同色.故不可能从最后一步跳回起点.

10.与B点同色的点（白点）有22个,异色的点（黑色）有23个.马从B点出发,跳了42步时,已经跳遍了所有的白色,还剩下两个黑点,但是马不能够连续跳过两个黑点.

11.不能.因为A、B两点异色,从B到A所跳的步数是一个奇数.

12.“车”每走一步,所在的格点就会改变一次颜色.因A、B两点异色,故从A到B“车”走的步数是一个奇数.但半张棋盘共有45个格点,不重复地走遍半张棋盘要44步，但44是一个偶数.

13.如图对8⨯8的棋盘染色,则每一个4⨯1的长方形能盖住2白2黑小方格,而每一个2⨯2的正方形能盖住1白3黑或1黑3白小方格,那么7个2⨯2的正方形盖住的黑色小方格数总是一个奇数,但图中黑格数为32是一个偶数.故这种剪法是不存在的.

14.如下图所示,将表

（1）黑白相间地染色.

表

（1）

本题条件允许如图所示的6个操作,这6个操作无论实行在那个位置上,白格中的数字之和减去黑格中的数字之和总是一个常数,所以表1中白格中数字之和与黑格中数字之和的差即32,等于表2中白格中数字之和与黑格中数字之和的差即（31+A）-32,于是（31+A）-32=32,故A=33.

展开阅读全文