同济大学第六版高等数学课后答案全集.docx
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同济六版高等数学课后答案全集
上册第一章
习题1-1
1.设A=（-¥,-5）È（5,+¥）,B=[-10,3）,写出AÈB,AÇB,A\B及A\（A\B）的表达式.
解AÈB=（-¥,3）È（5,+¥）,
AÇB=[-10,-5）,
A\B=（-¥,-10）È（5,+¥）,
A\（A\B）=[-10,-5）.
2.设A、B是任意两个集合,证明对偶律:
（AÇB）C=ACÈBC.
证明因为
xÎ（AÇB）CÛxÏAÇBÛxÏA或xÏBÛxÎAC或xÎBCÛxÎACÈBC,所以（AÇB）C=ACÈBC.
3.设映射f:
X®Y,AÌX,BÌX.证明
（1）f（AÈB）=f（A）Èf（B）;
（2）f（AÇB）Ìf（A）Çf（B）.
证明因为
yÎf（AÈB）Û$xÎAÈB,使f（x）=y
Û（因为xÎA或xÎB）yÎf（A）或yÎf（B）
ÛyÎf（A）Èf（B）,
所以f（AÈB）=f（A）Èf（B）.
（2）因为
yÎf（AÇB）Þ$xÎAÇB,使f（x）=yÛ（因为xÎA且xÎB）yÎf（A）且yÎf（B）ÞyÎf（A）Çf（B）,
所以f（AÇB）Ìf（A）Çf（B）.
4.设映射f:
X®Y,若存在一个映射g:
Y®X,使gof=IX,fog=IY,其中IX、IY分别是X、Y上的恒等映射,即对于每一个xÎX,有IXx=x;对于每一个yÎY,有IYy=y.证明:
f是双射,且g是f的逆映射:
g=f-1.
证明因为对于任意的yÎY,有x=g（y）ÎX,且f（x）=f[g（y）]=Iyy=y,即Y中任意元素都是X中某元素的像,所以f为X到Y的满射.
又因为对于任意的x1¹x2,必有f（x1）¹f（x2）,否则若f（x1）=f（x2）Þg[f（x1）]=g[f（x2）]Þx1=x2.
因此f既是单射,又是满射,即f是双射.
对于映射g:
Y®X,因为对每个yÎY,有g（y）=xÎX,且满足f（x）=f[g（y）]=Iyy=y,按逆映射的定义,g是f的逆映射.
5.设映射f:
X®Y,AÌX.证明:
（1）f-1（f（A））ÉA;
（2）当f是单射时,有f-1（f（A））=A.
证明
（1）因为xÎAÞf（x）=yÎf（A）Þf-1（y）=xÎf-1（f（A））,
所以f-1（f（A））ÉA.
（2）由
（1）知f-1（f（A））ÉA.
另一方面,对于任意的xÎf-1（f（A））Þ存在yÎf（A）,使f-1（y）=xÞf（x）=y.因为yÎf（A）且f是单射,所以xÎA.这就证明了f-1（f（A））ÌA.因此f-1（f（A））=A.6.求下列函数的自然定义域:
（1）y=x+2;
解由3x+2³0得x>-2.函数的定义域为[-2,+¥）.33
（2）y=1
2;1-x
解由1-x2¹0得x¹±1.函数的定义域为（-¥,-1）È（-1,1）È（1,+¥）.
（3）y=1--x2;x
解由x¹0且1-x2³0得函数的定义域D=[-1,0）È（0,1].
（4）y=1;4-x2
解由4-x2>0得|x|<2.函数的定义域为（-2,2）.
（5）y=sinx;
解由x³0得函数的定义D=[0,+¥）.
（6）y=tan（x+1）;
解由x+1¹p（k=0,±1,±2,×××）得函数的定义域为x¹kp+p-1（k=0,±1,±2,××22
×）.
（7）y=arcsin（x-3）;
解由|x-3|£1得函数的定义域D=[2,4].
（8）y=-x+arctan1;x
解由3-x³0且x¹0得函数的定义域D=（-¥,0）È（0,3）.
（9）y=ln（x+1）;
解由x+1>0得函数的定义域D=（-1,+¥）.
（10）y=ex.
解由x¹0得函数的定义域D=（-¥,0）È（0,+¥）.
7.下列各题中,函数f（x）和g（x）是否相同？
为什么？
（1）f（x）=lgx2,g（x）=2lgx;
（2）f（x）=x,g（x）=x2;
（3）f（x）=x4-x3,g（x）=xx-1.
（4）f（x）=1,g（x）=sec2x-tan2x.
解
（1）不同.因为定义域不同.
（2）不同.因为对应法则不同,x<0时,g（x）=-x.
（3）相同.因为定义域、对应法则均相相同.
（4）不同.因为定义域不同.
ì|sinx||x|的图形.
解j（p）=|sinp|=1,j（p）=|sinp|=,j（-p）=|sin（-p）|=,j（-2）=0.442442662
9.试证下列函数在指定区间1-x
（2）y=x+lnx,（0,+¥）.
证明
（1）对于任意的x1,x2Î（-¥,1）,有1-x1>0,1-x2>0.因为当x1所以函数y=x在区间（-¥,1）1-x
（2）对于任意的x1,x2Î（0,+¥）,当x1y1-y2=（x1+lnx1）-（x2+lnx2）=（x1-x2）+lnx<0,x2
所以函数y=x+lnx在区间（0,+¥）11.设下面所考虑的函数都是定义在对称区间（-l,l）上的,证明:
（1）两个偶函数的和是偶函数,两个奇函数的和是奇函数;
（2）两个偶函数的乘积是偶函数,两个奇函数的乘积是偶函数,偶函数与奇函数的乘积是奇函数.
证明
（1）设F（x）=f（x）+g（x）.如果f（x）和g（x）都是偶函数,则
F（-x）=f（-x）+g（-x）=f（x）+g（x）=F（x）,
所以F（x）为偶函数,即两个偶函数的和是偶函数.
如果f（x）和g（x）都是奇函数,则
F（-x）=f（-x）+g（-x）=-f（x）-g（x）=-F（x）,
所以F（x）为奇函数,即两个奇函数的和是奇函数.
（2）设F（x）=f（x）×g（x）.如果f（x）和g（x）都是偶函数,则
F（-x）=f（-x）×g（-x）=f（x）×g（x）=F（x）,
所以F（x）为偶函数,即两个偶函数的积是偶函数.
如果f（x）和g（x）都是奇函数,则
F（-x）=f（-x）×g（-x）=[-f（x）][-g（x）]=f（x）×g（x）=F（x）,
所以F（x）为偶函数,即两个奇函数的积是偶函数.
如果f（x）是偶函数,而g（x）是奇函数,则
F（-x）=f（-x）×g（-x）=f（x）[-g（x）]=-f（x）×g（x）=-F（x）,
所以F（x）为奇函数,即偶函数与奇函数的积是奇函数.
12.下列函数中哪些是偶函数,哪些是奇函数,哪些既非奇函数又非偶函数？
（1）y=x2（1-x2）;
（2）y=3x2-x3;
（3）y=1-x
2;1+x
（4）y=x（x-1）（x+1）;
（5）y=sinx-cosx+1;
x-xa+a（6）y=.2
解
（1）因为f（-x）=（-x）2[1-（-x）2]=x2（1-x2）=f（x）,所以f（x）是偶函数.
（2）由f（-x）=3（-x）2-（-x）3=3x2+x3可见f（x）既非奇函数又非偶函数.
1-（-x）21-x2==f（x）,所以f（x）是偶函数.（3）因为f（-x）=221+x1+-x2
（4）因为f（-x）=（-x）（-x-1）（-x+1）=-x（x+1）（x-1）=-f（x）,所以f（x）是奇函数.
（5）由f（-x）=sin（-x）-cos（-x）+1=-sinx-cosx+1可见f（x）既非奇函数又非偶函数.
（-x）-（-x）-xxa+aa+a（6）因为f（-x）===f（x）,所以f（x）是偶函数.22
13.下列各函数中哪些是周期函数？
对于周期函数,指出其周期:
（1）y=cos（x-2）;
解是周期函数,周期为l=2p.
（2）y=cos4x;
解是周期函数,周期为l=p.2
（3）y=1+sinpx;
解是周期函数,周期为l=2.
（4）y=xcosx;
解不是周期函数.
（5）y=sin2x.
解是周期函数,周期为l=p.
14.求下列函数的反函数:
（1）y=x+1错误！
未指定书签。
错误！
未指定书签。
;
解由y=x+1得x=y3-1,所以y=x+1的反函数为y=x3-1.
（2）y=1-x错误！
未指定书签。
;1+x
1-y解由y=1-x得x=,所以y=1-x的反函数为y=1-x.1+y1+x1+x1+x
（3）y=ax+b（ad-bc¹0）;cx+d
-dy+b解由y=ax+b得x=,所以y=ax+b的反函数为y=-dx+b.cy-acx+dcx+dcx-a
（4）y=2sin3x;
y解由y=2sin3x得x=1arcsin,所以y=2sin3x的反函数为y=1arcsinx.3232
（5）y=1+ln（x+2）;
解由y=1+ln（x+2）得x=ey-1-2,所以y=1+ln（x+2）的反函数为y=ex-1-2.
x2（6）y=x.2+1
xxy2x.解由y=2得,所以的反函数为x=logy=y=log221-y1-x2x+12x+1
15.设函数f（x）在数集X上有定义,试证:
函数f（x）在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界.
证明先证必要性.设函数f（x）在X上有界,则存在正数M,使|f（x）|£M,即-M£f（x）£M.这就证明了f（x）在X上有下界-M和上界M.
再证充分性.设函数f（x）在X上有下界K1和上界K2,即K1£f（x）£K2.取M=max{|K1|,|K2|},则-M£K1£f（x）£K2£M,
即|f（x）|£M.
这就证明了f（x）在X上有界.
16.在下列各题中,求由所给函数复合而成的函数,并求这函数分别对应于给定自变量值x1和x2的函数值:
（1）y=u2,u=sinx,x1=p,x2=p;63
解y=sin2x,y1=sin2p=（12=1,y2=sin2p=（）2=3.324624
（2）y=sinu,u=2x,x1=p,x2=p;84
解y=sin2x,y1=sin（2×p）=sinp=,y2=sin（2×p）=sinp=1.84242
（3）y=,u=1+x2,x1=1,x2=2;
解y=+x2,y1=+12=,y2=+22=.
（4）y=eu,u=x2,x1=0,x2=1;
解y=ex,y1=e0=1,y2=e1=e.
（5）y=u2,u=ex,x1=1,x2=-1.
解y=e2x,y1=e2×1=e2,y2=e2×（-1）=e-2.
17.设f（x）的定义域D=[0,1],求下列各函数的定义域:
（1）f（x2）;
解由0£x2£1得|x|£1,所以函数f（x2）的定义域为[-1,1].
（2）f（sinx）;
解由0£sinx£1得2np£x£（2n+1）p（n=0,±1,±2×××）,所以函数f（sinx）的定义域为
[2np,（2n+1）p]（n=0,±1,±2×××）.
（3）f（x+a）（a>0）;
解由0£x+a£1得-a£x£1-a,所以函数f（x+a）的定义域为[-a,1-a].
（4）f（x+a）+f（x-a）（a>0）.
解由0£x+a£1且0£x-a£1得:
当01时,无解.因此22
当01时函数无意义.22
ì1|x|<1ï18.设f（x）=í0|x|=1,g（x）=ex错误！
未指定书签。
求f[g（x）]和g[f（x）],并
ïî-1|x|>1222
作出这两个函数的图形.
ì1|ex|<1ì1x<0ïï解f[g（x）]=í0|ex|=1,即f[g（x）]=í0x=0.
ï-1|ex|>1ïî-1x>0î
ìe1|x|<1ìe|x|<1ïï1,即g[f（x）]=í1|x|=1.g[f（x）]=ef（x）=íe0|x|=
-1ïe-1|x|>ï1îe|x|>1î
19.已知水渠的横断面为等腰梯形,斜角j=40°（图1-37）.当过水断面ABCD的面积为定值S0时,求湿周
L（L=AB+BC+CD）与水深h之间的
函数关系式,并指明其定义域.
图1-37
解BC=AB=DC=hsin40,又从1h[BC+（BC+2cot40o×h）]=S02得So-cot40×h,所以h
S2-cos40o
L=+h.hsin40
自变量h的取值范围应由不等式组
Soh>0,0-cot40×h>0h
确定,定义域为020.收敛音机每台售价为90元,成本为60元.厂方为鼓励销售商大量采购,决定凡是订购量超过100台以上的,每多订购1台,售价就降低1分,但最低价为每台75元.
（1）将每台的实际售价p表示为订购量x的函数;
（2）将厂方所获的利润P表示成订购量x的函数;
（3）某一商行订购了1000台,厂方可获利润多少？
解
（1）当0£x£100时,p=90.
令0.01（x0-100）=90-75,得x0=1600.因此当x³1600时,p=75.
当100p=90-（x-100）´0.01=91-0.01x.
综合上述结果得到
ì900£x£100ïp=í91-0.01x100ï75x³1600î
30x0£x£100ìï
（2）P=（p-60）x=í31x-0.01x2100ï15xx³1600î（3）P=31´1000-0.01´10002=21000（元）.
习题1-2
1.观察一般项xn如下的数列{xn}的变化趋势,写出它们的极限:
（1）xn=1
;2
1=0.解当n®¥时,xn=1®0,limn®¥2n2n
（2）xn=（-1）n1;n
解当n®¥时,xn=（-1）n1®0,lim（-1）n1=0.n®¥nn
（3）xn=2+1;n
1）=2.解当n®¥时,xn=2+1®2,lim（2+n®¥nn（4）xn=n-1;n+1
解当n®¥时,xn=n-1=1-2®0,limn-1=1.n®¥n+1n+1n+1
（5）xn=n（-1）n.
解当n®¥时,xn=n（-1）n没有极限.
cos.问limx=?
求出N,使当n>N时,x与其2.设数列{xn}的一般项xn=nnn®¥n
极限之差的绝对值小于正数e,当e=0.001时,求出数N.解limxn=0.n®¥
||co£1."e>0,要使|x-0|1.取|xn-0|=nnnne
N=1,e
则"n>N,有|xn-0|当e=0.001时,N=[1]=1000.3.根据数列极限的定义证明:
（1）lim1=0;n®¥n分析要使|1
2-0|=1
21,即n>1.nn1=0.证明因为"e>0,$N=[1,当n>N时,有|1,所以-0|（2）lim3n+1=3;n®¥2n+12
3n+1-3|=1<11.2n+122（2n+1）4n4e4n
证明因为"e>0,$N=[1,当n>N时,有|3n+1-3|（3）limn®¥n2+a2=1;n
2222222n+an+a-naaa-1|==<.分析要使|22nnen（n+a+n）n
222an+a证明因为"e>0,$N=[],当"n>N时,有|-1|n®¥n个（4）lim0.4999×4××9=1.123
11+lg10n-110证明因为"e>0,$N=[1+lg1],当"n>N时,有|0.99×××9-1|n个
n®¥lim0.999×××9=1.4.limun=a,证明lim|un|=|a|.并举例说明:
如果数列{|xn|}有极限,但数列n®¥
{xn}未必有极限.
证明因为limun=a,所以"e>0,$NÎN,当n>N时,有|un-a|||un|-|a||£|un-a|这就证明了lim|un|=|a|.n®¥
数列{|xn|}有极限,但数列{xn}未必有极限.例如lim|（-1）n|=1,但lim（-1）n不n®¥n®¥存在.
5.设数列{xn}有界,又limyn=0,证明:
limxnyn=0.n®¥n®¥证明因为数列{xn}有界,所以存在M,使"nÎZ,有|xn|£M.又limyn=0,所以"e>0,$NÎN,当n>N时,有|yn|N时,有n®¥M|xnyn-0|=|xnyn|£M|yn|6.对于数列{xn},若x2k-1®a（k®¥）,x2k®a（k®¥）,证明:
xn®a（n®¥）.
证明因为x2k-1®a（k®¥）,x2k®a（k®¥）,所以"e>0,$K1,当2k-1>2K1-1时,有|x2k-1-a|2K2时,有|x2k-a|取N=max{2K1-1,2K2},只要n>N,就有|xn-a|习题1-3
1.根据函数极限的定义证明:
（1）lim（3x-1）=8;x®3
分析因为
|（3x-1）-8|=|3x-9|=3|x-3|,
所以要使|（3x-1）-8|证明因为"e>0,$d=1e,当0<|x-3||（3x-1）-8|所以lim（3x-1）=8.x®3
（2）lim（5x+2）=12;x®2
分析因为
|（5x+2）-12|=|5x-10|=5|x-2|,
所以要使|（5x+2）-12|证明因为"e>0,$d=e,当0<|x-2|所以lim（5x+2）=12.x®215
2x-4=-4;（3）limx®-2x+2
分析因为
22x-4x+4x+4=|x+2|=|x-（-2）|,-（-4）=x+2x+2
2所以要使x-4-（-4）证明因为"e>0,$d=e,当0<|x-（-2）|2x-4-（-4）2x-4=-4.所以limx®-2x+2
31-4x=2.（4）lim2x+1x®-2
分析因为
31-4x-2=|1-2x-2|=2|x-（-1|,2x+12
3所以要使1-4x-2证明因为"e>0,$d=1e,当0<|x-（-1|31-4x-231-4x=2.所以lim12x+1x®-2.根据函数极限的定义证明:
31;
（1）lim1+x=x®¥2x32
分析因为
31=1+x3-x3=1,1+x-2x22x2|x|31+x11.所以要使-2x22|x|3e
证明因为"e>0,$X=1,当|x|>X时,有31+x131.所以lim1+x=x®¥2x32
（2）limsinx=0.x®+¥x
分析因为
x|1x-0=|sinsin.£xxx
所以要使sinx-01
2.exx
证明因为"e>0,$X=1,当x>X时,有e2
x-0x
所以limsinx=0.x®+¥x
3.当x®2时,y=x2®4.问d等于多少,使当|x-2|<d时,|y-4|<0.001？
解由于当x®2时,|x-2|®0,故可设|x-2|<1,即1要使
|x2-4|=|x+2||x-2|<5|x-2|<0.001,只要|x-2|<0.001=0.0002.5
取d=0.0002,则当0<|x-2|24.当x®¥时,y=x
2-1®1,问X等于多少,使当|x|>X时,|y-1|<0.01?
x+3
2解要使x
2-1-1=24<0.01,只要|x|>4-3=,故X=.0.01x+3x+3
5.证明函数f（x）=|x|当x®0时极限为零.
证明因为
|f（x）-0|=||x|-0|=|x|=|x-0|,
所以要使|f（x）-0|因为对"e>0,$d=e,使当0<|x-0||f（x）-0|=||x|-0|所以lim|x|=0.x®0
|x|6.求f（x）=x,j（x）=当x®0时的左﹑右极限,并说明它们在x®0时的极xx
限是否存在.
证明因为
lim-f（x）=lim-x=lim-1=1,x®0x®0xx®0
lim+f（x）=lim+x=lim+1=1,x®0x®0xx®0
lim-f（x）=lim+f（x）,x®0x®0
所以极限limf（x）存在.x®0
因为
|x|=lim--x=-1,x®0x®0xx®0x
|x|x=1,limj（x）=li=lix®0+x®0+xx®0+xlim-j（x）=lim-
j（x）¹limj（x）,lim-+x®0x®0
所以极限limj（x）不存在.x®0
7.证明:
若x®+¥及x®-¥时,函数f（x）的极限都存在且都等于A,则x®¥limf（x）=A.
x®-¥x®+¥证明因为limf（x）=A,limf（x）=A,所以"e>0,
$X1>0,使当x<-X1时,有|f（x）-A|
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