③当x=5时，四边形ABPQ是平行四边形；
④当x=0或x=10时，都有△PQR∽△CBO；
⑤当x=14时，△PQR与△CBO一定相似．
5
其中正确的是．
AQE
BPRC
6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=3cm，AC=4cm，F是
BC的中点．若动点E以2cm/s的速度从A点出发，沿着
A→B→A的方向运动，设运动时间为t（s）（0≤t<3），连接
EF，当t为s时，△BEF是直角三角形．
C
AEB
第6题图第7题图
7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，在线段
AB上取一点D，作DF⊥AB交AC于点F．现将△ADF沿
DF折叠，使点A落在线段DB上，对应点记为A1；AD的中点E的对应点记为E1．若△E1FA1∽△E1BF，则AD=．
8.如图，在矩形ABCD中，已知AB=12，AD=8，如果将矩形沿直线l翻折后，点A落在边CD的中点E处，直线l分别与边
AB，AD交于点M，N，那么MN的长为．
ADA
E
BC
BC
第8题图第9题图
9.如图，在△ABC中，AB=AC，BC=9，tanC=4．如果将△ABC
3
沿直线l翻折后，点B落在AC边的点E处，AE:
EC=2:
1，直线l与BC边交于点D，那么BD的长为．
10.如图1，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，将其沿对角线BD折叠，顶点C的对应位置为G，BG交AD于E；再折叠，使点D落在点A处，折痕MN交AD于F，交DG于M，交BD于N，展开后得图2，则折痕MN的长为．
G
ADAD
E
BCB
图1图2
11．在△ABC中，D、E分别是边AB、BC上的点，AE和CD交于点F，且∠CFE＝∠B．
（1）如图1，求证：
∠AEC＝∠CDB；
（2）如图2，过点C作CG⊥AC，交AB于点G，CD⊥CB，∠ACD+∠B＝∠CAB，求证：
AC＝GC；
（3）如图3，在
（2）的条件下，CE+CD＝AE，CG＝3，求线段BC的长．
12．已知△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，点M是AC的中点，延长BM至点D，使DM＝BM，连接AD．
（1）如图①，求证：
△DAM≌△BCM；
（2）已知点N是BC的中点，连接AN．
①如图②，求证：
△BCM≌△ACN；
②如图③，延长NA至点E，使AE＝NA，求证：
BD⊥DE．
13．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB边上的一个动点（不与点A，B及AB中点重合），连接CD，点A关于直线CD的对称点为点E，直线BE，CD交于点F．
（1）如图1，当∠ACD＝15°时，根据题意将图形补充完整，并直接写出∠BFC的度数；
（2）如图2，当45°＜∠ACD＜90°时，用等式表示线段AC，EF，BF之间的数量关系，并加以证明．
14．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，点E是边BC的中点．动点P从点A出发，沿着AB运动到点B停止，速度为每秒钟1个单位长度，连接PE，过点E作PE的垂线交射线AD与点Q，连接PQ，设点P的运动时间为t秒．
（1）当t＝1时，sin∠PEB＝ ；
（2）是否存在这样的t值，使△APQ为等腰直角三角形？
若存在，求出相应的t值，若不存在，请说明理由；
（3）当t为何值时，△PEQ的面积等于10？
15．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB＝2，以BC为边向外作正方形BCDE，动点M从A点出发，以每秒1个单位的速度沿着A→C→D的路线向D点匀速运动（M不与A、D重合）；过点M作直线l⊥AD，l与路线A→B→D相交于N，设运动时间为t秒：
（1）填空：
当点M在AC上时，BN＝ （用含t的代数式表示）；
（2）当点M在CD上时（含点C），是否存在点M，使△DEN为等腰三角形？
若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）过点N作NF⊥ED，垂足为F，矩形MDFN与△ABD重叠部分的面积为S，求S的最大值．
16．如图①，长方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，在边CD上取一点E，将△ADE折叠后点D恰好落在BC边上的点F．
（1）求CE的长；
（2）建立平面直角坐标系如图②所示，在x轴上找一点P，使PA+PE的值最小，求出最小值和点P的坐标；
（3）如图③，DE的延长线与AF的延长线交于点G，在y轴上是否存在点M，使△FGM是直角三角形？
如果存在，求出点M的坐标：
如果不存在，说明理由．
17．如图，直角△ABC中，∠A为直角，AB＝6，AC＝8．点P、Q、R分别在AB、BC、CA边上同时开始作匀速运动，2秒后三个点同时停止运动，点P由点A出发以每秒3个单位的速度向点B运动，点Q由点B出发以每秒5个单位的速度向点C运动，点R由点C出发以每秒4个单位的速度向点A运动，用t（秒）（0≤t≤2）表示运动时间，在运动过程中：
（1）当t为何值时，△APR的面积为4；
（2）求出△CRQ的最大面积；
（3）是否存在t，使∠PQR＝90°？
若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
18．已知：
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，点P从点B出发，沿BC向点C匀速运动，速度为lcm/s；同时，点Q从点A出发，沿AB向点B匀速运动，速度为2cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜2.5），解答下列问题：
（1）①BQ＝ ，BP＝ ；（用含t的代数式表示）
②设△PBQ的面积为y（cm2），试确定y与t的函数关系式；
（2）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△PBQ的面积为△ABC面积的二分之一？
如果存在，求出t的值；不存在，请说明理由；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△BPQ为等腰三角形？
如果存在，求出t的值；不存在，请说明
理由．
19．如图，等边△ABC的边长为12cm，点P、Q分别是边BC、CA上的动点，点P、Q分别从顶点B、C同时出发，且它们的速度都为3cm/s．
（1）如图1，连接PQ，求经过多少秒后，△PCQ是直角三角形；
（2）如图2，连接AP、BQ交于点M，在点P、Q运动的过程中，∠AMQ的大小是否变化？
若变化，请说明理由；若不变，请求出它的度数．
20．【感知】如图①，△ABC是等边三角形，D是边BC上一点（点D不与点B、C重合），作∠EDF＝60°，使角的两边分别交边AB、AC于点E、F，且BD＝CF．若DE⊥BC，则∠DFC的大小是 度；
【探究】如图②，△ABC是等边三角形，D是边BC上一点（点D不与点B、C重合），作∠EDF＝60°，使角的两边分别交边AB、AC于点E、F，且BD＝CF．求证：
BE＝CD；
【应用】在图③中，若D是边BC的中点，且AB＝2，其它条件不变，如图③所示，则四边形AEDF的周长为 ．
Ø思考小结
以直角为例，站在初中三年所学知识角度梳理相关做法，总结所学知识：
1.边：
勾股定理
2.角：
直角三角形两锐角互余
3.面积：
直角边看成高（等面积结构）
4.固定模型和用法：
①直角+中点（直角三角形斜边中线等于斜边一半）；
②直角+特殊角（由特殊角构造直角三角形）；
③直角+角平分线（等腰三角形三线合一）；
④直角三角形斜边上的高（母子型相似、射影定理）；
A
BDC
⑤弦图结构；
⑥三等角模型；
E
平移
E
A
BCD
BFCD
BCD
⑦斜直角放正．
5.函数背景下考虑k1⋅k2=-1．
你能尝试类比总结其他的特征（如折叠、旋转、中点等）吗？
【参考答案】
Ø巩固练习
1.48m
2.31
2
3.y=-8x2+8x（03
4.D
5.①②③⑤
6.
54159
，，
42020
7.16
5
8.125
12
9.241
60
10.25
12
11-20略
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