MATLAB数值计算功能.docx

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MATLAB数值计算功能

实验二

第2章MATLAB数值计算功能

MATLAB强大的数值计算功能使其在诸多数学计算软件中傲视群雄，是MATLAB的基础.本章将简要介绍MATLAB的数据类型、矩阵的建立及运算.

第一节MATLAB的数据类型

MATLAB的数据类型主要包括：

数字、字符串、矩阵、单元型数据及结构型数据等，此处仅介绍几个常用类型.

一、MATLAB中的变量与常量

不需要对所使用的变量进行事先声明，也不需要指定其类型，它会自动根据所赋予变量的值或所进行的操作来确定变量的类型.如果变量重新赋值将会用新值代替旧值并以新值类型代替旧值类型.

⏹例1a=1；b=0.5；c=a*b，c=‘a*b’

⏹变量的命名规则是：

（1）变量名可以有63个字符.字母A～Z、a～z、数字和下划线‘_’都可以作为变量名，但第一个字符必须是一个字母；

（2）变量名区分大小写，如矩阵a和A是不一样的；

（3）变量名中不允许使用标点符号、空格、运算符；

（4）预定义变量名也可以像一个变量名那样使用，但函数只有在变量由命令clear删除后才能使用，所以，不主张这样使用；

（5）MATLAB提供的标准函数及命令通常是用小写字母书写.

⏹例2命令abs（A）给出了A的绝对值，但ABS（A）会导致在屏幕上显示错误信息.

二、算术表达式及显示格式

在MATLAB中对十进制数，使用科学记数法可以书写十分大和十分小的数.例如1.23E－6，代表1.23×10-6.

MATLAB有算术运算符的扩展集，它们是：

1）^幂；2）*乘；/右除（正常除）；\左除；3）+加；－减

这是按序给出的运算，1）是最高优先级.在带相同优先级的运算符表达式中，按从左到右的顺序执行.圆括号（）能够用于改变优先级次序.

两种不同的除法：

对于数量右除2/5得0.4与左除5\2是相同的，斜线号“靠着”的表达式或数字是分母.如

a/（b+c）即为

，而a\（b+c）即为

命令集4显示格式

formatdefformat将输出格式改为由defformat定义的格式，这类格式可以是如下之一：

short、long、shorte、longe、hex、+、bank、rat

也有compact或loose，它给出了一个较紧缩或较宽松的输出格式，但并不影响数值输出格式.

■例3

设p=1+1/3，先定义格式，然后在屏幕上显示p：

formatshort得1.33334位小数

formatlong得1.3333333333333314位小数

formatshorte得1.3333e+004位小数

formatlonge得1.333333333333333e+0015位小数

formathex得3ff555555555555516进制数

format+得+正：

formatbank得1.33美元和美分

formatrat得4/3作为一个有理数

三、数学函数

命令集5数学函数

abs（x）求x的绝对值，即|x|.

sign（x）求x的符号，如果是正的得1；负的得－1；零得0.

sqrt（x）求x的平方根，即

exp（x）求x的指数函数，即

log（x）求x的自然对数，即lnx.

log10（x）求x以10为底的对数，即

sin（x）求正弦x，x为弧度.

cos（x）求余弦x，x为弧度.

tan（x）求正切x，x为弧度.

cot（x）求余切x，即1/（tanx），x为弧度.

asin（x）求反正弦，即

acos（x）求反余弦，即

sec（x）求正割x，即1/（cosx）.

csc（x）求余割x，即1/（sinx）.

命令集6取整命令

round（x）求最接近x的整数.如果x是一个向量，则适用于所有元素.

fix（x）求0方向最接近x的整数.即负x向上四舍五入，正x向下四舍五入.

floor（x）求小于或等于x的最接近的整数.

ceil（x）求大于或等于x的最接近的整数.

rem（x,y）求整除x/y的余数.

gcd（x,y）求整数x和y的最大公因子.

lcm（x，y）求正整数x和y的最小公倍数，也能用于决定最小公因子.

第二节MATLAB的矩阵的建立与运算

矩阵是MATLAB数据存储的基本单元，而矩阵的运算是MATLAB语言的核心，几乎一切运算均是以对矩阵的操作为基础的.

一、矩阵的建立

1.直接输入法从键盘上输入矩阵是最方便、最常用的创建数值矩阵的方法，尤其适合较小的简单矩阵.规则如下：

⏹输入矩阵时要以“[]”为其标识符号，矩阵的所有元素必须都在中括号内.

⏹矩阵同行元素之间由空格或逗号分隔，行与行之间用分号或回车键分隔.

⏹矩阵大小不需要预先定义.

⏹矩阵元素可以是运算表达式.

⏹若"[]"中无元素表示空矩阵.

⏹例4>>A=[123；456；789]

123

456

789

2.利用“：

”生成矩阵

（1）生成等距的行向量，如

>>a=1:

0.5:

Columns1through7

11.522.533.54

（2）截取指定矩阵中的部分生成新矩阵，如

>>B=A（1:

2,:

）

123

456

即矩阵B是例4中A矩阵的前两行生成.

3.外部文件读入法以文件的形式存储，适合大型矩阵输入.读入形式

>>Load+文件名

⏹Load函数将会从文件名所指定的文件中读取数据，并将输入的数据赋给以文件名命名的变量，如果不给定文件名，则将自动认为matlab.mat文件为操作对象，如果该文件在MATLAB搜索路径中不存在时，系统将会报错.

4.特殊矩阵的生成

命令集71矩阵、零矩阵、单位矩阵和随机矩阵

ones（n）建立一个n×n的1矩阵.

ones（m,n）建立一个m×n的1矩阵.

ones（size（A））建立一个和矩阵A同样大小的1矩阵.

zeros（n）建立一个n×n的0矩阵.

zeros（m,n）建立一个m×n的0矩阵.

zeros（size（A））建立一个和矩阵A同样大小的0矩阵.

eye（n）建立一个n×n的单位矩阵.

eye（m,n）建立一个m×n的单位矩阵.

eye（size（A））建立一个和矩阵A同样大小的单位矩阵.

rand产生在0～1之间均匀分布的随机数；每调用一次给一个新的数值.

rand+i*rand产生一个复数随机数.

rand（n）产生一个n×n的矩阵，其元素为0～1之间均匀分布的随机数.

rand（m,n）产生一个m×n的矩阵，其元素为0～1之间均匀分布的随机数.

二、矩阵的运算

MATLAB中的大多数运算可以直接对矩阵应用.除了算术运算+、－、*、^、/、\外，还有用于转置和共轭的运算符（撇号’：

实数时为转置，复数时为共轭转置，复数时转置为.’）、关系运算符和逻辑运算符.

1.除法在MATLAB中，有两个矩阵除法的符号，左除\和右除/.如果A是一个非奇异方阵，那么A\B和B/A对应A的逆与B的左乘

和右乘

，即分别等价于命令inv（A）*B和B*inv（A）.

2.元素操作算术运算

算术运算也可以元素与元素逐次进行.参与运算的矩阵维数要相同.如果运算是由一点进行的，那么这个运算实行的是元素方式，称为数组运算或点运算.对于加法和减法，数组运算（点运算）和矩阵运算没有差别.数组运算（点运算）符是：

+－.*./.\.^

⏹例5>>A=[123；456；789]；B=ones（3）;C=A.*B

123

456

789

3.关系运算符

MATLAB有用于比较矩阵的六个关系运算符，也可以对矩阵与一个标量进行比较，即矩阵中的每个元素与标量进行比较.

关系运算符如下：

<小于

<=小于等于

>大于

>=大于等于

==等于

~=不等于

关系运算符比较对应的元素，产生一个仅包含1和0的具有相同维数的矩阵.其元素是：

1比较结果是真

0比较结果是假

在一个表达式中，算术运算符优先级最高，其次是关系运算符，最低级别是逻辑运算符.圆括号可以改变其顺序.

4.逻辑运算符

在MATLAB中有四种逻辑运算符：

&与；|或；~非；xor异或；

逻辑运算符的运算优先级最低.在一个表达式中，关系运算符和算术运算符的运算级别要高于逻辑运算符.

xor和or之间的差别在于：

表达式中至少有一个是真，那么or是真；xor是表达式中有一个是真但不能两者均为真时才为真.

运算符&和|比较两个相同维数的矩阵，它也能使一个标量与一个矩阵进行比较.逻辑运算符是按元素比较的.零元素表示逻辑值假，任何其他值的元素表示逻辑值真.其结果是一个包含1和0的矩阵.

命令集8逻辑运算符

A&B返回一个与A和B相同维数的矩阵.在这个矩阵中，A和B对应元素都为非零时，则对应项为1；有一个为零的项则为0.

A|B返回一个与A和B相同维数的矩阵.在这个矩阵中，A和B对应元素只要有一个为非零，则对应项为1；两个矩阵对应元素均为零时，则对应项为0.

~A返回一个与A和B相同维数的矩阵.在这个矩阵中，A对应元素是零时，则对应项为1；A对应元素是非零时，则对应项为0.

xor（A,B）返回一个与A和B相同维数的矩阵.在这个矩阵中，如果A和B均为零或均为非零时，则对应项为0；如果A或B是非零但不是两者同时为非零时，则对应项为1.

练习题

1.在计算机上，求下列表达式的值.

①

；

②

，其中

；

③

，其中

；

④

，其中

；

⑤

，其中

2.完成下列操作，观察结果：

①a=1:

5,b=（1:

5）’

②y=0:

pi/4:

③x=（0:

0.2:

3）’,y=exp（-x）.*sin（x）

④A=[123;456;789]

B=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]

C=[123

456，

789]

⑤

3.已知

求

①AB-2A,②AB-BA,A.*B,B.*A,③

，求

5．

，求

6．x=（1,1,1,1），y=（2,3,4,5）’，求

7．完成下列操作并观察结果

①

②

③

④

⑤

⑥

⑦

⑧

⑨C=[ones（4）,zeros（4）;eye（4）,rand（4）]

⑩C=[ones（4）,zeros（4）;eye（4）,rand（5）]

8.建立向量

①

②

9.完成下列命令，观察结果

①a=[1:

3;4:

6;7:

9];x=5;xa=x<=a

②b=[041;108;200];ab=a&b

3n_b=~b

10.练习format命令：

对第1题练习各种输出格式.

11.计算P265

x=1;y

（1）=x;

fork=1:

x=1/（x+1）;y（k）=x;

end

12.计算P266

x=1;y

（1）=x;w=7/25;

fork=1:

x=w*x+（1-w）/（x+1）;y（k）=x;

end

练习题

1.在计算机上，求下列表达式的值.

①>>w=sqrt

（2）*（1+0.34245*10^（-6））

1.4142

>>a=3.5;

>>b=5;

>>c=-9.8;

②>>x=（2*pi*a+（b+c）/（pi+a*b*c）-exp

（2））/（tan（b+c）+a）

0.9829

>>a=3.32;

>>b=-7.9;

③>>y=2*pi*（a^2）*（（1-pi/4）*b-（0.8333-pi/4）*a）

-128.4271

>>t=2;

④>>z=1/2*exp（2*t）*log（t+sqrt（1+t^2））

39.4099

⑤>>x=1+2i;

>>y=3-sqrt（17）;

>>u=（cos（abs（x+y））-sin（78*pi/180））/（x+abs（y））

-0.3488+0.3286i

2.完成下列操作，观察结果：

①>>a=1:

5,b=（1:

5）'

12345

②>>y=0:

pi/4:

00.78541.57082.35623.1416

③>>x=（0:

0.2:

3）',y=exp（-x）.*sin（x）

0.2000

0.4000

0.6000

0.8000

1.0000

1.2000

1.4000

1.6000

1.8000

2.0000

2.2000

2.4000

2.6000

2.8000

3.0000

0.1627

0.2610

0.3099

0.3223

0.3096

0.2807

0.2430

0.2018

0.1610

0.1231

0.0896

0.0613

0.0383

0.0204

0.0070

④>>A=[123;456;789]

123

456

789

>>B=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]

123

456

789

>>C=[123

456,

789]

123

456

789

⑤>>A=[sin（pi）,2*cos（pi/3）;5*pi,-exp

（2）]

0.00001.0000

15.7080-7.3891

>>A=[111;-111;1-11];

>>B=[121;13-1;214;];

>>A*B-2*A

ans=

242

400

024

>>A*B-B*A,A.*B,B.*A

ans=

440

5-3-1

-31-1

ans=

121

-13-1

2-14

ans=

121

-13-1

2-14

>>inv（A）*B-inv（B）*A

ans=

Columns1through2

3.75002.2500

-2.0000-1.0000

-0.25001.2500

Column3

1.2500

-2.0000

1.2500

>>x=[21-3i;5-0.65];

>>y=1/2*exp（2*x）*log（x+sqrt（1+x^2））

1.0e+004*

0.0057-0.0007i0.0049-0.0027i

1.9884-0.3696i1.7706-1.0539i

>>D=[2310-0.7780;41-45655;325032;6-9.54543.14];

>>D^2,D.*D,D.^2

ans=

1.0e+003*

0.9141-0.22390.63210.0251

1.20802.7123-2.68691.8707

1.1330-0.21032.02810.1255

1.49370.7293-0.45521.6902

ans=

1.0e+003*

0.52900.10000.00060

1.68102.02504.22500.0250

1.02400.025001.0240

0.03600.09102.91600.0099

ans=

1.0e+003*

0.52900.10000.00060

1.68102.02504.22500.0250

1.02400.025001.0240

0.03600.09102.91600.0099

>>x=[1,1,1,1];y=[2,3,4,5]';

>>x*y,y*x

ans=

2222

3333

4444

5555

7．完成下列操作并观察结果

①>>ones（6）,ones（5,6）,ones（6,5）

ans=

111111

ans=

111111

ans=

11111

②>>zeros（4）,zeros（3,4）,zeros（4,3）

ans=

0000

ans=

0000

ans=

000

③>>eye（5）,eye（4,5）,eye（5,4）

ans=

10000

01000

00100

00010

00001

ans=

10000

01000

00100

00010

ans=

1000

0100

0010

0001

0000

④>>x=rand+i*rand,A=rand（3）,B=rand（3,4）

0.8180+0.6602i

Columns1through2

0.34200.5341

0.28970.7271

0.34120.3093

Column3

0.8385

0.5681

0.3704

Columns1through2

0.70270.6946

0.54660.6213

0.44490.7948

Columns3through4

0.95680.1730

0.52260.9797

0.88010.2714

⑤

>>hilb（3）,hilb（4）,invhilb（3）

ans=

1.00000.50000.3333

0.50000.33330.2500

0.33330.25000.2000

ans=

Columns1through3

1.00000.50000.3333

0.50000.33330.2500

0.33330.25000.2000

0.25000.20000.1667

Column4

0.2500

0.2000

0.1667

0.1429

ans=

9-3630

-36192-180

30-180180

⑥>>x=[12345];

>>y=[54321];

>>T=toeplitz（x,y）,S=toeplitz（x）

Warning:

Firstelementofinputcolumndoesnotmatchfirstelementofinputrow.

Columnwinsdiagonalconflict.

>Intoeplitzat21

14321

21432

32143

43214

54321

12345

21234

32123

43212

54321

⑦>>A=compan（x）,B=compan（y）

-2-3-4-5

1000

0100

0010

-0.8000-0.6000-0.4000-0.2000

1.0000000

01.000000

001.00000

⑧>>vander（x）,vander（y）

ans=

11111

168421

8127931

256641641

6251252551

ans=

6251252551

256641641

8127931

168421

11111

⑨>>C=[ones（4）,zeros（4）;eye（4）,rand（4）]

Columns1through5

1.00001.00001.00001.00000

1.00000000.0099

01.0000000.1389

001.000000.2028

0001.00000.1987

Columns6through8

000

0.60380.74680.4186

0.27220.44510.8462

0.19880.93180.5252

0.01530.46600.2026

⑩>>C=[ones（4）,zeros（4）;eye（4）,rand（5）]

Errorusing==>horzcat

Allmatricesonarowinthebracketedexpressionmusthavethe

samenumberofrows.

8.建立向量

>>x=（1:

3）,y=（1:

0.5:

3）,z=（4:

-0.5

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