）<1。
（4）频率与概率的关系。
联系：
当试验次数很大时，事件发生的频率稳定在相应概率的附近，即试验频率稳定于
理论概率，因此可以通过多次试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率。
区别：
某可能事件发生的概率是一个定值。
而这一事件发生的频率是波动的，当试验次
数不大时，事件发生的频率与概率的差异可能很大。
事件发生的频率不能简单地等同于其
概率，要通过多次试验，用一事件的频率来估计这一事件发生的概率。
1、确定事件和随机事件。
（1）“必然事件”是指事先可以肯定一定会发生的事件。
（2）“不可能事件”是指事先可以肯定一定不会发生的事件。
（3）“不确定事件”或“随机事件”是指结果的发生与否具有随机性的事件。
例1、在一个袋子中装有50个黄色乒乓球，小明在里面随便摸出一个来，他摸到黄球的可
能性是（），摸到白球的可能性是（）。
例2、在括号中填上“必然发生”或“不可能发生”或“可能发生”；掷两个普通的正方体
筛子，把两个筛子的点数相加：
（1）和为1（）；
（2）和为7（
）；
（3）和为12（）；（4）和为17（）；
（5）和大于2（）；（6）和小于2（）；
（7）和小于20（）。
例3、下列事件中，必然发生的事件是（）
A明天会下雨B小明考试得99分C今天是星期一，明天就是星期二D明年有370
天
2、可能性的大小
（1）很可能发生：
如果事件发生的可能性很大，我们也说事件很可能发生.不大可能发生：
如果事件发生地可能性很小，我们也说事件不大可能发生。
（2）事件的频数、频率。
设总共做n次重复实验，而事件A发生了m次，则称事件A发生
的次数m为频数。
称比值m/n为A发生的频率。
（3）概率：
某事件发生的可能性也叫做事件发生的概率。
必然事件发生概率为1，不可能
事件发生的概率为0，不确定事件发生的概率在0到1之间。
一般地，如果一个实验有n
个等可能的结果，而事件A包含其中k个结果，我们定义P（A）=k/n=事件A包含的可能
所A）和事件n所有可能结果数。
对概率计算应注意：
分清所有基本事件的总和（/结果数．
包含的基本事件总和（k）.
例4、有10张大小相同的卡片，分别写有0至9十个数字，将它们背面朝上洗匀后任抽一张，则P（是一位数）=____________，P（是3的倍数）=____________。
例5、小明所在年级共10个班，每班45名同学，现从每个班中任意抽一名学生，共
学生参加课外活动，问小明被抽到的概率是多少？
例6、一个口袋中装有4个白球，1个红球，7个黄球，除颜色外,完全相同,充分搅匀后随机摸出一球，恰好是白球的概率是_______。
例7、下表是高三某班被录取到高一级学校的学生情况统计表:
男生女生合计
1、完成表格;
2、求下列各事件的概率:
①P（录取到重点学校的学生）②P（录取到普通学校的学生）③P（录取到非重点学校的学生）3、频率与概率的关系。
（1）事件发生的频率会呈现逐渐稳定的趋势。
（2）频率和概率可以非常接近，单不一定相等（3）如何用频率估计机会的大小。
4、树状图与列表法求解概率
重点
普通
其他
合计
18
7
1
16
10
2
1
例8、小颖为学校联欢会设计了一个“配紫色”的游戏：
图1是两个
可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形。
游戏者
同时转动两个转盘，如果转盘A转出了红色，转盘B转出了蓝色，那
么他就赢了，因为红色和蓝色在一起配成了紫色。
（1）利用树状图或列表的方法表示游戏所有可能出现的结果。
（2）游戏者获胜的概率是多少？
解析：
（1）所有可能出现的结果可用表1或图2表示。
B黄蓝绿A
红（红，黄）（红，蓝）（红，绿）
白（白，黄）（白，蓝）（白，绿）种，配成紫色
（2）所有可能出现的结果共有6
11的结果只有种，故游戏获胜的概率为。
6基础练习一、填空
、如果甲邀请乙玩一个同时抛掷两枚硬币的游戏，游戏的规则如下：
同时抛出两个正面
乙分；抛出其他结果，甲谁先累积1分，谁就获你认
（填“甲”或“乙”）获胜的可能性更
1张卡片分别写十个数将它们放入纸箱任意摸出一P摸到数2
P摸到奇）
、一个口袋中装个白球个红球个黄球，除颜色完全相充分搅匀后随
摸出一球，恰好是白球的概率______
、袋中有一个红球和两个白球，它们除了颜色外都相同。
任摸出一个球，记下球的颜色，放回袋中；搅匀后再任意白出一个球，记下球的颜色。
为了研究两次摸球出现某种况的概率，画出如下树状图）请把树状图填写完整_______）根据树状图可知，摸到一红一白两球的概率名团员，他们都积极报名参加志愿者活动，根据要求3名学生中、初三）5
名团员参加，则该班团员李明被选中的概率________该班从团员中随机选二、选择
秒，当你抬头看2秒，黄灯、十字路口的交通信号灯每分钟红灯3秒，绿灯号灯时，是黄灯的概率是11
、在“抛一枚均匀硬币”的实验中，如果现在没有硬币，则下面各个试验中哪个不能代
两张扑克，“黑桃代替“正面”，“红桃代替“反面
B、两个形状大小完全相同，但一红一白的两个乒乓球
C、扔一枚图钉D、人数均等的男生、女生，以抽签的方式随机抽取一人
8、一个均匀的立方体六个面上分别标有数1，2，3，4，5，6．右图是这个立方体表面的1的概率是（展开图．抛掷这个立方体，则朝上一面上的数恰好等于朝下一面上的数的21121B、、D）A、C、62339、如图，图中的两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形，每个扇形上都标有数字，
同时自由转动两个转盘，转盘停止后，指针都落在奇数上的概率是（
121、在一个不透明的口袋中装有若干个只有颜色不同的球，如果口袋中装个红球，，那么袋中共有球的个数为1摸出红球的概率
三、解答
1、四张大小质地均相同的卡片上分别标有数，现将标有数字的一面朝下
在桌子上，从中随机抽取一张（不放回，再从桌子上剩下张中随机抽取第二张
）用画树状图的方法，列出前后两次抽得的卡片上所标数字的所有可能情况
计算抽得的两张卡片上的数字之和为奇数的概率是多少？
）如果抽取第一张后放回
）的问题答案是否改变？
如果改变，变为多少？
（只写出答案，不写
程
1、某校八年班联合举行晚会。
组织者为了使晚会气氛活跃，策划时计划整台晚
以转盘游戏的方式进行：
每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得
件奖品，负责表演一个节目班的文娱委员利用分别标有数
的两个转盘（如图）设计了一种游戏方案：
两人同时各转动一个转盘一次
将得到的数字相乘，积为偶数时，1班代表胜，否则2班代表胜。
你认为该方案对双方
是否公平？
为什么？
如果你认为不公平，你能在此基础上设计一个公平的方案吗？
提高训练：
一、选择题。
1.下列成语所描述的事件是必然发生的是（）
A.水中捞月B.拔苗助长C.守株待免D.瓮中捉鳖13C.1D.一个事件的概率不可能是（2.）A.0B.22
3.小明和三个女生，四个男生玩丢手绢的游戏，小明随意将手绢丢在一名同学后面，那么
）（这名同学不是女生的概率3343C.A.D.B.4877
4.有六张卡片：
上面各写有1、1、2、3、4、4六个数，从中任意摸一张，摸到奇数的概率
）是（
DBCA
B5A三个数字组成一个三位数，则组成的数是偶数的概率是
DC
次都掷出正面朝上，当他第十次掷硬币时，出现正面朝上的6小刚掷一枚硬币，一
率是DA.B.C
7下列说法错误的是
A彩票的中奖率只有三百八十万分之一，买一张根本不会中B两点确定一条直
C过一点可画无数条直D太阳绕着地球转的概率
8一个袋中个珠其个红,个蓝除颜色外其余特征均相若从这个袋ACBD任个珠都是蓝色的概率是
9200，荆门市）从只装个红球的袋中随机摸出一球，若摸到白球的概率摸到红球的概率，D==C==A=B
10如所示是用相同的正方形砖铺成的地板，一
物藏在某一块下面，宝物在白色区域的概率是
5211C.A.D.B.9962
二、填空题。
个点）朝上面的点数之和是数字到611.任意掷二枚均匀的骰子（六个面分别标有1图1____________.7的概率是．为了促销，厂家在每一件纯净水中放有两瓶在瓶盖反面写有“再来一瓶”的奖励，每12____________.件纯净水24瓶，小冬任买一瓶，获奖的概率是______________.13．小明有两件上衣，三条长裤，则他有几种不同的穿法、5、8路公共汽车都要停靠某个站口（假设这个站只能停靠一辆汽车），小华每14．1、3路公共汽车上学（假设当时各路车首先到站的可能性相等），则首5天都要在此等候1路或_____.先到站的正好是小华要乘坐的公共汽车的概率是1315．从一个不透明的口袋中任意摸出一球是白球的概率为个，则袋，已知袋中白球有6
中球的总数是____________.个只有颜色不同的球，其中73个白球，分）已知一个口袋中装有200916．（，凉山州，6
yx个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是个白球和个黑球．若往口袋中再放入4
1，4
yx之间的函数关系式与___________.
三、解答题。
名学10名同学，现从每个班中任意抽一名学生，共45个班，每班10小明所在年级共17.
生参加课外活动，问小明被抽到的概率是多少？
18.（杭州）在一张边长为4cm的正方形纸上做扎针随机试验，纸上有一个半径为1cm的圆
形阴影区域，则针头扎在阴影区域内的概率为多少？
19．（2009，江苏）一家医院某天出生了3个婴儿，假设生男生女的机会相同，那么这3个
婴儿中，出现1个男婴、2个女婴的概率是多少？
20.小明与小亮玩摸球游戏，在一个袋子中放有5个完全一样的球，分别标有
1、2、3、4、5五个数字，小明从袋中摸出一球，记下号码，然后放回由小亮摸，规定：
如果摸到的球号码大于3则小明胜，否则小亮胜，你认为这个游戏公平吗？
请说明理由
21.一口袋中装有四根长度分别为1cm，3cm，4cm和5cm的细木棒，小明手中有一根长度为
3cm的细木棒，现随机从袋内取出两根细木棒与小明手中的细木棒放在一起，回答下列问
题：
（1）求这三根细木棒能构成三角形的概率；
（2）求这三根细木棒能构成直角三角形的概
率；
（3）求这三根细木棒能构成等腰三角形的概率．
（2009，济南市）有322.张不透明的卡片，除正面写有不同的数字外，其它均相同．将
这三张卡片背面朝上洗匀后，第一次从中随机抽取一张，并把这张卡片标有的数字记作一
k，第二次从余下的两张卡片中再随机抽取一张，上面标有的数字记作次函数表达式中的
b．（注：
本题的第三张背面的-3一次函数表达式中的应该是3）
k为负数的概率；）写出（1
y?
kx?
b的图象经过二、三、四象限的概率．（用树状图或列表法求解）
（2）求一次函数
，威海）除颜色外完全相同的六个小球分别放到两200923.（个袋子中，一个袋子中放两个红球和一个白球，另一个袋子中
1?
2?
?
3
正
放一个红球和两个白球．随机从两个袋子中分别摸出一个小球，试判断摸出两个异色小球的概率与摸出两个同色小球的概率是背面否相等，并说明理由
认识概率检测
3分分，一、选择（每小1小明和小亮做游戏，先是各自背着对方在纸上写一个正整数，然后都拿给对方看．他
约定：
若两人所写的数都是奇数或都是偶数，则小明获胜；若两人所写的数一个是奇数
另一个是偶数，则小亮获胜．这个游戏
B对小亮有C公对小明有D无法确定对谁有ABA2随机掷两枚质地均匀的硬币，落地后全部正面朝上的概率是DC
3某班共4名同学，其中名同学习惯用左手写字，其余同学都习惯用右手写字，A名同学解答问题，习惯用左手写字的同学被选中的概率是师随机BDC444某市决定从桂花、菊花、杜鹃花中随机选取一种作为市花，选到杜鹃花的概率
11A.1B.C.D.0
32p，摸到红球的概率是4个红球的袋中随机摸出一球，若摸到白球的概率是5．从只装有1，则（p2）1，，p0pp?
p?
．．CB．D?
1p?
0p?
?
4212121，1p1p．A?
?
211
4
111的概率是（）A.C.B.6.将一个正六面体骰子连掷两次，它们的点数都是46416
1D.36
7.某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人，4321C.）则选出的恰为一男一女的概率是（A.D.B.
5555
8.甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，规则是：
两人比赛，另一人当裁判，输者将在下一局
中担任裁判，每一局比赛没有平局．已知甲、乙各比赛了4局，丙当了3次裁判．则第
二局的输者是（）
A.甲B.乙C.丙D.不能确定
9.下列事件是随机事件的是（）
A．购买一张福利彩票，中奖B．在一个标准大气压下，加热到100℃，水沸腾
C．有一名运动员奔跑的速度是30米/秒D．在一个仅装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红
球
10.“六一”儿童节，某玩具超市设立了一个如图所示的可以自由转动
的转盘，开展有奖购买活动．顾客购买玩具就能获得一次转动转
盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应奖．
品．下表是该活动的一组统计数据．下列说法不正确的是（）
转动转盘的次数n
100
150
200
500
800
1000
铅笔落在“”区域的次数m
68
108
140
355
560
690
m区域的频率落在铅笔”“0.690.700.720.700.710.68n
A．当n很大时，估计指针落在“铅笔”区域的频率大约是0.70
B．假如你去转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70
C．如果转动转盘2000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有600次
D．转动转盘10次，一定有3次获得文具盒
二、填空题（每小题3分，共24分）
11.甲、乙两人玩扑克牌游戏，游戏规则是：
从牌面数字分别为5、6、7的三张扑克牌中随
机抽取一张，放回后再随机抽取一张，若所抽的两张牌面数字的积为奇数，则甲获胜；
若所抽取的两张牌面数字的积为偶数，则乙获胜.这个游戏___________.（填“公平”
或“不公平”）
12.小芳掷一枚质地均匀的硬币次，有次正面向上，当她掷第次时，正面向上的概率
为______.
13.“从超市货架上任意取一盒月饼进行检验，结果合格”这一事件是_______．（填“必然
事件”“不可能事件”“随机事件”）
14.有五张分别印有圆、等腰三角形、矩形、菱形、正方形图案的卡片（卡片中除图案不同
外，其余均相同），现将有图案的一面朝下任意摆放，从中任意抽取一张，抽到有中心
对称图案的卡片的概率是________．
15.如图所示，小区公园里有一块圆形地面被黑白石子铺成了面积相等
的
八部分，阴影部分是黑色石子，小华随意向其内部抛一个小球，则
小
球落在黑色石子区域内的概率是________．
16.从某玉米种子中抽取6批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据
如下：
种子粒数100400800100020005000发芽种子粒数8531865279316044005
发芽频率0.8500.7950.8150.7930.8020.801
根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率为_________（精确到0.1）．
17.下列4个事件：
①异号两数相加，和为负数；②异号两数相减，差为正数；③异号两数
相乘，积为正数；④异号两数相除，商为负数．必然事件是，不可能事件
是，随机事件是．（将事件的序号填上即可）
18.在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共40个，除颜色外其他完全相同．小明
通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在15％左右，则口袋中红色球
.个_____可能有．
三、解答题（共46分）
19.（5分）一只小狗在如图所示的方砖上走来走去，求最终停在黑色方砖（图中阴影部分）上的概率是多少?
红红
黄绿
题图第19题图20第20.（6分）如图所示，有一个转盘，转盘被分成4个相同的扇形，颜色分为红、绿、黄三
种，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所
指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），求下列事件的概率:
（1）指针指向绿色；
（2）指针指向红色或黄色；（3）指针不指向红
色．
21.（7分）某校数学兴趣小组成员小华对本班上学期期末考试数学成绩
（成绩取整数，满分为100分）作了统计分析，绘制成如下频数分
布直方图和频数、频率分布表．请你根据图表提供的信息，解答下
列问题：
分组合计100.589.589.5～69.5～69.5～79.579.5～59.549.5～59.5
频数a50164220
频率b10.160.040.320.40（，ba?
?
1）频数、频率分布表中；
（2）补全频数分布直方图；
（3）数学老师准备从不低于90分的学生中选1人介绍学习经验，那么取得了93分的
小华被选上的概率是多少？
22．（8分）在一个不透明的盒子里，装有三个分别写有数字的小球，它们的形
状、
大小、质地等完全相同，先从盒子里随机取出一个小球，记下数字后放回盒子，摇匀
后
再随机取出一个小球，记下数字．求下列事件的概率：
（1）两次取出小球上的数字相同；
（2）两次
取出小球上的数字之和大于10．
23.（10分）某社区调查社区居民双休日的学习状
况，采取下列调查方式：
①从一幢高层住宅
楼中选取200名居民；②从不同住层楼中随
机选取200名居民；③选取社区内的200名
在校学生）上述调查方式最合理的
）将最合理的调查方式得到的数据制成扇形统计图（如图①）和频数分布直方
①请补全直方图（直接画在图②中；②在这次调查中20居民中，在家学习的
人；
（3）请估计该社区2000名居民中双休日学习时间不少于4h的人数.
24.（10分）把一副扑克牌中的三张黑桃牌（它们的正面数字分别为3、4、5）洗匀后正面
朝下放在桌面上.小王和小李玩摸牌游戏，游戏规则如下：
先由小王随机抽取一张牌，记下
牌面数字后放回，洗匀后正面朝下，再由小李随机抽取一张牌，记下牌面数字.当两张牌的
牌面数字相同时，小王赢；当两张牌的牌面数字不同时，小李赢.现请你分析游戏规则对双
方是否公平，并说明理由.
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