22
3.如图所示，已知△ABC中，AD平分/BAC,E,F分别在BD,AD上，DE=CD,EF=AC求证:
EF//
AB.
4.如图，AD>^ABC的中线，E、F分别在ABAC上，且DEIDF求证：
BE+CF>EF.
1
证：
CE=-CD.
2
5.证明：
直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。
7.分别以△ABC的边AB,AC为边，向三角形的外侧作正方形ABDE和正方形ACFG,M为BC的
中点，求证：
AMLEG.
8如图，△ABC中，AB=4,AC=7M是BC的中点，AD平分/BAG过M作MF//AD,交AC于F,
9.在^ABC中，AM是BC边上的中线，
（1）求证：
AB+AC>2AM;
（2）若AB=5,AC=9,求AM的
△ABC中，AC=8BC边上的中线AD=6则边AB的取值范围是
如图，在△ABC中，AD平分/BACE为BC的中点，过点E作EF//AD交AB于点G,交
13.如图所示，/BAC2DAE=90,M是BE的中点，AB=ACAD=AE求证：
（1）CD=2AM,
14.在^ABC中，分别以^ABC的边AB,AC为边，向三角形的外侧作正方形ABDE和正方形
ACFG点M为BC中点,.
使其和较短线段长度相等。
使其和较长线段长度相等。
a+b=c''或“a-b=C'
模块四、截长补短
1.截长：
截取较长线段，
2.补短：
延长较短线段，
适用范围：
条件或题目中出现“目的：
构造全等三角形
1.如图，在△ABC中,/B=2/C,AD丄BC于D,求证：
CD=BD+AB.
2.如图，在正方形ABCD中，M、N分别是BCCD上的点，/MAN=45.
求证：
MB+ND=MN
27
V
3、如图所示，已知△ABC中,AD平分/BAC,E、F分别在BDAD上，DE=CD已知ABCD是正方形，E、F分别在CBCD的延长线上，/EAF=135，求证：
BE+DF=EF.
4.如图，五边形ABCD冲，AB=AEBC+DE=CP/ABC+ZAED=180.连接AD.
（1）同学们学习了图形的变换后知道旋转是研究几何问题的常用方法，请你在图中作出
△ABC绕着点A按逆时针旋转“/BAE的度数”后的像；
CDE并说明理由.
5.如图，在四边形ABCD中，/B=/D=180°,AB=AD,EF分别是线段BCCD上的一点，且
1
BE+FD=EF求证：
/EAF=/BAD.
2
6.已知：
如图，在正方形ABCD中，M在CB延长线上，N在DC延长线上，/MAN=45,AH
7.已知：
如图，ABCD是正方形，/FAD=/FAE求证：
BE+DF=AE
8.如图，△ABC是正三角形，/ADC=120，求证：
BD=AD+CD.
模块五角平分线的性质与判定
1.如图，BE=CFDEIAB的延长线于点E,DF丄AC于点F,且DB=DC求证：
AD是/BAC的平分线.
2.如图，已知△ABC的周长是22,OB0C分别平分/ABC和/ACBQDLBC于D,且0D=3
ADXBC于D,且AB+BD=DC另E么/C=（
4.已知，如图，ABCD是正方形，/FAD=/FAE.求证：
BE+DF=AE.
5.如图△ABC是正三角形，△BDC是顶角/BDC=120的等腰三角形，以D为顶点作一个60
角，角的两边分别交ABAC边于MN两点，连接MN探究：
（1）线段BMMNNC之间的数量关系.
（2）若点MN分别是ABCA延长线上的点，其它条件不变，再探线段BM
MNNC之间的数量关系，在图中画出图形•并对以上两种探究结果选择一个你喜欢的加以证明.
（1）CF=EB
角平分线+平分线，等腰三角形必呈现
点垂线，垂两边，线等全等都出现
角平分线+垂线，中点全等必可见
角分线，分两边，对称全等要记全
如图，在^ABC中，BDCD分别平分/ABC和/ACB.DE//AB,FD//AC,如果BC=6求^DEF
1,若/BAC的平分线过BC的中点D,猜想AB和AC的关系并证明。
（2）如图2,若/BAC的平分线不过BC的中点D,而是与BC的垂直平分线交于点E,过E作EF丄AB,垂足为F,猜想2BFABAC的关系并证明。
3.如图，△ABC中，AB=2AG/仁/2,DA=DB你能说明DCIAC吗?
4.在^ABC中，/BAC=90,AB=AC,BE平分/ABC,CEIBE,求证：
（1）BD-BE=AB-BC;
（2）CE=-BD.
2
8.
（1）如图，在△ABC中，AD是/BAC的外角平分线，P是AD上的任意一点，试比较PB+PC
（2）如图，AD是△ABC中/BAC的平分线，P是AD上的任意一点，且AB>AC,求证：
AB-
AOPB-PC
9.如图，△ABC中，/BAC=90,AB=ACAD丄BC垂足是D,AE平分/BAD交BC于点E.在^ABC外有一点F,使FA丄AE,FC丄BC.
（1）求证：
BE=CF
（2）在AB上取一点M,使BM=2DE连接MC交AD于点N,连接ME.求证：
①MELBC②DE=DN.
10.
（1）如图，在△ABC中，/ABC/ACB的平分线相交于F,过F作DE//BC分别交ABAC于点DE.判断DE=DB+E是否成立？
为什么？
（2）如图，若点F是/ABC的平分线和
外角/ACG的平分线的交点，其他条件不变，请猜想线段DEDBEC之间有何数量关系？
11.如图，在△ABC中,BE是/ABC的角平分线，AD丄BE垂足为D,求证：
/2=/1+/C.
12.如图，CD为Rt△ABC斜边上的高，/BAC的平分线分别交CDBC于点E、F.且FGIAB,
垂足为G,求证:
CE=FG
模块七垂直平分线
1.如图，已知AB=ACDE垂直平分AB交ACAB于E、D两点，若AB=12cmBC=10cm/A=50°,求^BCE
的周长和/EBC的度数。
2.电信部门要修建一座电视信号发射塔P,按照设计要求，发射塔P到两城镇AB的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等.请在图中作出发射塔P的位置.__（尺
规作图，不写作法，保留作图痕迹）
3如图，在四边形ABCD中,AD//BC,E为CD的中点，连接AEBEBE丄AE延长AE交BC
的延长线于点F.
求证：
（1）FC=AD
（2）AB=BC+AD
（3）若/ABC=50,求/F.
4.已知：
如图AB=CD线段AC的垂直平分线于线段BD的垂直平分线相交于点E,求证：
/ABE=
大角夹半角
模块八
模型特征：
组成大角的两条线段相等，大角与半角具有公共顶点。
方法：
旋转某个图形使大角的等线段重合在一起，利用全等三角形求解。
1.操作：
如图①，△ABC是正三角形，△BDC是顶角/BDC=120的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交__ABAC边于MN两点，连接MN
探究：
线段BMMNNC之间的关系，并加以证明.
说明：
（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思
路写出来（要求至少写__3步）；
（2）在你经历说明
（1）的过程之后，可以从下列①、②中—选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明.
①AN=NC（如图②）；②DM/AC（如图③）.
附加题：
若点MN分别是射线ABCA上的点，其它条件不变，再探线段BMMNNC之间
的关系，在图④中画出图形，并说明理由.
4.如图所示，△ABC是边长为1的正三角形，△BDC是顶角顶角为120°的等腰三角形，以D为顶点做一个60°的/MDN点MN分别在ABAC上，求△AMN的周长
1
5.已知梯形ABCD中,AD//BC,AB=BC=D,点E、F分别在ADAB上，且/FCE=_/BCD。
2
（1）求证：
BF=EF-ED
（2）连接AC,若/B=80°,/DEC=70，求/ACF的度数.
模块九K字模型
1.在^ABC中，/ACB=90,AC=BC直线
MN经过点G且ADXMN于D,BEXMN于E。
B
求证：
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,
ADC^ACEB②DE=AD+BE
（2）当直线MN绕点C
旋转到图2的位置时，求证：
DE=AD-BE
（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,
试问DEADBE具有怎样的等量关系？
请写出这个等量关系,
并加以证明。
2.在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以AB、AC为一边，向外作正方形ABDE和ACFG,连接CE、BG和EG,EG与HA的延长线交于点M,试证明：
①BG=CE②BG丄CE
3.平面内有一等腰直角三角形（/ACB=90）和一直线MN过点C作CEIMN于点E,过点B作BF丄MN于
AF、BF、CE之间又有怎样的数量关
点F,当点E与点A重合时（如图1），易证：
AF+BF=2CE当三角板绕点A顺时针旋转转到图2、图3的位
置时，上述结论是否仍然成立？
若成立，请给予证明；若不成立，线段
系，请直接写出你的猜想，不需证明。
III
M㈣尸N
ffil
MSFN
图3
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