对杨辉三角的研究报告.docx

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对杨辉三角的研究报告

对杨辉三角的研究

看似数学是无聊的，无非是一列列数字，一个个几何，一道道习题，其实只要善于发现，善于开掘，数学中蕴含了无数优美的规律和神秘的排列，例如“杨辉三角〞。

什么是杨辉三角

杨辉三角形，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。

杨辉三角的历史

北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角〞进展高次开方运算。

杨辉，字谦光，南宋时期XX人。

在他1261年所著的?

详解九章算法?

一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法根源〞图，并说明此表引自11世纪前半贾宪的?

释锁算术?

，并绘画了“古法七乘方图〞。

故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角〞。

在欧洲直到1623年以后，法国数学家帕斯卡在13岁时发现了“帕斯卡三角〞。

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1）初步认识杨辉三角

二项式〔a+b〕n展开式的二项式系数，当n依次取1，2，3．．．时，列出的一X表，叫做二项式系数表，因它形如三角形，南宋的杨辉对其有过深入研究，所以我们又称它为杨辉三角．

2）杨辉三角所蕴含的数量关系

〔用Excel制作的杨辉三角的另一表现形式〕

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1〕二项式定理与杨辉三角 

与杨辉三角联系最严密的是二项式乘方展开式的系数规律，即二项式定理。

杨辉三角我们首先从一个二次多项式（a+b）^2的展开式来探讨。

由上式得出：

 （a+b）^2＝a^2+2ab+b^2  此代数式的系数为：

 1  2  1 

那么（a+b）^3的展开式是什么呢？

答案为：

a^3+3a^2b+3ab^2+b^3  

由此可发现，此代数的系数为：

 1  3  3  1  

但似乎没有什么规律，所以让我们再来看看（a+b）^4的展开式。

展开式为：

a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4     

由此又可发现，代数式的系数为：

 1 4  6  4  1 

似乎发现了一些规律，就可以发现以下呈三角形的数列：

                            1                （11^0） 

1   1              （11^1） 

1   2   1            （11^2） 

1   3   3   1          （11^3 

1   4   6   4   1        （11^4） 

1   5  10  10   5  1       （11^5） 

1   6  15  20  15  6   1     （11^6） 

所以，可得出二项式定理的公式为：

（a+b）n=C（n,0）a^n*b^0+C（n,1）a^（n-1）*b^1+...+C（n,r）a^（n-r）*b^r...+C（n,n）a^0*b^n  

因此，二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇，它把数形结合带进了计算数学。

求二项式展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题。

用系数通项公式来计算，称为“式算〞；用杨辉三角形来计算，称作“图算〞。

2〕杨辉三角的幂的关系 

首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下：

           1               （  1  ） 

1   1             （ 1+1=2  ） 

1   2   1           （1+2+1=4  ） 

1   3   3   1         （1+3+3+1=8  ） 

1   4   6   4   1       （1+4+6+4+1=16  ） 

1   5  10  10   5  1      （1+5+10+10+5+1=32  ） 

1   6  15  20  15  6   1    （1+6+15+20+15+6+1=64  ） 

„„ 

相加得到的数是1，2，4，8，16，32，64，

刚好是2的0，1，2，3，4，5次幂，即杨辉三角第n行中n个数之和等于2的n-1次幂

3〕 杨辉三角中斜行和水平行之间的关系 

（1） 

1   

（2）          n=1

 1   1   （3）        n=2 

1   2   1  （4）       n=3 

1   3   3   1  （5）     n=4 

1   4   6   4   1  （6）   n=5 

1   5  10  10  5  1 （7） n=6  

                1   6  15  20  15   6  1 （8）n=7

把斜行

（1）中第7行之前的数字相加得1+1+1+1+1+1+1=6  把斜行

（2）中第7行之前的数字相加得1+2+3+4+5=15 把斜行（3）中第7行之前的数字相加得1+3+6+10=20 把斜行（4）中第7行之前的数字相加得1+4+10=15 把斜行（5）中第7行之前的数字相加得1+5=6 把斜行（6）中第7行之前的数字相加得1 

将上面得到的数字与杨辉三角中的第7行中的数字比照，我们发现它们是完全一样的。

1

11              

1   2   1              

1   3   3   1  

        1   4   6   4   1          

 1   5   10  10  5  1         

               1   6   15  20  15  6   1 

由上面可得：

杨辉三角中n行中的第i个数是i-1中前n-1个数之和，即第n行的数分别为1、

（1）中第n行之前的数字之和、

（2）中第n行之前的数字之和、（3）中第n行之前的数字之和、（4）中第n行之前的数字之和、（n-3）中第n行之前的数字之和。

4〕杨辉三角的数字排列

1、杨辉三角的第1，3，7，15，．．．行，即第2K-1（k是正整数）行的各个数字有什么特点？

分析：

观察可知，它们均为奇数．第2K行除两端的1之外都是偶数.

2、杨辉三角第5行中，除去两端的数字1以外，行数5整除其余所有的数．你能再找出具有类似性质的三行吗？

这时的行数Ｐ是什么数？

分析：

如2，3，7，11等行．行数Ｐ是质数（素数）

3、计算杨辉三角中各行数字的和，看有何规律：

　　第1行　　1＋1＝2

　　第2行　　1＋2＋1＝4＝22

　　第3行　　1＋3＋3＋1＝8＝23

　　第4行　　1＋4＋6＋4＋1＝16＝24

　　第5行　　1＋5＋10＋10＋5＋1＝32＝25

　　　　　　　．．．

　　第n行　　

分析：

第n行数字的和为2n．

前n行（含第0行）所有数的和为2n–1，它恰好比第n行的和2n小1．

4、从杨辉三角中一个确定的数的“左〔右〕肩〞出发，向右〔左〕上方作

一条和左斜边平行的射线，在这条射线上的各数的和等于这个数．

例如：

10＝1＋2＋3＋4，

20＝1＋3＋6＋10，．．．

一般地，在第m条斜线上〔从右上到左下〕前n个数字的和，等于第m+1条斜线上的第n个数．

　根据这一性质，猜测以下数列的前n项和：

1＋1＋1＋．．．＋1＝

〔第1条斜线〕

1＋2＋3＋．．．＋

＝

〔第2条斜线〕

1＋3＋6＋．．．＋

＝

〔第3条斜线〕

1＋4＋10＋．．．＋

＝

〔第4条斜线〕

　〔第r+1条斜线〕

5、如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？

1，1，2，3，5，8，13，21，34，．．．

此数列{an}满足,a1=1,a2=1,且an=an-1+an-2（≥3）

这就是著名的斐波那契数列．

中世纪意大利数学家斐波那契的传世之作?

算术之法?

中提出了一个饶有趣味的问题：

假定一对刚出生的兔子一个月就能长成大兔子，再过一个月就开场生下一对小兔子，并且以后每个月都生一对小兔子．设所生一对兔子均为一雄一雌，且均无死亡．问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？

兔子繁殖问题可以从杨辉三角得到答案：

右侧从上而下的一列数1，1，2，3，5，8，13，…，正好是刚生的兔子，第一个月后的兔子．第二个月后的兔子，第三个月后的兔子，…n个月后的兔子的对数．“兔子繁殖问题〞的答案就是第12行右下侧的数〔第13个〕，即233．

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1〕杨辉三角与弹子游戏〔先介绍我国现代数学家华罗庚〕

华罗庚〔1910-1985〕是一位具有世界声誉的数学家，我国进入世界著名数学行列最出色的代表。

撰写了不少高质量的10部专著、200篇论文和10余部科普著作。

由于他的奉献，有许多定理、引理、不等式与方法等都用他的名字命名．为了推广优选法，华罗庚带着小分队去二十七个省市普及应用数学方法达二十年之久，取得了明显的经济效益和社会效益，为我国经济建立作出了重大奉献．在他的科普著作?

从杨辉三角谈起?

中，对杨辉三角的构成，提出了一种有趣的看法．

下面介绍弹子游戏问题

如图，在一块倾斜的木板上，钉上一些正六角　　形小木块，在它们中间留下一些通道，从上部的漏斗直通到下部的长方形框子。

把小弹子倒在漏斗里，它首先会通过中间的一个通道落到第二层六角板上面〔有几个通道就算第几层〕，以后，再落到六角板的左边或右边的两个竖直通道里去．……，以此类推，算一算：

个弹子通过n+1层通道，落到各长方形框里的可能情况。

分析：

弹子从每一通道通过时可能情况是：

它选择左右两通道可能性是相等的，而其他任一个通道的可能情形，应等于它左右肩上两个通道的可能情形的和。

可以设想，第1层只有１条通道，通过的概率是1

第2层有２条通道，每条通过的概率依次是

第3层有3个通道，每条通过的概率从左到右依次是

，

，

第4层各通道通过的概率从左到右依次是

，

，

，

．．．

照这样计算第n+1层有n+1个通道，弹子通过各通道的概率将是？

“概率三角形〞杨辉三角的关系：

第n行各概率的分子是杨辉三角中的数，分母是2n。

2〕杨辉三角与“纵横路线图〞

“纵横路线图〞是数学中的一类有趣的问题．图1是某城市的局部街道图，纵横各有五条路，如果从A处走到B处（只能由北到南，由西向东），那么有多少种不同的走法？

我们把图顺时针转45度，使A在正上方，

B在正下方，然后在穿插点标上相应的杨辉三角

数．有趣的是，B处所对应的数70，正好是答案（

70）．

一般地,每个交点上的杨辉三角数，就是从A到达该点的方法数．由此看来，杨辉三角与纵横路线图问题有天然的联系．

3〕杨辉三角与“堆垛术〞〔三角垛，正方垛，．．．〕

将圆弹堆成三角垛：

底层是每边n的三角形，向上逐层每边少一个圆弹，顶层是一个圆弹，求总数．

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总结杨辉三角对于我们好理解的规律，如下七点：

1、 每个数等于它上方两数之和。

2、 每行数字左右对称，由1开场逐渐变大。

3、 第n行的数字有n+1项。

。

4、上面两个数之和就是下面的一行的数 

5、 第n行数字和为2^（n-1）。

〔2的（n-1）次方〕

6、（a+b）^n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第（n+1）行中的每一项。

7、第n行的第m个数和第n-m个数相等，即C（n,m）=C（n,n-m），这是组合数性质 。

杨辉三角根本规律公式

〔1〕每个数都是组合数，第n行的第r+1个数是．

〔2〕三角形的两条斜边上都是数字1，而其余的数都等于它肩上的两个数字相加，也就是．

〔3〕杨辉三角具有对称性〔对称美〕，即．

〔4〕杨辉三角的第n行是二项式〔a+b〕n展开式的二项式系数，即

参考文献：

XX文库

360百科

维基百科

道客巴巴

豆丁网