最新导数平均变化率与瞬时变化率.docx

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最新导数平均变化率与瞬时变化率

导数：

平均变化率与瞬时变化率

【同步教育信息】

一.本周教学内容：

导数——平均变化率与瞬时变化率w

二.本周教学目标：

1、了解导数概念的广阔背景，体会导数的思想及其内涵．

2、通过函数图象直观理解导数的几何意义．

三.本周知识要点：

（一）平均变化率

1、情境：

观察某市某天的气温变化图

2、一般地,函数f（x）在区间[x1，x2]上的平均变化率

平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”．

（二）瞬时变化率——导数

1、曲线的切线

如图，设曲线c是函数的图象，点是曲线c上一点作割线PQ，当点Q沿着曲线c无限地趋近于点P，割线PQ无限地趋近于某一极限位置PT我们就把极限位置上的直线PT，叫做曲线c在点P处的切线

割线PQ的斜率为，即当时，无限趋近于点P的斜率．

2、瞬时速度与瞬时加速度

1）瞬时速度定义：

运动物体经过某一时刻（某一位置）的速度，叫做瞬时速度.

2）确定物体在某一点A处的瞬时速度的方法：

要确定物体在某一点A处的瞬时速度，从A点起取一小段位移AA1，求出物体在这段位移上的平均速度，这个平均速度可以近似地表示物体经过A点的瞬时速度.

当位移足够小时，物体在这段时间内的运动可认为是匀速的，所得的平均速度就等于物体经过A点的瞬时速度．

我们现在已经了解了一些关于瞬时速度的知识，现在已经知道物体做直线运动时，它的运动规律用函数表示为s＝s（t），也叫做物体的运动方程或位移公式，现在有两个时刻t0，t0+Δt，现在问从t0到t0+Δt这段时间内，物体的位移、平均速度各是：

位移为Δs＝s（t0+Δt）－s（t0）（Δt称时间增量）

平均速度

根据对瞬时速度的直观描述，当位移足够小，现在位移由时间t来表示，也就是说时间足够短时，平均速度就等于瞬时速度.

现在是从t0到t0+Δt，这段时间是Δt.时间Δt足够短，就是Δt无限趋近于0．当Δt→0时，位移的平均变化率无限趋近于一个常数，那么称这个常数为物体在t＝t0的瞬时速度

同样，计算运动物体速度的平均变化率，当Δt→0时，平均速度无限趋近于一个常数，那么这个常数为在t＝t0时的瞬时加速度．

3、导数

设函数在（a,b）上有定义，．若无限趋近于0时，比值无限趋近于一个常数A，则称f（x）在x＝处可导，并称该常数A为函数在处的导数，记作．

几何意义是曲线上点（）处的切线的斜率．

导函数（导数）：

如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数，称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数，也可记作．

【典型例题】

例1、水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，ts后容器甲中水的体积（单位：

），计算第一个10s内V的平均变化率．

解：

在区间[0，10]上，体积V的平均变化率为

即第一个10s内容器甲中水的体积的平均变化率为．

例2、已知函数，，分别计算在区间[－3，－1]，[0，5]上函数及的平均变化率．

解：

函数在[－3，－1]上的平均变化率为

在[－3,－1]上的平均变化率为

函数在[0，5]上的平均变化率为

在[0，5]上的平均变化率为

例3、已知函数，分别计算函数在区间[1，3]，[1，2]，[1，1.1]，[1，1.001]上的平均变化率．

解：

函数在区间[1，3]上的平均变化率为

函数在[1，2]上的平均变化率为

函数在[1，1.1]上的平均变化率为

函数在[1，1.001]上的平均变化率为

例4、物体自由落体的运动方程s＝s（t）＝gt2，其中位移单位m，时间单位s，g＝9.8m/s2.求t＝3这一时段的速度.

解：

取一小段时间［3，3+Δt］，位置改变量Δs＝g（3+Δt）2－g·32＝（6+Δt）Δt，平均速度g（6+Δt）

当Δt无限趋于0时，无限趋于3g＝29.4m/s．

例5、已知质点M按规律s＝2t2+3做直线运动（位移单位：

cm，时间单位：

s），

（1）当t＝2，Δt＝0.01时，求.

（2）当t＝2，Δt＝0.001时，求.

（3）求质点M在t＝2时的瞬时速度.

分析：

Δs即位移的改变量，Δt即时间的改变量，即平均速度，当Δt越小，求出的越接近某时刻的速度.

解：

∵＝4t+2Δt

∴

（1）当t＝2，Δt＝0.01时，＝4×2+2×0.01＝8.02cm/s．

（2）当t＝2，Δt＝0.001时，＝4×2+2×0.001＝8.002cm/s．

（3）Δt0，（4t+2Δt）＝4t＝4×2＝8cm/s

例6、曲线的方程为y＝x2+1，那么求此曲线在点P（1，2）处的切线的斜率，以及切线的方程．

解：

设Q（1+，2+），则割线PQ的斜率为：

斜率为2

∴切线的斜率为2．

切线的方程为y－2＝2（x－1），即y＝2x．

【模拟试题】

1、若函数f（x）＝2x2+1，图象上P（1,3）及邻近点Q（1+Δx,3+Δy），则＝（）

A.4B.4ΔxC.4+2ΔxD.2Δx

2、一直线运动的物体，从时间到时，物体的位移为，那么时，为（）

A.从时间到时，物体的平均速度；B.在时刻时该物体的瞬时速度；

C.当时间为时物体的速度；D.从时间到时物体的平均速度

3、已知曲线y＝2x2上一点A（1，2），求

（1）点A处的切线的斜率.

（2）点A处的切线方程.

4、求曲线y＝x2+1在点P（－2，5）处的切线方程．

5、求y＝2x2+4x在点x＝3处的导数．

6、一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是s＝s（t）＝t2（位移单位：

m，时间单位：

s），求小球在t＝5时的瞬时速度

7、质点M按规律s＝2t2+3做直线运动（位移单位：

cm，时间单位：

s），求质点M在t＝2时的瞬时速度．

【试题答案】

1、B

2、B

3、解：

（1）时，k＝

∴点A处的切线的斜率为4.

（2）点A处的切线方程是y－2＝4（x－1）即y＝4x－2

4、解：

时，k＝

∴切线方程是y－5＝－4（x+2），即y＝－4x－3.

5、解：

Δy＝2（3+Δx）2+4（3+Δx）－（2×32+4×3）＝2（Δx）2+16Δx，＝2Δx+16

∴时，y′|x＝3＝16

6、解：

时，瞬时速度v＝（10+Δt）＝10m/s.

∴瞬时速度v＝2t＝2×5＝10m/s.

7、解：

时，瞬时速度v＝＝（8+2Δt）＝8cm/s

【励志故事】

遭窃的罗斯福

罗斯福还未当上美国总统之前，家中遭窃，朋友写信安慰他．罗斯福回信说：

“谢谢你的来信，我现在心中很平静，因为：

第一、窃贼只偷去我的财物，并没有伤害我的生命．第二、窃贼只偷走部分的东西，而非全部．第三、最值得庆幸的是：

做贼的是他，而不是我．”