逻辑代数初步doc.docx
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逻辑代数初步doc
11.1二进制及其转换
目标导航：
1．理解二进制计数法，了解数位和基数的概念，会进行二进制数与十进制数间
的换算．
2．理解二进制数加法和乘法的运算规则，会进行简单的二进制数加法和乘法运
算．
学习重点：
二进制的概念、二进制数与十进制数的相互换算．
学习难点：
二进制数与十进制数的相互换算
过程探究：
人们最常用、最熟悉的进位制是十进制.十进制是用“0，1，2，3，4，5，6，7，
8，9”十个数码符号（或叫数码）放到相应的位置来表示数，如3135．
数码符号在数中的位置叫做数位.计数制中,每个数位上可以使用的数码符号的个数叫做这个计数制的基数．十进制的每一个数位都可以使用十个数码符号（或叫数码），因此，十进制的基数为10．
每个数位所代表的数叫做位权数．十进制数的进位规则为“逢10进位1”．位权数如表11-1所示．
整数部分小数
位置
点
第3
第2
第1
⋯
起点
位
位
位
位权
⋯
数
表11-1
十进制数的意义是各个数位的数码与其位权数乘积之和．例如
31353103110231015100．
学时诊断：
将361200用各个数位的数码与其位权数乘积之和表示
在电路中，电子元件与电路都具有两种对立的状态．如电灯的“亮”与“不
亮”，电路的“通”与“断”，信号的“有”和“无”．采用数码
0和1表示相互
对立的两种状态十分方便，因此，在数字电路中普遍采用二进制．
二进制的基数为
2，每个数位只有两个不同的数码符号0和1．进位规则为“逢
2进1”．各数位的位权数如表
11-2所示．
整数部分
小数
表11-2
点
例如，二进制数1100100的意义
位置
第3
第2
1
是
第
⋯
起点
位
位
位
126
125024
023
122
021
020
．
位权数
⋯
将这些数字计算出来，就把二进
制数换算成了十进制数．
1
26
1
25
0
24
0
23
1
22
0
21
0
20=100．
为区别不同进位制的数
通常用下标指明基数．如（100）2表示二进制中的数，
（100）10表示十进制中的数．
由上面的计算知（1100100）2=（100）10．
【注意】
二进制数100与十进制数100表示的不是同一个数．
例1将二进制数101换算为十进制数．
解1012122021120140211401510.
学时诊断：
将下列二进制数转换成十进制数：
（1）（10010011）2
（2）（11001100111）2
将十进制数换算为二进制数，其实质是把十进制数化成
2的各次幂之和的形式，
并且各次幂的系数只能取
0和
1．通常采用“除
2取余法”．
具体方法是：
不断用
2去除要换算的十进制数，余数为
1，则相应数位的数码为
1；余数为0，则相应数位的数码为0．一直除到商数为零为止．然后按照从高位
到低位的顺序写出换算的结果．
例2将十进制数（97）10换算为二进制数．
解2
97
LL
余
1
20位
2
48
LL
余
0
21位
24
LL
余
0
22位读
12
LL
余
0
2
3
位
数
方
6
LL
余
0
24位向
3
LL
余
1
25位
所以（97）10=（1
LL
余
1
26位
26
125
024
023
022
021
120）10
（
）2.
=
1100001
例3将十进制数（84）10换算为二进制数．
解2
84
LL
余
0
20位
2
42
LL
余
0
21位
21
LL
余1
22位
读
10
LL
余
0
3
数
2位
方
5
LL
余1
24位
向
2
LL
余
0
25位
LL
余1
26位
所以（84）10=（1010100）2.
学时诊断：
将下列十进制数转换成二进制数：
（1）（45）10
（2）（89）10（3）（123）10
精炼：
课时作业
11．2命题逻辑与条件判断
目标导航：
1．理解命题逻辑的基本概念，能判断一些简单命题的真假
2．理解几个常用的联结词的意义，并能判断一些条件的真假
学习重点：
几个常用联结词的意义及条件判断
学习难点：
几个常用联结词的意义
过程探究：
在日常生活中，我们经常听到这样一些话，例如，“现在的房价比十年前高”“今天是晴天”等等具有判断性的话，你还能举一些例子吗？
数学中的命题逻辑就是研究判断的，我们首先从命题入手
问题1：
什么是命题？
能够判断真假的语句叫做命题。
正确的命题称为真命题，并记它的值为“真”。
错误的命题称为假命题，并记它的值为“假”。
问题2：
下列句子中，哪些是命题？
哪些不是命题？
如果是命题，指出它是真命题还是
假命题。
（1）2>5。
（2）x+y=1。
（3）如果一个三角形的两个内角相等，那么这个三角形是等腰三角形。
（4）你吃过午饭了吗？
（5）火星上有生物。
（6）禁止吸烟！
（7）平行四边形的两组对边平行且相等。
（8）今天天气真好啊！
（9）在同一平面内的两条直线，或者平行，或者垂直。
解决：
（1）（3）（5）（7）（9）是命题，其中（3）（7）是真命题，
（1）（9）是假命题，（5）到目前为止还无法确定真假，但就命题本身而言是有真有假的，之所以无法真假，是因为人类的认识水平还不够，
（2）（4）（6）（8）是假命题。
我们通常用小写字母p,q,r等来表示命题。
?
p：
2>5?
q:
如果一个三角形的两个内角相等，那么这个三角形是等腰三角形。
学时诊断：
问题3：
上述两个命题，它们的值分别是真是假？
解决：
命题p是假命题，命题q是真命题。
注：
将一些简单命题要联结词联结，就构成复合命题
“非”
——设p是一个命题，则p的非（又称为否定）是一个新的命题。
记作?
p
你能说出命题p与?
p的真假值关系吗？
表11-3
真
假
例1：
写出下列命题的非命题，并判断其真假
（1）p：
2+3=6。
（2）q：
雪是白的。
（3）r：
不存在最大的整数。
（4）p：
2>3
解：
（1）p：
236，它是一个假命题
（2）q:
雪不是白的，它是一个假命题
（3）p：
存在最大的整数，它是一个假命题
“且”
——设p，q是两个命题，则“p且q”是一个新命题。
记作p∧q你能说出命题p与q的以及p∧q的真假值关系吗？
并举例说明。
表11-4
真真
真假
假真
假假
例2：
根据下列各组中的命题p和q，写出p∧q，并判断真假。
（1）p：
雪是黑的；q：
太阳从东方升起。
（2）p：
8=3+4；q：
3>4.
（3）p：
60是3的倍数；q：
60是5的倍数。
解：
（1）pq：
雪是黑的且太阳从东方升起，它是一个假命题
（2）pq：
834且34，它是一个假命题
（3）pq：
60是3的倍数且是5的倍数，它是一个真命题
注：
用“且”连接的命题真假判断时是：
同真为真，有一假为假
“或”
——设p，q是两个命题，则“p或q”是一个新命题。
记作p∨q值关系吗？
并举例说明。
表11-5
真真
真假
假真
假假
例3：
根据下列各组中的命题p和q，写出p∨q，并判断真假。
（1）p：
雪是黑的；q：
太阳从东方升起。
（2）p：
8=3+4；q：
3>4.
（3）p：
60是3的倍数；q：
60是5的倍数。
解：
（1）pq：
雪是黑的或太阳从东方升起，它是一个真命题
（2）pq：
834或34，它是一个真命题
（3）pq：
60是3的倍数或是5的倍数，它是一个真命题
注：
用“或”连接的命题真假判断时是：
同假为假，有一真为真.
学时诊断:
1.指出下列命题是那些命题用怎样的逻辑连接而成的
（1）12
既是4的倍数，又是6的倍数
（2）x2
4的解是x2或x2
（3）异面直线不相交
2.写出下列命题的pq和pq的形式,并判断其真假.
（1）p:
是无理数q:
是实数
（2）p:
2>3q:
8
715
（3）p:
2是有理数
q:
2是无理数
（4）p:
y
x2是R上的增函数
q:
y
x2是R上的减函数
拓展深化
问题
4：
某单位招工的基本条件是“笔试合格，从事相关工作
2年以上”，符
合基本条件的人就可以参加面试。
如果用
p表示“笔试合格”，命题
q表示“从事
相关工作两年以上”，那么参加面试的条件用复合命题如何表示？
问题5：
评选优秀干部的条件是：
每门科目成绩都合格，担任班干部或者团干
部。
如果用用p表示“每门科目成绩都合格”，用q表示“担任班干部”，用r表
示“担任团干部”，那么评选优秀干部的条件用复合命题如何表示？
精炼:
课时作业
1.下列语句是命题的是（）A.语文或数学B.上课
C.你好吗?
D.2×3=8
2.给出下列命题
（1）329
（2）圆周率是有理数
（3）x3可以表示成x3且x3
（4）如果AB,则ABA
（5）8是4的倍数且是偶数
其中正确的命题是（）
A.1个B.两个C.3
个D.4个
3.命题p:
对任意
2
1
0
命题q:
56,
则下列
”真
x
Rx
3个命题“p且q”“p或q”“非p
命题的个数是（）
A.0B.1
C.2D.3
4.已知p:
225,q:
3>2,则下列判断错误的是（）A.p或q为真,非p为假
B.p或q为真,非p为真
C.p或q为真,非p为假
D.p且q为假,p或q为真
5.用符号“,,”中的两个填空
（1）x>2或x<-3________（x-2）（x+3）>0
（2）a>b且c<0________ac>bc
（3）x22x10________x>1
（4）
a,b
是两个向量,a=a（
R）______a//b
（5）
a2
b2_______|a|>|b|
（6）
x2
4x3________x
4x3
6.写出下列命题构成的“p且q”“p或q”“非p”复合命题,并判断其真假.’
（1）p:
6是自然数,q:
6是偶数;
（2）p:
0,q:
0;
（3）p:
甲是动员,q:
甲是教练员
（4）p:
两直线平行,同位角相等,q:
两直线平行内错角相等
（5）p:
10能被2个整除,,q:
10能被5整除
7.判断下列命题中是否含有逻辑联结词“且”、“或”、“非”，若含有，请指出其中的p、q基本命题.
（1）菱形的对角线相互垂直平分;
（2）2是4和6的约数;
（3）不等式x2
5x
60的解为x
3或x2.
8.已知p:
函数y
x
2
mx
1在1,
上是单调递增,
q:
函数y4x2
4（m
2）x
1大于零恒成立.
若pq为真,pq为假,求m的取值范围
11.3逻辑变量与基本运算
目标导航:
1.理解逻辑变量的概念及三种基本的逻辑运算．
2了解逻辑运算的优先次序．
学习重点:
1.逻辑变量的概念．
2.三种基本的逻辑运算．
学习难点:
逻辑变量的概念．
过程探究:
观察两个开关相并联的电路（如图11-1）．将开关A、B与电灯S的状态列表如下（如
表11－6：
图11-1
表11－6
开关A开关B电灯S
断开断开灭
断开合上亮
合上断开亮
合上合上亮
可以看到，电灯S是否亮，取决于开关A、B的状态，它们之间具有因果逻辑关
系．逻辑代数研究的就是这种逻辑关系．开关A、B与电灯S的状态都是逻辑变量，
用大写字母A，B，C，⋯表示．
逻辑变量只能取值0和1．需要说明的是，这里的值“0”和“1”，不是数学中通常表示数学概念的0和1，而是表示两种对立的逻辑状态，称为逻辑常量．在具体问题中，可以一种状态为“0”，与它相反的状态为“1”．
规定开关“合上”为“1”，“断开”为“0”；“灯亮”为“1”，“灯灭”为
“0”，则表11－6可以写成表11－7．
表11-7
A
B
S
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
在开关相并联的电路（如图11－1）中，开关A与开关B至少有一个“合上”时，
电灯S就“亮”．我们将这种逻辑关系叫做变量A与变量B的逻辑加法运算（“或”运算），并把S叫做A、B的逻辑和，记作A+B=S（或A∨B=S）．其运算规则如表11－7所示．
表11－7
A
B
A+B=S
0
0
0+0=0
0
1
0+1=1
1
0
1+0=1
1
1
1+1=1
其中，“1+1=1，1+0=1，0+1=1，0+0=0”是或运算的运算法则.
例1,写出下列各式的运算结果
（1）1+0+0
（2）1+0+1（3）0+（1+1+0）
解:
（1）1+0+0=1+0=1
（2）1+0+1=1+1=1
（3）0+（1+1+0）=0+（1+0）=0+1=1
学时诊断:
写出下列各式的运算结果
（1）（1+0+1）+0+1
（2）0+0+1（3）0+0（4）0+0+0+0
观察两个开关相串联的电路（如图4-2），当开关A和开关B同时合上时，电灯Ｐ才
会亮．
图11-2
我们把这种逻辑关系叫做变量A与变量B的逻辑乘法运算（“与”运算），并把P叫做A、B的逻辑积，记作A·B=P（或A∧B=P），简记为AB=P．其运算规则如表11－8所示．
表11－8
A
B
A·B=P
0
0
0·0=0
0
1
0·1=0
1
0
1·0=0
1
1
1·1=1
其中“1?
1
1,1?
0
0,0?
11,0?
0
0”是与运算的运算法则.
例2写出下列各式的运算结果
（1）
1?
1
0
（2）1
0?
1
1
解
（1）1?
10101
（2）10?
11111111
学时诊断:
写出下列各式的运算结果
（1）11?
0
（2）00?
10（3）00?
10?
0（）
观察开关与电灯相并联的电路（如图11-3）．当开关A合上时，电灯灭；当开
关A断开时，电灯亮．
图11
我们把这种逻辑关系叫做变量A的逻辑非运算，并把D叫做A的逻辑非，记作
DA．其运算规则如表11－9所示．
表11－9
A=D
0
1
【注意】
这里0的意思是“非0”，既然不为0，那么只能是1.同样，1的意思是“非1”，只
能是0.
学时诊断:
1.填表：
AB
+
·
AB
AB
10
11
10
11
2.填表：
AB+=
ABAB
D
00
01
10
11
精炼:
课时作业
11.4逻辑式与真值表
目标导航:
1.理解逻辑式及真值表的概念
2.能够进行逻辑式与真值表互化
3.了解等值逻辑式的含义,能够用真值现场采访验证等值逻辑式
学习重点:
逻辑式的运算及逻辑式对应的真值表
学习难点:
逻辑式与真值表的互化
过程探究:
由常量1、0以及逻辑变量经逻辑运算构成的式子叫做逻辑代数式，简称逻辑式．例
如
A+B，AB，AB+A，A，1，0
等都是逻辑式．这里我们把表示常量的1和0及单个变量都看作是逻辑式．
逻辑运算的优先次序依次为“非运算”，“乘运算”，“加运算”．比如D=AB+C
的运算顺序应为：
先计算A，再计算AB，最后计算AB+C．对于添加括号的逻辑式，
首先要进行括号内的运算．
例1.
学时诊断:
逻辑代数式与普通代数式有什么异同？
将各逻辑变量取定的一组值代入逻辑式，经过运算，可以得到逻辑式的一个值
（0或1）．例如ABAB.
当A=B=0时，有
当A=0，B=1时，有
列出A,B的一切可能取值与相应的逻辑式ABAB值的表，叫做逻辑式ABAB的真
值表．
例如，表
11－10就是
AB
AB
的真值表．
表11－10
A
B
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
注:
真值表必须列出逻辑变量所有可能取值所对应的函数值．两个逻辑变量有224种
可能取值，三个逻辑变量有238种可能取值，⋯，n个逻辑变量有2n种可能取值．
如果对于变量A、B、C的任何一组取值，两个逻辑式的值都相同，这样的两个
逻辑式叫做等值逻辑式，等值逻辑式可用等号“=”连接，并称为等式，如
（A+B）C=AC+BC．需要注意，这种相等是状态的相同．
例2用真值表验证下列等式：
（1）
（2）
ABAB；
ABAB（AB）（AB）．
分析真值表的行数取决于逻辑变量的个数，题目中有两个逻辑变量，真值表有
四行．
解
（1）列出真值表：
A
B
A+B
0
0
0
1
1
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
1
0
0
0
0
可以看出对于逻辑变量的任何一组值，
A
B与AB的值都相同，所以ABAB．
（2）列出真值表
A
B
A+B
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
0
可以看出对于逻辑变量的任何一组值，
AB
AB与（A
B）（AB）的值都相同，所以
ABAB（AB）（AB）．
例3如图4-4所示，
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