命令CylindriealPlot3D的使用格式是
CylindricalPlot3D[z[r,],{r,r1,r2},{,1,2}]
例
CylindricalPlot3D[r^2,{r,0,2},{t,0,2Pi}]
3.球坐标系中作三维图形命令SpheriealPlot3D
命令SphericalPlot3D的使用格式是
SphericalPlot3D[r[,],{,1,2},{,1,2},选项]
例
SphericalPlot3D[2,{u,0,Pi},{v,0,2Pi},PlotPoints40]
4.向量的内积
与通常一样,用“.”表示两个向量的内积,例如输入
vec1={a1,b1,c1}
vec2={a2,b2,c2}
则定义了两个三维向量,再输入
vec1.vec2
【实验环境】
系统
MicrosoftWindowsXP
Professional
版本2002
ServicePack3
GhostXP_SP3电脑公司快速装机版V2011.07
Intel(R)Core(TM)i3CPU
550@3.20GHz
3.19GHz,1.74GB的内存
Mathematica5.2
二、实验内容:
【实验方案】
通过用Mathematica5.2软件,计算:
1.计算重积分
2.重积分的应用
3.计算曲线积分
4.计算曲面积分
【实验过程】(实验步骤、记录、数据、分析)
1.计算重积分
例8.1计算
,其中D为由
所围成的有界区域.(*Example8.1*)
Integrate[x*y^2,{y,1,2},{x,2-y,Sqrt[y]}]
例8.2计算
,其中D为
.(*Example8.2*)
Clear[f,r];
f[x_,y_]=Exp[-(x^2+y^2)];
Integrate[f[x,y],{x,-1,1},{y,-Sqrt[1-x^2],Sqrt[1-x^2]}]
Integrate[(f[x,y]/.{xr*Cos[t],yr*Sin[t]})*r,{t,0,2Pi},{r,0,1}]
例8.3 计算三重积分
,其中由曲面
和
围成.(*Example8.3*)
g1=ParametricPlot3D[{Sqrt[2]*Sin[fi]*Cos[th],Sqrt[2]*Sin[fi]*Sin[th],Sqrt[2]*Cos[fi]},{fi,0,Pi/4},{th,0,2Pi}]
g2=ParametricPlot3D[{z*Cos[t],z*Sin[t],z},{z,0,1},{t,0,2Pi}]
Show[g1,g2,ViewPoint{1.3,-2.4,1.0}]
g[x_,y_,z_]=x^2+y^2+z;
Integrate[g[x,y,z],{x,-1,1},{y,-Sqrt[1-x^2],Sqrt[1-x^2]},{z,Sqrt[x^2+y^2],Sqrt[2-x^2-y^2]}]
Integrate[(g[x,y,z]/.{xr*Cos[s],yr*Sin[s]})*r,{r,0,1},{s,0,2Pi},{z,r,Sqrt[2-r^2]}]
Integrate[(g[x,y,z]/.{xr*Sin[fi]*Cos[s],yr*Sin[fi]*Sin[t],zr*Cos[fi]})*r^2*Sin[fi],{s,0,2Pi},{fi,0,Pi/4},{r,0,Sqrt[2]}]
2.重积分的应用
例8.4 求由曲面
与
所围成的空间区域的体积.(*Example8.4*)
Clear[f,g];
f[x_,y_]=1-x-y;
g[x_,y_]=2-x^2-y^2;
Plot3D[f[x,y],{x,-1,2},{y,-1,2}]
Plot3D[g[x,y],{x,-1,2},{y,-1,2}]
Show[%,%%]
jx=Solve[f[x,y]g[x,y],y]
y1=jx[[1,1,2]]
y2=jx[[2,1,2]]
tu1=Plot[y1,{x,-2,3},PlotStyle{Dashing[{0.02}]}, DisplayFunctionIdentity];
tu2=Plot[y2,{x,-2,3},DisplayFunctionIdentity];
Show[tu1,tu2,AspectRatio1,DisplayFunction$DisplayFunction]
xvals=Solve[y1y2,x]
x1=xvals[[1,1,2]]
x2=xvals[[2,1,2]]
volume=Integrate[g[x,y]-f[x,y],{x,x1,x2},{y,y1,y2}]//Simplify
例8.5 求曲面
在Oxy平面上部的面积S.(*Example8.5*)
< CylindricalPlot3D[4-r^2,{r,0,2},{t,0,2Pi}]
Clear[z,z1];
z=4-x^2-y^2;
z=Sqrt[D[z,x]^2+D[z,y]^2+1]
z1=Simplify[z/.{xr*Cos[t],yr*Sin[t]}];
Integrate[z1*r,{t,0,2Pi},{r,0,2}]//Simplify
例8.6 在Oxz平面内有一个半径为2的圆,它与z轴在原点O相切,求它绕z轴旋转一周所得旋转体体积.(*Example8.6*)
SphericalPlot3D[4Sin[t],{t,0,Pi},{s,0,2Pi},Plotpoits30,ViewPoint{4,0.54,2}]
Integrate[r^2*Sin[t],{s,0,2Pi},{t,0,Pi},{r,0,4Sin[t]}]
3.计算曲线积分
例8.7 求
,其中
=
,路径L为:
.(*Example8.7*)
Clear[x,y,z];
luj={t,t^2,3t^2};
D[luj,t]
ds=Sqrt[D[luj,t].D[luj,t]];
Integrate[(Sqrt[1+30x^2+10y]/.{xt,yt^2,z3t^2})*ds,{t,0,2}]
例8.8 求
,其中
.
(*Example8.8*)
vecf={x*y^6,3x*(x*y^5+2)};
vecr={2Cos[t],Sin[t]};
Integrate[(vecf.D[vecr,t])/.{x2Cos[t],ySin[t]},{t,0,2Pi}]
例8.9 求锥面
与柱面
的交线的长度.(*Example8.9*)
g1=ParametricPlot3D[{Sin[u]*Cos[v],Sin[u]*Sin[v],Sin[u]},{u,0,Pi},{v,0,2Pi},DisplayFunctionIdentity];
g2=ParametricPlot3D[{Cos[t]^2,Cos[t]*Sin[t],z},{t,0,2Pi},{z,0,1.2},DisplayFunctionIdentity];
Show[g1,g2,ViewPoint{1,-1,2},DisplayFunction$DisplayFunction]
ParametricPlot3D[{Cos[t]^2,Cos[t]*Sin[t],Cos[t]},{t,-Pi/2,Pi/2},ViewPoint{1,-1,2},TicksFalse]
Clear[x,y,z];
x=Cos[t]^2;
y=Cos[t]*Sin[t];
z=Cos[t];
qx={x,y,z};
Integrate[Sqrt[D[qx,t].D[qx,t]]//Simplify,{t,-Pi/2,Pi/2}]
%//N
4.计算曲面积分
例8.10 计算曲面积分
,其中为锥面
被柱面
所截得的有限部分.(*Example8.10*)
Clear[f,g,r,t,mj];
f[x_,y_,z_]=x*y+y*z+z*x;
g[x_,y_]=Sqrt[x^2+y^2];
mj=Sqrt[1+D[g[x,y],x]^2+D[g[x,y],y]^2]//Simplify;
Integrate[(f[x,y,g[x,y]]*mj/.{xr*Cos[t],yr*Sin[t]})*r,{t,-Pi/2,Pi/2},{r,0,2Cos[t]}]
例8.11 计算曲面积分
,其中为球面
的外侧.(*Example8.11*)
Clear[A,fa,ds];
A={x^3,y^3,z^3};
fa={x,y,z}/a;
ds=a^2*Sin[u];
Integrate[(A.fa/.{xa*Sin[u]*Cos[v],ya*Sin[u]*Sin[v],za*Cos[u]})*ds//Simplify,{u,0,Pi},{v,0,2Pi}]
< SetCoordinates[Cartesian[x,y,z]];
diva=Div[A];
Integrate[(diva/.{xr*Sin[u]*Cos[v],yr*Sin[u]*Sin[v],zr*Cos[u]})*r^2*Sin[u],{v,0,2Pi},{u,0,Pi},{r,0,a}]
【实验结论】(结果)
通过用mathematica5.2在计算机上输入相应的命令程序,解决以下问题:
首先,解决计算重积分的问题;
其次,重积分的应用的相关题目;还有计算曲线积分的问题;
最后,计算曲面积分的相关内容。
【实验小结】(收获体会)
通过本节的学习初步掌握了重积分命令Integrate[x*y^2,{x,0,1},{y,0,x}和NIntegrate[Sin[x*y^2],{x,0,1},{y,0,1}];柱坐标系中作三维图形命令<以及通过上机练习之后,更深层次的理解了计算重积分,重积分的应用,计算曲线积分,计算曲面积分的相关内容。
三、指导教师评语及成绩:
评语
评语等级
优
良
中
及格
不及格
1.实验报告按时完成,字迹清楚,文字叙述流畅,逻辑性强
2.实验方案设计合理
3.实验过程(实验步骤详细,记录完整,数据合理,分析透彻)
4实验结论正确.
成绩:
指导教师签名:
批阅日期:
附录1:
源程序
第1题
Integrate[y*Sin[x]-x*Sin[y],{x,0,Pi/6},{y,0,Pi/2}]
第2题
1.24012
NIntegrate[Sin[Exp[x*y]],{x,0,1},{y,0,1}]
0.917402
第3题
Integrate[Exp[2x]*(2y-z),{x,0,3},{z,1,x},{y,z-x,z+x}]
Integrate[ArcTan[x*y],{x,0,1},{y,0,1}]
第4题
Integrate[x*Cos[y^2],{x,0,3},{y,x^2,9}]
第5题
Integrate[Exp[x^2],{y,0,2},{x,2y,4}]
Integrate[Exp[x^2],{x,0,4},{y,0,x/2}]
第6题
Integrate[Sin[],{,ArcTan[3],Pi-ArcTan[3]}]
第7题
Clear[g1]
g1=ParametricPlot3D[{z*Cos[t],z*Sin[t],z},{z,0,2},{t,0,2Pi},
DisplayFunctionIdentity]
g2=Plot3D[1,{x,-2,2},{y,-2,2},DisplayFunctionIdentity]
Show[g1,g2,DisplayFunction$DisplayFunction]
Clear[g]
g[x_,y_,z_]=z/((x^2+y^2+z^2)^(3/2));
Clear[f,r,t,s];
f[x_,y_,z_]=x^4+y^2+z^2;
第8题
d1=Sqrt[D[luj,t].D[luj,t]];
NIntegrate[(Sqrt[1+x^3+5y^3]/.{xt,y(t^2)/3,zSqrt[t]})*d1,{t,0,2}]
5.80805
第9题
S1={3/(1+x^2),2/(1+y^2)};
S2={Cos[t],Sin[t]};
Integrate[(S1.D[S2,t])/.{xCos[t],ySin[t]},{t,0,Pi}]
第10题
Clear[z];
z[x_,y_]=x*y;
g1=ParametricPlot3D[{r*Cos[t],r*Sin[t],r^2Cos[t]*Sin[t]},{r,0,2},{t,0,2Pi},DisplayFunctionIdentity]
g2=ParametricPlot3D[{Cos[t],Sin[t],z},{t,0,2Pi},{z,-3,3},DisplayFunctionIdentity]
Show[g1,g2,ViewPoint{1,-1,1},DisplayFunction$DisplayFunction]
Graphics3D
第11题
Clear[A,f1,d1];
A={0,0,x^2*y^2*z};
f1={x,y,z}/a;
d1=a^2*Sin[u];
Integrate[(A.f1/.{xa*Sin[u]*Cos[v],ya*Sin[u]*Sin[v],
za*Cos[u]})*d1//Simplify,{u,Pi/2,Pi},{v,0,2Pi}]
第12题
Clear[f,g,r,t];
f[x_,y_,z_]=x+y+z;
g[x_,y_]=Sqrt[a^2-x^2-y^2];
mj=Sqrt[1+D[g[x,y],x]^2+D[g[x,y],y]^2]//Simplify;
Integrate[(f[x,y,g[x,y]]*mj/.{xr*Cos[t],yr*Sin[t]})*r,
{t,0,2Pi},{r,Sqrt[a^2-h^2],a}]
附录2:
实验报告填写说明
1.实验项目名称:
要求与实验教学大纲一致。
2.实验目的:
目的要明确,要抓住重点,符合实验教学大纲要求。
3.实验原理:
简要说明本实验项目所涉及的理论知识。
4.实验环境:
实验用的软、硬件环境。
5.实验方案(思路、步骤和方法等):
这是实验报告极其重要的内容。
概括整个实验过程。
对于验证性实验,要写明依据何种原理、操作方法进行实验,要写明需要经过哪几个步骤来实现其操作。
对于设计性和综合性实验,在上述内容基础上还应该画出流程图、设计思路和设计方法,再配以相应的文字说明。
对于创新性实验,应注明其创新点、特色。
6.实验过程(实验中涉及的记录、数据、分析):
写明具体实验方案的具体实施步骤,包括实验过程中的记录、数据和相应的分析。
7.实验结论(结果):
根据实验过程中得到的结果,做出结论。
8.实验小结:
本次实验心得体会、思考和建议。
9.指导教师评语及成绩:
指导教师依据学生的实际报告内容,给出本次实验报告的评价。