重庆八中高三下高考适应性月考五数学答案.docx
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重庆八中高三下高考适应性月考五数学答案
重庆市第八中学2022届高考适应性月考卷（五）
数学
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合，，则（）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】由对数函数定义域可求得集合，由交集定义可得结果.
详解】由得：
，，.
故选：
C.
2.设向量，，则与夹角的余弦值为（）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】由向量夹角坐标运算可直接求得结果.
【详解】，.
故选：
B.
3.的展开式中的常数项为（）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】由二项式定理可得展开式的通项公式，令可得常数项.
【详解】展开式的通项公式为：
；
令，解得：
，展开式中的常数项为.
故选：
B.
4.五声音阶（汉族古代音律）就是按五度的相生顺序，从宫音开始到羽音，依次为：
宫，商，角，徵，羽，若宫的频率为，则宫，商，角，徵，羽的频率分别是、、、、.定义音比（大于1）是相邻两个音的频率比，上述音比只有两个不同的值，记为，则下列关系式不成立的是（）（参考数据：
、）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】依题意首先求出音比，即可得到、，再根据对数的运算法则计算可得；
【详解】解：
因为，，，，因为，所以，，故A正确，所以，故B正确；
，故C错误；
，故D正确；
故选：
C
5.函数的递增区间为（）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】求导后，结合三角函数知识可确定当时，，由此可得结果.
【详解】，
当时，，，则；
当时，，，则；
在上的单调递增区间为.
故选：
D.
6.设，，则（）
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据对数函数的性质可得，，由此可判断得选项.
【详解】解：
因为，，所以，所以，故排除A、B选项；
又，且，所以，
故选：
D.
7.已知点在动直线上的射影为点，为坐标原点，那么的最小值为（）
A.3B.4C.5D.6
【答案】B
【解析】
【分析】首先求出动直线恒过定点，依题意可知，则点的轨迹是以为直径的圆，求出圆心坐标与半径，即可得到轨迹方程，再求出，即可求出的最小值；
【详解】解：
动直线，即，令，解得，即动直线恒过定点，又因为点在动直线上的射影为点，所以，所以点的轨迹是以为直径的圆，故圆心为的中点，半径，所以点的轨迹方程为，又，所以，即的最小值为；
故选：
B
8.在平面直角坐标系中，角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆的交点在第一象限内.若，则（）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】先利用两角和的正弦公式展开，与联立得到关于、的方程组，再利用任意角的三角函数定义即可求，要注意，.
【详解】因为角的终边与单位圆的交点在第一象限内，
所以，.
因为，所以，
即，
将代入，
得，
即，
解得，
当时，（舍）；
当时，；
所以.
故选：
C.
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9.在复平面内，已知复数对应的点在第四象限，则实数的可能取值有（）
A.B.C.D.
【答案】AB
【解析】
【分析】由的幂指数运算的周期性可化简复数得其对应的点为，根据点在第四象限可构造不等式组求得，由此可确定结果.
【详解】，，
，
则对应的点为，
对应的点在第四象限，，解得：
，
实数可能取值为，.
故选：
AB.
10.棱长为的正方体的展开图如图所示.已知为线段的中点，动点在正方体的表面上运动.则关于该正方体，下列说法正确的有（）
A.与是异面直线B.与所成角为
C.平面平面D.若，则点的运动轨迹长度为
【答案】BCD
【解析】
【分析】由展开图还原正方体，根据可知A错误；由可知异面直线与所成角为，由此可求得B正确；由线面垂直的判定可证得平面，由面面垂直的判定可知C正确；根据平面，平面平面可得点轨迹，进而求得D正确.
【详解】由展开图还原正方体如下图所示，
对于A，，四边形为平行四边形，，
与是共面直线，A错误；
对于B，，与所成角即，
，为等边三角形，
，即与所成角为，B正确；
对于C，平面，平面，；
又，，平面，平面，
又平面，平面平面，C正确；
对于D，由正方体性质可知平面，
取中点，连接，
则平面平面，点的轨迹为正六边形的边，
点的轨迹长度为，D正确.
故选：
BCD.
11.已知函数对任意都有，且函数的图象关于对称.当时，.则下列结论正确的是（）
A.函数的图象关于点中心对称
B.函数的最小正周期为2
C.当时，
D.函数在上单调递减
【答案】BC
【解析】
【分析】先求出周期和解析式，画出图像，对四个选项一一验证：
对于A：
由图像可判断函数的中心对称；
对于B：
利用图像变换作出函数的图象，即可判断；
对于C：
直接求出解析式即可判断；
对于D：
利用图像变换作出的图像，即可判断；
【详解】因为函数对任意都有，
所以，即，所以
所以，即恒成立，所以的周期为4.
因为函数的图象关于对称，所以将的图象向右平移一个单位，得到的图象，所以关于对称.
任取，则，
因为函数对任意都有，即，所以.
所以，
作出的图象如图所示：
对于A：
由图象可知：
函数的图象关于点中心对称，故A错误；
对于B：
函数的图象可以看成的图象x轴上方的图象保留，把x轴上方的图象轴下方的图象翻折到x轴上方，所以函数的最小正周期为2.故B正确；
对于C：
由前面的推导可得：
当，.故C正确；
对于D：
作出的图像如图所示，在上函数单调递增.故D错误.
故选：
BC
12.已知双曲线：
和点，，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线上在第一象限内的点，点为的内心，则下列说法正确的是（）
A.的最小值为25B.
C.D.若，，则
【答案】BC
【解析】
【分析】首先根据双曲线方程求出焦点坐标，根据双曲线的定义判断A，设的内切圆的半径为，利用面积公式及双曲线的定义计算即可判断B，设在上的垂足为，根据切线长定理可得，即可得到的坐标，记渐近线的倾斜角为，则，记则，利用临界值求出，即可求出的取值范围，即可判断C，延长交于点，由角平分线定理得到，即可求出、，即可判断D；
【详解】解：
因为双曲线：
，所以，，，则、，双曲线的渐近线为，因为，所以，所以，当且仅当、、在同一直线且在之间时取等号，故A错误；
设的内切圆的半径为，则，故B正确；
设在上的垂足为，根据双曲线的定义及切线长定理可得，又，所以，所以，记渐近线的倾斜角为，则，记，则，当，即，解得，所以，则，所以，故C正确；
延长交于点，由解得，由角平分线定理可知，所以，又由角平分线定理知，过点作交、分别于点、点，则，所以，所以，因为，所以又，解得，所以，故D错误；
故选：
BC
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置上）
13.若，且，则的最大值是_______________.
【答案】##.
【解析】
【分析】利用基本不等式可直接求得结果.
【详解】，，，，
即（当且仅当，即，时取等号），
，即的最大值为.
故答案为：
.
14.袋中装有编号为的个球，先从袋中一次性任取两个球，在取出的两个球编号之和为偶数的条件下，号球被取出的概率为_______________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据条件概率公式计算可得结果.
【详解】记事件为“取出的两个球编号之和为偶数”，事件为“号球被取出”，
则，，，
即在取出的两个球编号之和为偶数的条件下，号球被取出的概率为.
故答案为：
.
15.在四面体中，，均为边长为的正三角形，平面平面，则四面体的外接球的表面积为_______________.
【答案】
【解析】
【分析】取中点，，，作，，由面面垂直性质和球的性质可确定为四面体的外接球球心，由长度关系可求得外接球半径，由球的表面积公式可得结果.
【详解】取中点，连接，
均为正三角形，，，
平面平面，平面平面，
平面，平面；
取，，作，，
均为正三角形，分别为的外心，
又平面，平面，即为四面体的外接球球心，
，，，
，
四面体的外接球的表面积为.
故答案为：
.
16.设，用表示不小于的最小整数，例如，，，则称为向上取整函数.已知数列的各项均为正数，其前项和为，且，.则_______________.
【答案】
【解析】
【分析】利用与关系可证得数列为等差数列，由此得到；分类讨论得到在每段区间上的取值，加和可得最终结果.
【详解】当时，，又，；
当时，，则，
即，，
数列是以为首项，为公差的等差数列，；
当时，；当时，；当时，；
当时，；当时，；
.
故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：
本题考查数列和函数的综合应用问题的求解，解题关键是能够通过与关系证得数列为等差数列，得到的通项公式，进而根据向上取整函数的定义得到分段函数的函数值.
四、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.如图，四边形内接于一个圆中，其中为直径，，，.
（1）求的长；
（2）求的面积.
【答案】
（1）；
（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用余弦定理可求得，利用正弦定理可求得结果；
（2）利用勾股定理可求得，利用三角形面积公式可得结果.
【小问1详解】
在中，由余弦定理得：
，解得：
，
设为外接圆半径，由正弦定理得：
，
即.
【小问2详解】
为直径，，
，，又，
.
18.已知数列满足，.
（1）求证：
数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）令，数列的前项和为，证明：
对于任意的，都有.
【答案】
（1）证明见解析；；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由递推关系式可得，由此证得结论；利用等差数列通项公式可求得，进而得到；
（2）由
（1）可得，采用裂项相消法可求得，结合，可证得结论.
【小问1详解】
由得：
，又，
数列是以为首项，为公差的等差数列，，
；
【小问2详解】
由
（1）得：
，
，
，，.
19.随着人们节能减排意识的提高以及共享单车的大范围推广，越来越多的市民在出行时愿意选择共享单车.为了研究广大市民在共享单车上的使用情况，某公司在我市随机抽取了200名用户进行调查，得到如下数据：
每周使用次数
1次
2次
3次
4次
5次
6次及以上
男
8
6
6
14
16
60
女
12
10
8
8
12
40
合计
20
16
14
22
28
100
（1）如果认为每周使用超过3次的用户为“喜欢骑行共享单车”，请你判断能否在犯错误概率不超过0.01的前提下，认为是否“喜欢骑行共享单车”与性别有关?
（2）每周使用共享单车6次及6次以上的用户称为“骑行达人”，用频率估计概率，在我市所有“骑行达人”中，随机抽取4名用户.
①求抽取的4名用户中，没有男性“骑行达人”的概率；
②为了鼓励女性用户使用共享单车，对抽出的女性“骑行达人”每人奖励200元，记奖励总金额为，求的数学期望及方差.
附表及公式：
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.6
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