哈工大图论习题.docx
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哈工大图论习题
第一章习题
1．画出具有4个顶点的所有无向图（同构的只算一个）。
2．画出具有3个顶点的所有有向图（同构的只算一个）。
3．画出具有4个、6个、8个顶点的三次图。
4．某次宴会上，许多人互相握手。
证明：
握过奇数次手的人数为偶数（注意，0是偶数）。
5．证明：
哥尼斯堡七桥问题无解。
6.设u与v是图G的两个不同顶点。
若u与v间有两条不同的通道（迹）,则G中是否有回路？
7.证明：
一个连通的（p,q）图中q》-1。
8.设G是一个（p，q）图，S（G）>[p/2试证G是连通的。
9.证明：
在一个连通图中，两条最长的路有一个公共的顶点。
10.在一个有n个人的宴会上，每个人至少有m个朋友（2有不少于m+1个人，使得他们按某种方法坐在一张圆桌旁，每人的左、右
均是他的朋友。
11.一个图G是连通的，当且仅当将V划分成两个非空子集V1和V2时,G总有一条联结V1的一个顶点与V2的一个顶点的边。
12.设G是图。
证明：
若S（G）青测G包含长至少是S（G）+的回路。
13.设G是一个（p,q）图，证明：
（a）qNp则G中有回路；
（b）若q》p+4则G包含两个边不重的回路。
14.证明：
若图G不是连通图，则Gc是连通图。
15.设G是个（p，q）图，试证：
（a）S（G）（旳痢[防1）/2]+1），若p三01,2（mod4）（b）S（G）3）/2][（p+1）/2]，若3（mod4）
16.证明：
每一个自补图有4n或4n+1个顶点。
17.构造一个有2n个顶点而没有三角形的三次图，其中nN3
18.给出一个10个顶点的非哈密顿图的例子，使得每一对不邻接的顶点u和
v,均有degu+degv>9
19.试求Kp中不同的哈密顿回路的个数。
20.试证：
图XX的图不是XX图。
21.完全偶图Km,n为哈密顿图的充分必要条件是什么？
22.菱形12面体的表面上有无哈密顿回路？
23.设G是一个p（p>个顶点的图。
u和v是G的两个不邻接的顶点，并
且degu+degv>p证明：
G是哈密顿图当且仅当G+uv是哈密顿图。
24.设G是一个有p个顶点的图。
证明：
若p>25（G,则有长至少为2S（G的路。
25．证明具有奇数顶点的偶图不是哈密顿图。
26．证明：
若p为奇数，则Kp中有（p-1）/2个两两无公共边的哈密顿回路。
28.xx邮路问题：
一个邮递员从邮局出发投递信件，然后返回邮局。
若他必须至少一次走过他所管辖范围内的每条街道，那么如何选择投递路线，以便走尽可能少的路程。
这个问题是我国数学家管梅谷于1962年首先提出的，国外称之为中国邮路问题。
（1）试将中国邮路问题用图论述语描述出来。
（2）中国邮路问题、欧拉图问题及最短路问题之间有何联系。
第二章习题
1.画出具有4个顶点的所有无向图（同构的只算一个）。
2.画出具有3个顶点的所有有向图（同构的只算一个）。
3.画出具有4个、6个、8个顶点的三次图。
4.某次宴会上，许多人互相握手。
证明：
握过奇数次手的人数为偶数（注意，0是偶数）。
5.证明：
哥尼斯堡七桥问题无解。
6.设u与v是图G的两个不同顶点。
若u与v间有两条不同的通道（迹）,则G中是否有回路？
7.证明：
一个连通的（p,q）图中q》-1。
8.设G是一个（p,q）图，S（G）>[p/2试证G是连通的。
9．证明：
在一个连通图中,两条最长的路有一个公共的顶点。
10.在一个有n个人的宴会上，每个人至少有m个朋友（2有不少于m+1个人,使得他们按某种方法坐在一张圆桌旁,每人的左、右
均是他的朋友。
11.一个图G是连通的，当且仅当将V划分成两个非空子集V1和V2时，
G总有一条联结V1的一个顶点与V2的一个顶点的边。
12.设G是图。
证明：
若S（G）青测G包含长至少是S（G）+的回路。
13.设G是一个（p,q）图，证明：
（a）qNp则G中有回路；
（b）若q》p+4则G包含两个边不重的回路。
14.证明：
若图G不是连通图，则Gc是连通图。
15.设G是个（p,q）图，试证：
（a）S（G）•S（GC/2K[防1）/2]+1），若p三01,2（mod4）（b）S（G）•S3）/2][（p+1）/2]，若3（mod4）
16.证明：
每一个自补图有4n或4n+1个顶点。
17.构造一个有2n个顶点而没有三角形的三次图，其中nN3
18.在图
145中，一只车从位置A出发，在半张棋盘上走，每步走一格，走了若干步后到了位置B。
证明：
至少有一个格点，没有车走过，或被走过不至一次。
19.给出一个10个顶点的非哈密顿图的例子，使得每一对不邻接的顶点u和
v,均有degu+degv>9
20.试求Kp中不同的哈密顿回路的个数。
21．完全偶图Km,n为哈密顿图的充分必要条件是什么？
22.菱形12面体的表面上有无哈密顿回路？
23.设G是一个p（p>个顶点的图。
u和v是G的两个不邻接的顶点，并
且degu+degv>p
证明：
G是哈密顿图当且仅当G+uv是哈密顿图。
24.设G是一个有p个顶点的图。
证明：
若p>25（G）则有长至少为2S（G的路。
25.证明具有奇数顶点的偶图不是哈密顿图。
26.证明：
若p为奇数，则Kp中有（p-1）/2个两两无公共边的哈密顿回路。
27.xx邮路问题：
一个邮递员从邮局出发投递信件,然后返回邮局。
若他必须至少一次走过他所管辖范围内的每条街道,那么如何选择投递路线,以便走尽可能少的路程。
这个问题是我国数学家管梅谷于1962年首先提出的,国外称之为中国邮路问题。
（1）试将中国邮路问题用图论述语描述出来。
（2）中国邮路问题、欧拉图问题及最短路问题之间有何联系。
第三章习题
1．分别画出具有
4、5、6个顶点的所有树（同构的只算一个）。
2．证明：
每个非平凡树是偶图。
3.设G是xx且△（G）戸证明：
Gxx至少有k个度为1的顶点。
4.令G是一个有p个顶点，k个支的森林，证明：
G有p-k条边。
5.设T是一个k+1个顶点的树。
证明：
若图G的最小度8（G）孑则G有一个同构于T的子图。
6.xxT有n
2个度为2的顶点，n
3个度为3的顶点，…，n
k个度为k的顶点，则T有多少个度为1的顶点？
7•设G是一个连通图。
试证：
G的子图G
1是G的某个生成树的子图，当且仅当G1没有回路。
8.证明：
连通图的任一条边必是它的某个生成树的一条边。
9.设G是一个边带权连通图，G的每条边均在G的某个回路上。
试证:
若G的边e的权大于G的任一其他边的权，则e不在G的任一最小生成树中。
10.设G=（V,E,w）是一个边带权连通图，对任意x€E,w（x）》。
试证：
G的一个生成树T是G的最小生成树，当且仅当时G的任一与T的距离为1的生成树T〃满足条件：
在T中而不在「中的边e的权w（e）不大于在「中而不在T中的边e‘的权w（e）。
11.某镇有1000人,每天他们中的每个人把昨天听到的消息告诉他认识的人。
已知任何消息,只要镇上有人知道,都会经这种方式逐渐地为全镇上所有人知道。
试证：
可选出90个居民代表使得只要同时向他们传达某一消息,经10天就会为全镇居民知道。
12.P个顶点的图中，最多有多少个割点？
13．证明：
恰有两个顶点不是割点的连通图是一条路。
14．证明：
有一座桥的三次图中至少有10个顶点。
15.设v是图G的一个割点，证明v不是G的补图Gc的割点。
16.设v是图G的一个顶点。
证明：
v是G的割点当且仅当有邻接v的两个不同的顶点u和w，使得v在u与w间的每一条路上。
17.割点的连通图是否一定不是欧拉图？
是否一定不是哈密顿图？
有桥的连通图是否一定不欧拉图和哈密顿图。
18丄是连通图G的一个回路，x和y是L上的两条边。
证明:
G有个割集S使得x与y恰好是L与S的公共边。
第四章习题
1.设G是一个有p个顶点的图，S（G）>（（p+k2，试证：
G是k-连通的。
2.若（p,q）图G是k-边连通的，试证：
q>kp/2
3.设G是k-边连通的，k>0,E是G的k条边的集合。
证明：
G-E的支数小于或等于2。
4.构造一个（p,q）图G使得S（G）=[p/21],入（G）5.设k>0。
构造一个k-连通图G,以及G的k个顶点之集V,使得G-V的支数大于2。
6.G是一个三次正则图,试证：
x（G）=入。
（G）
7.设rG是r正则图。
证明：
入（G）>[r/2]
8.构造一个图G,使得x（G）=3入（G）=,4S（G）=5
9.证明：
图G是2-边连通的当且仅当任两个不同顶点间至少有两条边不重路。
10.设G=（V,E）是2-边连通图，X和Y是V的子集，|X|科|Y|>且
XAY二①在G中加入两个新的顶点s和t,s与X的每个顶点之间联成一条边，t与丫的每个顶点间加一条边，这样得到的图记为G。
试证：
G'是2-连通的。
11.若G是顶点数p>11的平面图，试证Gc不是平面图。
12设S={x
1，x
2，x
3,…，x
n}是平面上n个顶点的集合，n》3其中任两顶点的距离至少是1。
证明：
Sxx至多有3n-6对顶点，其距离为1。
13．证明：
不存在7条棱的凸多面体。
14.图G的最短回路的长度称为G的围长；若G中无回路，则定义G的围长为无穷大。
（i）证明：
围长为r的平面连通图G中有
q3
（ii）利用（i）证明Petersen图（见图
3.6.4）不是平面图。
15.设G是一个没有三角形的平面图。
应用欧拉公式证明G中有一个顶点v
使得degv<3
**
16．设G是一个平面图。
证明：
G同构于G当且仅当G是连通的。
17．证明：
若G是自对偶的，则q=2p-
2.
18.设G是一个没有三角形的图。
应用教学归纲法证明G是4—可着色的（事
实上，可以证明G是3－可着色的）。
19.设G是一个有p个顶点的d-正则图，证明：
k（G）>p/-p）。
20.试用5-色定理的证明方法来证明4色定理，在哪一点证明会失败呢？
22
21.设G是一个（p,q）图，证明：
k（G）>p/伽）。
22.证明：
若G的任两个奇数长的回路都有一个公共顶点，则k（G）23.证明：
每个xx平面图都是4-可着色的。
24.设G是一个xxxx图，证明：
k'（G）=3o
25.若r是奇数且G是r-正则图，证明：
k'（G）二叶1。
26.若G是彼德森图，证明：
k'（G）=4
第五章习题
1.给出有向图的子图、生成子图、导出子图的定义。
2.画出具有三个顶点的所有互不同构的有向图的图解。
3.具有p个顶点的完全有向图中有多少条弧？
4•设D是一个有p个顶点q条弧的有向图。
若D是连通的，证明
p-15•设D是一个有p个顶点q条弧的强连通的有向图，则q至少是多大？
6.在有向图中，含有所有顶点和所有弧的有向闭迹称为有向欧拉闭迹。
一个有向图若含有有向欧闰闭迹，则称此有向图为有向欧拉图。
证明：
有向图D=（V,A）是有向欧拉图当且仅当D是连通的且对任意的v€V,总有
id（v）=od（v）。
7.证明：
有向图D是单向连通的当且仅当D有一条生成通道。
8.设A是一个nXnxX巨阵，试证：
（2）
（2）
（IVA）=（IVA）（IVA）=IVAVA
其中I是nxr单位矩阵。
其次，证明：
对任意的正整数r,有
（IVA）（r）=IVAVA
⑵V…VA（r）
9•设B是有向图D=（V,A）的邻接矩阵，|V|=p。
试证D的可达矩阵R为R=（IVB）（p）
10.xxD的图解如图一所示
（1）写出D的邻接矩阵及可达矩阵。
（2）写出Dxx。
v4v
1v
4v
1D：
v5V3v
2v
3v
2图一图二
11.设D为图二中的xx,试求v
2到其余每个顶点的长=4勺所有通道的条数。
12.已知有向图D的邻接矩阵B,如何从B求D的可达矩阵R?
13.设T是一个正则m元有序树,它有n
0个xx,T有多少条弧？
14.令T是一个正则m元树，它有i个内顶点（出度为m）。
若E为所有内顶点深度之和,i为所有叶顶点深度之和,证明：
I=（m-1）I+mi。
15.设T是一个有n
0个叶子的二元树，出度为2的顶点为n2,试证：
n0二n
2+1
16.具有三个顶点的有序树共有多少个？
具有三个顶点的有根树有多个？
注意，同构的只算一个。
17.一个有序树称为一个2-3树，若每个内顶点有2个或3个儿子，并且从根顶点到每个叶子的路长均相等。
试证：
若T是一个高为h的2-3树，则
（1）T的顶点数p满足2h+1-iwp<3h+1
hh
（2）T的xx数在2与3之间。
18.T是一个正则二元树，它有i个内顶点（出度为2）。
若E为所有内顶点深度之和，I为所叶顶点的深度之和，证明：
I=E+2i。
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