哈工大图论习题.docx

1、哈工大图论习题第一章习题1画出具有 4 个顶点的所有无向图 （同构的只算一个 ）。2画出具有 3 个顶点的所有有向图 （同构的只算一个 ）。3画出具有 4个、6 个、 8个顶点的三次图。 4某次宴会上，许多人互相握手。证明： 握过奇数次手的人数为偶数 （注意，0 是偶数）。5证明： 哥尼斯堡七桥问题无解。6.设u与v是图G的两个不同顶点。若u与v间有两条不同的通道（迹）, 则 G 中是否有回路？7.证明：一个连通的（p, q）图中q-1。8. 设G是一个（p，q）图，S （G） p/2试证G是连通的。9.证明： 在一个连通图中，两条最长的路有一个公共的顶点。10.在一个有n个人的宴会上，每个人

2、至少有 m个朋友（2 mn试证： 有不少于 m+1 个人，使得他们按某种方法坐在一张圆桌旁，每人的左、右均是他的朋友。11.一个图G是连通的，当且仅当将 V划分成两个非空子集V1和V2时, G总有一条联结V1的一个顶点与V2的一个顶点的边。12.设G是图。证明：若S （G）青测G包含长至少是S （G）+的回路。13.设G是一个(p, q)图，证明：(a)q Np则G中有回路；(b)若qp+4则G包含两个边不重的回路。14.证明：若图G不是连通图，则Gc是连通图。15.设G是个(p，q)图，试证：(a) S (G) (旳痢防1)/2+1)，若 p三0 1, 2(mod 4)(b) S (G) G

3、C) 919.试求Kp中不同的哈密顿回路的个数。20.试证：图XX的图不是XX图。21.完全偶图 Km, n 为哈密顿图的充分必要条件是什么？22.菱形 12面体的表面上有无哈密顿回路？23 .设G是一个p(p 个顶点的图。u和v是G的两个不邻接的顶点，并且 degu+degvp 证明：G是哈密顿图当且仅当G+uv是哈密顿图。24.设 G 是一个有 p 个顶点的图。证明：若p2 5 (G,则有长至少为2 S (G的路。25证明具有奇数顶点的偶图不是哈密顿图。26证明：若p为奇数，则Kp中有(p-1)/2个两两无公共边的哈密顿回路。28. xx邮路问题：一个邮递员从邮局出发投递信件，然后返回邮局

4、。若他必须至少一次走过 他所管辖范围内的每条街道，那么如何选择投递路线，以便走尽可能少的路 程。这个问题是我国数学家管梅谷于 1962年首先提出的，国外称之为中国邮路 问题。(1)试将中国邮路问题用图论述语描述出来。(2)中国邮路问题、欧拉图问题及最短路问题之间有何联系。第二章习题1.画出具有 4个顶点的所有无向图 (同构的只算一个 )。2.画出具有 3个顶点的所有有向图 (同构的只算一个 )。3.画出具有 4个、6个、8个顶点的三次图。4 .某次宴会上，许多人互相握手。证明：握过奇数次手的人数为偶数 (注意， 0是偶数)。5.证明：哥尼斯堡七桥问题无解。6.设u与v是图G的两个不同顶点。若u

5、与v间有两条不同的通道(迹), 则 G 中是否有回路？7.证明：一个连通的(p, q)图中q-1。8.设G是一个(p, q)图，S (G) p/2试证G是连通的。9证明： 在一个连通图中,两条最长的路有一个公共的顶点。10.在一个有n个人的宴会上，每个人至少有 m个朋友(2 mn试证：有不少于 m+1 个人,使得他们按某种方法坐在一张圆桌旁,每人的左、右均是他的朋友。11.一个图G是连通的，当且仅当将 V划分成两个非空子集V1和V2时，G总有一条联结V1的一个顶点与V2的一个顶点的边。12.设G是图。证明：若S (G)青测G包含长至少是S (G)+的回路。13.设G是一个(p, q)图，证明：

6、(a)q Np则G中有回路；(b)若qp+4则G包含两个边不重的回路。14.证明：若图G不是连通图，则Gc是连通图。15.设G是个(p, q)图，试证：(a) S (G) S (GC/2K防1)/2+1)，若 p三0 1, 2(mod 4)(b) S (G) S GC) 920.试求Kp中不同的哈密顿回路的个数。21完全偶图 Km, n 为哈密顿图的充分必要条件是什么？22.菱形 12面体的表面上有无哈密顿回路？23 .设G是一个p(p 个顶点的图。u和v是G的两个不邻接的顶点，并且 degu+degvp证明：G是哈密顿图当且仅当G+uv是哈密顿图。24.设 G 是一个有 p 个顶点的图。证明

7、：若p2 5 (G)则有长至少为2 S (G的路。25.证明具有奇数顶点的偶图不是哈密顿图。26.证明：若p为奇数，则Kp中有(p-1)/2个两两无公共边的哈密顿回路。27.xx 邮路问题：一个邮递员从邮局出发投递信件,然后返回邮局。若他必须至少一次走过 他所管辖范围内的每条街道,那么如何选择投递路线,以便走尽可能少的路 程。这个问题是我国数学家管梅谷于 1 962年首先提出的,国外称之为中国邮路 问题。(1)试将中国邮路问题用图论述语描述出来。(2)中国邮路问题、欧拉图问题及最短路问题之间有何联系。第三章习题1分别画出具有4、5、6 个顶点的所有树 (同构的只算一个 )。2证明： 每个非平凡

8、树是偶图。3 .设G是xx且 (G)戸证明：Gxx至少有k个度为1的顶点。4.令 G 是一个有 p 个顶点， k 个支的森林，证明：G有p-k条边。5.设T是一个k+1个顶点的树。证明：若图G的最小度8 (G)孑则G有一个同构于T的子图。6.xxT有 n2 个度为 2 的顶点， n3个度为3的顶点，nk个度为k的顶点，则T有多少个度为1的顶点？7设G是一个连通图。试证：G 的子图 G1是G的某个生成树的子图，当且仅当 G1没有回路。8.证明：连通图的任一条边必是它的某个生成树的一条边。9.设G是一个边带权连通图，G的每条边均在G的某个回路上。试证:若G的边e的权大于G的任一其他边的权，则e不在

9、G的任一最小生成树 中。10.设G=(V, E, w)是一个边带权连通图，对任意 x E, w(x)。试证：G的一个生成树T是G的最小生成树，当且仅当时 G的任一与T的距离为 1的生成树T 满足条件：在T中而不在中的边e的权w(e)不大于在中而不在T中的边e的权 w(e)。11.某镇有 1000人,每天他们中的每个人把昨天听到的消息告诉他认识的 人。已知任何消息,只要镇上有人知道,都会经这种方式逐渐地为全镇上所有 人知道。试证：可选出 90个居民代表使得只要同时向他们传达某一消息,经 10天就会为 全镇居民知道。12.P个顶点的图中，最多有多少个割点？13证明：恰有两个顶点不是割点的连通图是一

10、条路。14证明：有一座桥的三次图中至少有 10个顶点。15.设v是图G的一个割点，证明v不是G的补图Gc的割点。16.设v是图G的一个顶点。证明：v是G的割点当且仅当有邻接v的两个不同的顶点u和w，使得v在u与w 间的每一条路上。17.割点的连通图是否一定不是欧拉图？是否一定不是哈密顿图？有桥的连 通图是否一定不欧拉图和哈密顿图。18丄是连通图G的一个回路，x和y是L上的两条边。证明:G有个割集S使得x与y恰好是L与S的公共边。第四章习题1.设G是一个有p个顶点的图，S (G) (p+k2，试证：G是k-连通的。2.若(p, q)图G是k-边连通的，试证：q kp/23.设G是k-边连通的，k

11、0, E是 G的k条边的集合。证明：G-E的支数小于或等于2。4.构造一个(p, q)图 G 使得 S (G)=p/21,入(G)0。构造一个k-连通图G,以及G的k个顶点之集V,使得G-V的 支数大于 2。6.G 是一个三次正则图,试证：x (G)=入。(G)7. 设r G是r正则图。证明：入(G) r/28.构造一个图 G,使得 x (G)=3 入(G)=,4 S (G)=59.证明：图G是2-边连通的当且仅当任两个不同顶点间至少有两条边不重路。10 .设G=(V, E)是 2-边连通图，X和Y是V的子集，|X|科|Y| 且XA Y二在G中加入两个新的顶点s和t, s与X的每个顶点之间联成

12、一条边，t 与丫的每个顶点间加一条边，这样得到的图记为 G。试证：G是2-连通的。11.若G是顶点数p 11的平面图，试证Gc不是平面图。12设 S= x1， x2， x3,，xn是平面上n个顶点的集合，n3其中任两顶点的距离至少是1。证明：Sxx至多有3n-6对顶点，其距离为1。13证明：不存在 7 条棱的凸多面体。14.图 G 的最短回路的长度称为 G 的围长；若 G 中无回路，则定义 G 的围长 为无穷大。(i )证明：围长为r的平面连通图G中有q3(ii)利用(i )证明Petersen图(见图3.6.4)不是平面图。15.设G是一个没有三角形的平面图。应用欧拉公式证明 G中有一个顶点

13、v使得degv p/-p)。20.试用 5-色定理的证明方法来证明 4色定理，在哪一点证明会失败呢？2221.设G是一个(p, q)图，证明：k(G) p/伽)。22.证明：若G的任两个奇数长的回路都有一个公共顶点，则 k(G) o523.证明：每个xx平面图都是4-可着色的。24.设G是一个xxxx图，证明：k (G)=3o25.若r是奇数且G是r-正则图，证明：k (G)二叶1。26.若G是彼德森图，证明：k (G)=4第五章习题1.给出有向图的子图、生成子图、导出子图的定义。2.画出具有三个顶点的所有互不同构的有向图的图解。3.具有 p 个顶点的完全有向图中有多少条弧？4设D是一个有p个

14、顶点q条弧的有向图。若D是连通的，证明p-1 q pQp。5设D是一个有p个顶点q条弧的强连通的有向图，则q至少是多大？6.在有向图中，含有所有顶点和所有弧的有向闭迹称为有向欧拉闭迹。一个 有向图若含有有向欧闰闭迹，则称此有向图为有向欧拉图。证明：有向图D=(V, A)是有向欧拉图当且仅当D是连通的且对任意的v V,总有id(v)=od(v)。7.证明：有向图D是单向连通的当且仅当D有一条生成通道。8.设A是一个nXnxX巨阵，试证：(2)(2)(IV A)=(IV A)(IV A)=IV AV A其中I是nxr单位矩阵。其次，证明：对任意的正整数r,有(IV A)(r)=IV AV AVV

15、A(r)9设B是有向图D=(V, A)的邻接矩阵，|V|=p。试证D的可达矩阵R为 R=(IV B)(p)10.xxD的图解如图一所示(1)写出D的邻接矩阵及可达矩阵。(2)写出 Dxx。v4v1v4v1D： v5V3v2v3v2 图一图二11.设D为图二中的xx,试求v2到其余每个顶点的长=4勺所有通道的条数。12.已知有向图D的邻接矩阵B,如何从B求D的可达矩阵R?13.设 T 是一个正则 m 元有序树,它有 n0个xx, T有多少条弧？14.令T是一个正则m元树，它有i个内顶点(出度为m)。若E为所有内顶 点深度之和, i 为所有叶顶点深度之和,证明：I=(m-1)I+mi。15. 设 T 是一个有 n0个叶子的二元树，出度为2的顶点为n2,试证：n0二n2+116.具有三个顶点的有序树共有多少个？具有三个顶点的有根树有多个？注 意，同构的只算一个。17.一个有序树称为一个 2-3树，若每个内顶点有 2个或 3个儿子，并且从 根顶点到每个叶子的路长均相等。试证：若T是一个高为h的2-3树，则(1)T的顶点数p满足2h+1-iw p 3h+1hh(2)T的xx数在2与3之间。18.T是一个正则二元树，它有i个内顶点(出度为2)。若E为所有内顶点 深度之和， I 为所叶顶点的深度之和，证明：I=E+2i。