nxn+
(5)设A,B是可逆矩阵,且A与B相似,则下列结论错误的是()
(A)
AT与BT相似.(B)
A-1与B-1相似..
(C)
A+AT与B+BT相似.(D)
A+A-1与B+B-1相似.
【答案】(C)
【解析】A与B相似,即存在可逆矩阵P,使P-1AP=B,则
B=(PAP)
=PA(P
)=PA(P)
=((P))
A(P)
,即(A)是正确说法;
B-1=(P-1AP)-1=P-1A-1(P-1)-1=P-1A-1P,进一步有
B+B-1=P-1AP+P-1A-1P=P-1(A+A-1)P,即(B)(D)都是正确说法;故选(C).
(6)设二次型f(x,x,x)=x2+x2+x2+4xx+4xx+4xx,则f(x,x,x)=2在空间直
123123121323123
角坐标下表示的二次曲面为()
(A)单叶双曲面.(B)双叶双曲面.
(C)椭球面.(D)柱面.
【答案】(B)
⎛122⎫
【解析】二次型f(x,x,x)对应的矩阵A=ç212⎪,由
123
-1
ç⎪
⎝⎭
ç221⎪
-2-2
E-A=-2
-2
-1
-2
-2
-1
=(-5)(+1)2=0
得,A的特征值为=5,==-1,所以经过正交变换后,f(x,x,x)=5y2-y2-y2,
123123123
于是f(x,x,x)=2表示曲面5y2-y2-y2=2,是双叶双曲面.故选(B).
123123
(7)设随机变量X~N(,2)(>0),记p=P{X≤+2},则()
(A)p随着的增加而增加.(B)p随着的增加而增加.
(C)p随着的增加而减少.(D)p随着的增加而减少.
【答案】B
【解析】
P{X≤+
2}=Φ(
+2-
)=Φ()
由于正态分布的分布函数是单调递增的,所以P{X≤+2}随着的增加而增加.
(8)随机试验E有三种两两不相容的结果A,A,A,且三种结果发生的概率均为1,将试验E独
1233
立重复做2次,X表示2次试验中结果A1发生的次数,Y表示2次试验中结果A2发生的次数,
则X与Y的相关系数为()
(A)-12
(B)
-13
(C)
13
(D)
12
【答案】(A)
【解析】方法一:
(X,Y)的概率分布为
X
Y
0
1
2
0
1
9
2
9
1
9
1
2
9
2
9
0
2
1
9
0
0
E(X)=E(Y)=2,E(XY)=2,所以Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=-2
3
E(X2)=E(Y2)=8
9
99
,D(X)=D(Y)=4
9
所以相关系数XY=
Cov(X,Y)
=-1
2.
方法二:
设Z表示2次试验中结果A3发生的次数,则X+Y+Z=2。
根据方差的性质有D(Y)=D(2-X-Z)=D(X+Z)=D(X)+D(Z)+2Cov(X,Z),注意到D(Y)=D(X)=D(Z),Cov(X,Z)=Cov(X,Y),从而D(X)=-2Cov(X,Y)。
所以根据相关
系数的定义有XY=
Cov(X,Y)=-
Cov(X,Y)
=-1。
2
二、填空题:
914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答.题.纸.指定位置上.
x
⎰0tln(1+tsint)dt
(9)
lim
x→0
1
1-cosx2
=.
【答案】
【解析】
2
lim
⎰0tln(1+tsint)dt
=lim
⎰0tln(1+tsint)dt
=lim
xln(1+xsinx)
x→0
1-cosx2
x→0
1x4
2
x→02x3
=limxsinx=1.
x→02x22
(10)向量场A(x,y,z)=(x+y+z)i+xyj+zk的旋度rotA=.
【答案】(0,1,y-1)
【解析】
→
→
i
∂
→
j
∂
→
k
∂
∂x
x+y+z
∂yxy
∂zz
rotA=
=(0,1,y-1)
(11)设函数f(u,v)可微,z=z(x,y)由方程(x+1)z-y2=x2f(x-z,y)确定,则
dz|(0,1)=.
【答案】-dx+2dy
【解析】将x=0,y=1代入(x+1)z-y2=x2f(x-z,y)得z=1.
(x+1)z-y2=x2f(x-z,y)两边对x求偏导得:
z+(x+1)∂z=2xf+x2f'⋅(1-∂z)
∂x1∂x
∂z
将x=0,y=1,z=1代入上式得∂x
(0,1)=-1.
(x+1)z-y2=x2f(x-z,y)两边对y求偏导得:
(x+1)∂z-2y=x2(f'⋅(-∂z)+f')
∂y1∂y2
∂z
将x=0,y=1,z=1代入上式得∂y
(0,1)
=2,所以dz
(0,1)
=-dx+2dy.
(12)设函数f(x)=arctanx-
1
x
1+ax2
,且f'(0)=1,则a=.
【答案】
2
【解析】由已知得f'(x)=
1
1+x2
1-ax2
-(1+ax2)2,
f'(x)=
-
2x(1+x2)2
2ax(3-ax2)
,
(1+ax2)3
所以f
''(0)=lim
x→0
f'(x)-f'(0)
x
1
=lim
x→0
-
2x(1+x2)2
+2ax(3-ax2)(1+ax2)3
x
=-2+6a,
即-2+6a=1,所以a=.
2
(13)
-1
0
0
0
-1
0
0
0
-1
4
3
2
+1
行列式
【答案】4+3+22+3+4
=.
-10000
4+14+2
【解析】
=4(-1)
-10+3(-1)0-10
0-10-1
-10-10
+2(-1)4+30
0+(+1)(-1)4+40
-1=4+3+22+(+1)3
00-100
=4+3+22+3+4.
(14)设x,x,...,x为来自总体N(,2)的简单随机样本,样本均值x=9.5,参数的置信度
为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8,则的置信度为0.95的双侧置信区间为
【答案】(8.2,10.8)
【解析】的置信水平为1-的置信区间是
⎛x-t(n-1)s,x+t(n-1)s⎫
ç22⎪
⎝⎭
的置信水平为1-的置信区间为(x-a,x+a)
已知x=9.5,置信上限是10.8即x+a=10.8
解得a=1.3,所以置信区间为(9.5-1.3,9.5+1.3),即(8.2,10.8).
三、解答题:
15~23小题,共94分.请将解答写在答.题.纸.指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)(本题满分10分)
已知平面区域D=⎧(r,)2≤r≤2(1+cos),-≤≤⎫,计算二重积分⎰⎰xdxdy.
⎨22⎬
⎩⎭D
【解析】二重积分为
I=⎰⎰xdxdy
D
=2⎰2d⎰
2(1+cos)
r2cosdr
02
=22cos⋅1
03
r32(1+cos)d
=16
3
=16
3
0
⎰2⎡⎣(1+cos)3-1⎤⎦cosd
⎰2⎡⎣3cos+3cos2+cos3⎤⎦cosd
=162cos2d+162cos3d+16
003
2cos4d
0
=16116⋅2+16⋅3⋅1⋅
⋅⋅+
2233422
=5+32.
3
(16)(本题满分10分)
设函数y(x)满足方程y'+2y'+ky=0,其中0⎰
+∞
(I)证明:
反常积分0
y(x)dx收敛;
⎰
(II)若y(0)=1,y'(0)=1,求+∞y(x)dx的值.
0
【解析】(I)证明:
原方程对应的特征方程为2+2+k=0,则∆=22-4k=4(1-k)>0,即方程有两个不同的实根,从而由根与系数的关系可得1+2=-2,12=k,再由0<0,<0
,且原方程的通解为y(x)=Ce1x+Ce2x,则
1212
y(x)dx=+∞(Cex+Cex)dx=⎛C1ex+C2ex⎫+∞=-⎛C1+C2⎫,即
y(x)dx收
⎰⎰1122
ç1
2⎪ç⎪⎰
00⎝12⎭0
敛。
⎝12⎭0
(II)有y(0)=1,y'(0)=1及y(x)=Cex+Cex可得⎧C1+C2=1
12
⎩C11+C22=1
对C+C=1两端分别同除以,可得C1+C2=1①
12
C1+C2=1
111
②
222
则①+②=C1+C2+C2+C1=1+1,则
121212
C1+C2=
1+1
-C2-C1=1+2-C11+C22=-2-1=-3,从而
12
12
12
12
12
kkk
+∞y(x)dx=-⎛C1+C2⎫=-⎛-3⎫=3
⎰0ç
⎪çk⎪k
⎝12⎭⎝⎭
(17)(本题满分10分)
设函数f(x,y)满足∂f(x,y)=(2x+1)e2x-y,且f(0,y)=y+1,L是从点(0,0)到点(1,t)的光滑
∂xt
曲线,计算曲线积分I(t)=⎰∂f(x,y)dx+∂f(x,y)dy,并求I(t)的最小值.
Lt∂x∂y
【解析】因∂f(x,y)=(2x+1)e2x-y,则f(x,y)=xe2x-y+(y)
∂x
又有f(0,y)=y+1,则(y)=y+1,f(x,y)=xe2x-y+y+1,
∂2f(x,y)=∂2f(x,y)
∂f(x,y)
∂f(x,y)
又
∂x∂y
∂y∂x
,则I(t)与路径无关,即∂x
dx+
∂ydy是f(x,y)的全
微分,则
I(t)=⎰
∂f(x,y)dx+∂f(x,y)dy=⎰
d(f(x,y))=
(1,t)
f(x,y)
Lt∂x
∂yLt
(0,0)
=f(1,t)-f(0,0)=e2-t+t
I'(t)=1-e2-t,令I'(t)=0,⇒t=2。
当t>2时,I'(t)>0,I(t)是递增的;当t<2时,I'(t)<0,I(t)是递减的;
故I(t)在t=2时取得最小值,故I(t)min
(18)(本题满分10分)
=I
(2)=3
设有界区域Ω由平面2x+y+2z=2与三个坐标平面围成,∑为Ω整个表面的外侧,计算曲
面积分I=⎰⎰(x2+1)dydz-2ydzdx+3zdxdy.
∑
【解析】I=⎰⎰(x2+1)dydz-2ydzdx+3zdxdy
∑
12-2x
1-x-y
12-2x⎛
y⎫1
⎰⎰⎰(2x+1)dv∴I=⎰(2x+1)dx⎰
dy⎰
2dz
=⎰(2x+1)dx⎰ç1-x-
⎪dy=
Ω
(19)(本题满分10分)
000
00⎝
2⎭2
已知函数f(x)可导,且f(0)=1,0=f(x)(n=1,2)证明:
∞
(I)级数∑(xn+1-xn)绝对收敛;
n=1
(II)limxn存在,且02nn+1n
n→∞n→∞
【解析】(I)已知函数f(x)可导,数列满足xn+1=f(xn)(n=1,2,),在xn和xn-1(n=2,3,)构成的区间上使用拉格朗日中值定理,得
xn+1-xn=f(xn)-f(xn-1)=f'(n)(xn-xn-1),(n介于xn和xn-1之间)
由02
x-x
=f(x)-f(x
)=f'(
)(x-x
)<1x-xn+1
nnn-1
nnn-1
2nn-121
1+∞1+∞1
即un
=xn+1-xn<
x2-x1,又正项级数∑n-1
n=1
x2-x1=
x2-x1⋅∑n-1收敛,
n=1
∑
+∞
由比较审敛法和绝对收敛的定义,得级数(xn+1-xn)绝对收敛.
n=1
(II)由(I)中的推导可知,x
-x=f'()(x-x),且0n+1
nnnn-12
故xn+1-xn与xn-xn-1(n=2,3,)同号,不妨设x2-x1>0,
+∞n-1
此时级数∑(xn+1-xn)为一个收敛的正项级数,设Sn-1=∑(xk+1-xk),则
n=1k=1
∑
n-1
Sn-1=(xk+1-xk)=(xn-xn-1)+(xn-1-xn-2)++(x2-x1)=xn-x1,
k=1
故limxn=limSn-1+x1存在,设limxn=A.
n→∞
n→∞
n→∞
由拉格朗日定理得,f(x)-f(0)=f'()x(介于0和x之间)
即xn+1=f(xn)=f(0)+f'(