圆形薄板在均布载荷作用下的挠度Word版.docx
《圆形薄板在均布载荷作用下的挠度Word版.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《圆形薄板在均布载荷作用下的挠度Word版.docx(17页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
![圆形薄板在均布载荷作用下的挠度Word版.docx](https://file1.bdocx.com/fileroot1/2023-1/5/83b10c39-35cd-4c92-96a5-eb5e742d2f95/83b10c39-35cd-4c92-96a5-eb5e742d2f951.gif)
圆形薄板在均布载荷作用下的挠度Word版
第四节平板应力分析
3.4平板应力分析
3.4.1概述
3.4.2圆平板对称弯曲微分方程
3.4.3圆平板中的应力
3.4.4承受对称载荷时环板中的应力
3.4.1概述
1、应用:
平封头:
常压容器、高压容器;
贮槽底板:
可以是各种形状;
换热器管板:
薄管板、厚管板;
板式塔塔盘:
圆平板、带加强筋的圆平板;
反应器触媒床支承板等。
2、平板的几何特征及平板分类
几何特征:
中面是一平面厚度小于其它方向的尺寸。
分类:
厚板与薄板、大挠度板和小挠度板。
t/b≤1/5时(薄板)
w/t≤1/5时(小挠度)按小挠度薄板计算
3、载荷与内力
载荷:
①平面载荷:
作用于板中面内的载荷
②横向载荷垂直于板中面的载荷
③复合载荷
内力:
①薄膜力——中面内的拉、压力和面内剪力,并产生面内变形
②弯曲内力——弯矩、扭矩和横向剪力,且产生弯扭变形
◆当变形很大时,面内载荷也会产生弯曲内力,而弯曲载荷也会产生面内力,所以,大挠度分析要比小挠度分析复杂的多。
◆本书仅讨论弹性薄板的小挠度理论。
4、弹性薄板的小挠度理论基本假设---克希霍夫Kirchhoff
①板弯曲时其中面保持中性,即板中面内各点无伸缩和剪切变形,只有沿中面法线
的挠度。
只有横向力载荷
②变形前位于中面法线上的各点,变形后仍位于弹性曲面的同一法线上,且法线上各点间的距离不变。
类同于梁的平面假设:
变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持为平面,且仍然垂直于变形后的梁轴线。
③平行于中面的各层材料互不挤压,即板内垂直于板面的正应力较小,可忽略不计。
◆研究:
弹性,薄板/受横向载荷/小挠度理论/近似双向弯曲问题
3.4.2圆平板对称弯曲微分方程
分析模型
分析模型:
半径R,厚度t的圆平板受轴对称载荷Pz,在r、θ、z圆柱坐标系中,内力Mr、Mθ、Qr三个内力分量
轴对称性:
几何对称,载荷对称,约束对称,在r、θ、z圆柱坐标系中,挠度
只是r的函数,而与θ无关。
求解思路:
经一系列推导(基于平衡、几何、物理方程)→弯曲挠度微分方程(
)
→求
求→内力
→求应力
微元体:
用半径为r和r+dr的圆柱面和夹角为dθ的两个径向截面截取板上一微元体。
微元体内力:
径向:
Mr、Mr+(dMr/dr)dr
周向:
Mθ、Mθ
横向剪力:
Qr、Qr+(dQr/dr)dr
微元体外力:
上表面
1、平衡方程
微体内力与外力对圆柱面切线T的力矩代数和为零,即ΣMT=0
(2-54)
(圆平板在轴对称载荷下的平衡方程)
2、几何协调方程(W~ε)
取
,径向截面上与中面相距为z,半径为r与
两点A与B构成的微段
板变形后:
微段的径向应变为
(第2假设)
过A点的周向应变为
(第1假设)
作为小挠度
,带入以上两式,得
应变与挠度关系的几何方程:
(2-55)
3、物理方程
根据第3个假设,圆平板弯曲后,其上任意一点均处于两向应力状态。
由广义虎克定律可得圆板物理方程为:
(2-56)
4、圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程
(2-55)代入(2-56)式:
(2-57)
通过圆板截面上弯矩与应力的关系,将弯矩
和
表示成
的形式。
由式(2-57)可见,
和
沿着厚度(即z方向)均为线性分布,图2-31中所示为径向应力的分布图。
、
的线性分布力系便组成弯矩
、
。
单位长度上的径向弯矩为:
(2-58a)
同理
(2-58b)
参照38页壳体的抗弯刚度,——“抗弯刚度”与圆板的几何尺寸及材料性能有关
(2-58)代入(2-57),得弯矩和应力的关系式为:
(2-59)
(2-58)代入平衡方程(2-54),得:
即:
受轴对称横向载荷圆形薄板小挠度弯曲微分方程:
(2-60)
Qr值可依不同载荷情况用静力法求得
3.4.3圆平板中的应力(圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程的应用)
承受均布载荷时圆平板中的应力:
①简支②固支
承受集中载荷时圆平板中的应力
一、承受均布载荷时圆平板中的应力
据图2-32,可确定作用在半径为r的圆柱截面上的剪力,即:
代入2-60式中,得均布载荷作用下圆平板弯曲微分方程为:
对r连续两次积分得到挠曲面在半径方向的斜率:
(2-61)
对r连续三次积分,得到中面在弯曲后的挠度。
(2-62)
C1、C2、C3均为积分常数。
对于圆平板在板中心处(r=0)挠曲面之斜率与挠度均为有限值,因而要求积分常数C2=0,于是上述方程改写为:
(2-63)
式中C1、C3由边界条件确定。
下面讨论两种典型支承情况(两种边界条件)
①周边固支圆平板
②周边简支圆平板
周边固支圆平板周边简支圆平板
图2-33承受均布横向载荷的圆板
1、周边固支圆平板:
(在支承处不允许有挠度和转角)
周边固支圆平板
将上述边界条件代入式(2-63),解得积分常数:
代入式(2-63)得周边固支平板的斜率和挠度方程:
(2-64)
将挠度w对r的一阶导数和二阶导数代入式(2-58),便得固支条件下的周边固支圆平板弯矩表达式:
(2-65)
由此(代入2-59)弯曲应力计算试,可得r处上、下板面的应力表达式:
(2-66)
周边固支圆平板下表面的应力分布,如图2-34(a)所示。
最大应力在板边缘上下表面,即
2、周边简支圆平板
将上述边界条件代入式(2-63),解得积分常数C1、C3:
代入式(2-63)得周边简支平板的挠度方程:
(2-67)
周边简支圆平板
弯矩表达式:
(2-68)
应力表达式:
(2-69)
可以看出,最大弯矩和相应的最大应力均在板中心处
,
周边简支板下表面的应力分布曲线见图2-34(b)。
图2-34圆板的弯曲应力分布(板下表面)
3、比较两种支承
a.边界条件
周边固支时:
周边简支时:
b.挠度
周边固支时,最大挠度在板中心
(2-70)
周边简支时,最大挠度在板中心
(2-71)
→
表明:
周边简支板的最大挠度远大于周边固支板的挠度。
c.应力
周边固支圆平板中的最大正应力为支承处的径向应力,其值为
(2-72)
周边简支圆平板中的最大正应力为板中心处的径向应力,其值为
(2-73)
→
表明:
周边简支板的最大正应力大于周边固支板的应力。
内力引起的切应力:
在均布载荷p作用下,圆板柱面上的最大剪力
(
处),
近似采用矩形截面梁中最大切应力公式
,
得到
最大正应力与
同一量级;
最大切应力则与
同一量级。
因而对于薄板R>>t,板内的正应力远比切应力大。
从以上可以看出:
与
圆平板的材料(E、μ)、半径、厚度有关。
●若构成板的材料和载荷已确定,则减小半径或增加厚度都可减小挠度和降低最大正应力。
●工程中较多的是采用改变其周边支承结构,使它更趋近于固支条件
●增加圆平板厚度或用正交栅格、圆环肋加固平板等方法来提高平板的强度与刚度
4、结论
a.板内为二向应力状态:
且为弯曲应力,平行于中面各层相互之间的正应力
及剪力
引起的切应力
均可予以忽略。
b.应力分布:
沿厚度呈线性分布,且最大值在板的上下表面。
沿半径呈抛物线分布,且与周边支承方式有关。
工程实际中的圆板周边支承是介于两者之间的形式。
c.强度:
简支
固支
∴
d.刚度:
∴周边固支的圆平板在刚度和强度两方面均优于周边简支圆平板
e.薄板结构的最大弯曲应力
与
成正比,而薄壳的最大拉(压)应力
与
成正比。
故在相同
条件下,薄板所需厚度比薄壳大。
二、承受集中载荷时圆平板中的应力
挠度微分方程式(2-60)中,剪力
可由图2-35中的平衡条件确定:
采用与求解均布载荷圆平板应力相同的方法,可求得周边固支与周边简支圆板的挠度和弯矩方程及计算其应力值
图2-35圆板中心承受集中载荷时板中的剪力Qr
3.4.4承受轴对称载荷时环板中的应力
◆通常的环板仍主要受弯曲,仍可利用上述圆板的基本方程求解环板的应力、应变,只是在内孔边缘上增加了一个边界条件。
◆当环板内半径和外半径比较接近时,环板可简化为圆环。
圆环在沿其中心线(通过形心)均布力矩M作用下,矩形截面只产生微小的转角而无其它变形,从而在圆环上产生周向应力。
这类问题虽然为轴对称问题,但不能应用上述圆平板的基本方程求解。
图2-36外周边简支内周边承受均布载荷的圆环板
设圆环的内半径为
、外半径为
、形心处的半径为
、厚度t,沿其中心线(通过形心)均布力矩M的作用,如图2-37所示。
文献[40]给出了导出圆环绕其形心的转角
和最大应力
(在圆环内侧两表面)
(2-74)
图2-37圆环转角和应力分析
(注:
可编辑下载,若有不当之处,请指正,谢谢!
)