一次函数知识点总结及常见题型归类.docx
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一次函数知识点总结及常见题型归类
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一次函数知识点总结与常见题型
基本概念
1、变量：
在一个变化过程中可以取不同数值的量。
常量：
在一个变化过程中只能取同一数值的量。
例题：
在匀速运动公式svt中,v表示速度,t表示时间,s表示在时间t内所走的路程,则变量是________,常量
是_______。
在圆的周长公式C=2πr中，变量是________，常量是_________.
2、函数：
一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的
值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。
*判断Y是否为X的函数，只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应
1
x
例题：
下列函数
（1）y=πx
（2）y=2x－1（3）y=
（4）y=
1
2
－3x（5）y=x2－1中，是一次函数的有（）
2－1中，是一次函数的有（）
（A）4个（B）3个（C）2个（D）1个
P1161P872
3、定义域：
一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。
4、确定函数定义域的方法：
（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；
（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；
（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；
（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
例题：
下列函数中，自变量x的取值范围是x≥2的是（）
A．y=2xB．y=
1
x
2
C．y=
2
4xD．y=x2·x2
函数yx5中自变量x的取值范围是___________.
1
已知函数yx2，当1x1时，y的取值范围是（）
2
A.
5
2
3
yB.
2
3
2
5
yC.
2
3
2
5
yD.
2
3
2
y
5
2
5、函数的图像
一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这
些点组成的图形，就是这个函数的图象．例题:
P1175
6、函数解析式：
用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。
7、描点法画函数图形的一般步骤
第一步：
列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；
第二步：
描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各
点）；第三步：
连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。
（画3个图像）
8、函数的表示方法
列表法：
一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。
解析式法：
简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函
数关系，不能用解析式表示。
图象法：
形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。
9、正比例函数及性质
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.
注：
正比例函数一般形式y=kx（k不为零）①k不为零②x指数为1③b取零
（1）解析式：
y=kx（k是常数，k≠0）
（2）必过点：
（0，0）、（1，k）
（3）走向：
k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，?
图像经过二、四象限
（4）增减性：
k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小
（5）倾斜度：
|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴
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例题：
.正比例函数y（3m5）x，当m时，y随x的增大而增大.
若yx23b是正比例函数，则b的值是（）
A.0B.
2
3
C.
2
3
D.
3
2
.函数y=（k－1）x，y随x增大而减小，则k的范围是（）
A.k0B.k1C.k1D.k1
东方超市鲜鸡蛋每个0.4元，那么所付款y元与买鲜鸡蛋个数x（个）之间的函数关系式是_______________．
平行四边形相邻的两边长为x、y，周长是30，则y与x的函数关系式是__________．
10、一次函数及性质
一般地，形如y=kx＋b（k,b是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx＋b即y=kx，所以说正比例
函数是一种特殊的一次函数.
注：
一次函数一般形式y=kx+b（k不为零）①k不为零②x指数为1③b取任意实数
（1）解析式：
y=kx+b（k、b是常数，k0）
（2）必过点：
（0，b）和（－
（3）走向：
b
k
，0）
b>0b<0b=0
经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、三象限
k>0
图象从左到右上升，y随x的增大而增大
经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限经过第二、四象限
k<0
图象从左到右下降，y随x的增大而减小
思考：
若m＜0,n＞0,则一次函数y=mx+n的图象不经过（）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
题型：
由k,b判断图像，由图像判断k,b
（4）增减性：
k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小.
（5）倾斜度：
|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴.
（6）图像的平移：
（上加下减，左加右减）
例题：
若关于x的函数
m1
y（n1）x是一次函数，则m=，n.
.函数y=ax+b与y=bx+a的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（）
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将直线y＝3x向下平移5个单位，得到直线；将直线y＝－x－5向上平移5个单位，得到直
线.
若直线yxa和直线yxb的交点坐标为（m,8）,则ab____________.
已知函数y＝3x+1，当自变量增加m时，相应的函数值增加（）
Ａ．3m+1Ｂ．3mＣ．mＤ．3m－1
11、一次函数y=kx＋b的图象的画法.
根据几何知识：
经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的
图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：
是先选取它与两坐标轴的交点：
与y轴的交点（0，b），
与x轴的交点（
b
k
，0）.即横坐标或纵坐标为0的点.
14、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：
（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；
（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；
（3）解方程得出未知系数的值；
（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.
15、一元一次方程与一次函数的关系
任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：
当
某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横
坐标的值.
16、一次函数与一元一次不等式的关系
任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等
式可以看作：
当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围.
17、一次函数与二元一次方程组
（1）以二元一次方程ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=
a
b
x
c
b
的图象相同.
（2）二元一次方程组
ax
1
a
2
x
b
y
y
1
b
2
c
1
c
2
的解可以看作是两个一次函数y=
a
1
b
1
x
c
1
b
1
和y=
a
2
b
2
x
c
2
b
2
的图象交点.
18、一次函数的图像与两坐标轴所围成三角形的面积
一次函数y=kx＋b的图象与两条坐标轴的交点：
与y轴的交点（0，b），与x轴的交点（
b
k
，0）.
直线（b≠0）与两坐标轴围成的三角形面积为s=
1
2
b
k
b
2
b
2k
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常见题型
一、☆考察一次函数定义
1、若函数
2
m
ym1x3
是y关于x的一次函数，则m的值为；解析式为.
n－1
2、要使y=（m－2）x+n是关于x的一次函数,n,m应满足,.
二、☆考查图像性质
1、已知一次函数y=（m－2）x+m－3的图像经过第一，第三，第四象限，则m的取值范围是________．
2、已知m是整数，且一次函数y（m4）xm2的图象不过第二象限，则m为.
3、直线ykxb经过一、二、四象限，则直线ybxk的图象只能是图4中的（）
4、如图6，两直线
ykxb和y2bxk在同一坐标系内图象的位置可能是（）
1
5.b为时，直线y2xb与直线y3x4的交点在x轴上.
6.要得到y=－
3
2
x－4的图像，可把直线y=－
3
2
x（）．
（A）向左平移4个单位（B）向右平移4个单位（C）向上平移4个单位（D）向下平移4个单位
7、已知一次函数y=－kx+5，如果点P1（x1，y1），P2（x2，y2）都在函数的图像上，且当x1那么系数k的取值范围是________．
8、已知点（－4，y1），（2，y2）都在直线y=－
1
2
x+2上，则y1、y2大小关系是（）
（A）y1>y2（B）y1=y2（C）y1三、☆交点问题
1、若直线y=3x－1与y=x－k的交点在第四象限，则k的取值范围是（）．
（A）k<
1
3
（B）
1
3
1（D）k>1或k<
1
3
2、若直线yxa和直线yxb的交点坐标为（m,8），则ab.
3、一次函数ykxb的图象过点（m,1）和（1,m）两点，且m1，则k，b的取值范围是.
4、直线ykxb经过点A（1,m），B（m,1）（m1），则必有（）
A.k0,b0B.k0,b0C.k0,b0D.k0,b0
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1
5、如图所示，已知正比例函数yx
和一次函数yxb，它们的图像都2
经过点P（a，1），且一次函数图像与y轴交于Q点。
（1）求a、b的值；
（2）求△PQO的面积。
四、☆面积问题
1、若直线y=3x+6与坐标轴围成的三角形的面积为S，则S等于（）．
A．6B．12C．3D．24
2、若一次函数y=2x+b的图像与坐标轴围成的三角形的面积是9，则b=_______．
3、已知一次函数y2xa与yxb的图像都经过A（2,0），且与y轴分别交于点B，c，则ABC的面积为
（）
A．4B．5C．6D．7
4、已知一次函数y＝kx＋b的图像经过点（－1，－5），且与正比例函数
1
y=x
2
的图像相交于点（2，a），求
（1）
a的值；
（2）k、b的值；（3）这两个函数图像与x轴所围成的三角形面积。
五、☆一次函数解析式的求法
m
28
（1）定义型例1.已知函数y（m3）x3
是一次函数，求其解析式。
（2）点斜型例2.已知一次函数ykx3的图像过点（2，－1），求这个函数的解析式。
（3）两点型例3.已知某个一次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标分别是（－2，0）、（0，4），则这个函数
的解析式为_____________。
（4）图像型例4.已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为__________。
y
2
O1x
（5）斜截型例5.已知直线ykxb与直线y2x平行，且在y轴上的截距为2，则直线的解析式
为。
（6）平移型例6.把直线y2x1向下平移2个单位得到的图像解析式为。
（7）实际应用型例7.某油箱中存油20升，油从管道中匀速流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩油量Q（升）
与流出时间t（分钟）的函数关系式为。
（8）面积型例8.已知直线ykx4与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线解析式
为。
（9）对称型例9.若直线l与直线y2x1关于y轴对称，则直线l的解析式为____________。
知识归纳：
若直线l与直线ykxb关于
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（1）x轴对称，则直线l的解析式为ykxb
（2）y轴对称，则直线l的解析式为ykxb
（3）直线y＝x对称，则直线l的解析式为y
1
k
x
b
k
（4）直线yx对称，则直线l的解析式为y
1
k
x
b
k
（5）原点对称，则直线l的解析式为ykxb
（10）开放型例10.一次函数的图像经过（－1,2）且函数y的值随x的增大而增大，请你写出一个符合上述条件
的函数关系式.
（11）比例型例11..已知y与x+2成正比例，且x＝1时y＝－6．求y与x之间的函数关系式
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练习题：
7.已知直线y=3x－2,当x=1时，y=
8.已知直线经过点A（2,3），B（－1，－3），则直线解析式为________________
9.点（－1，2）在直线y=2x＋4上吗？
（填在或不在）
10.当m时，函数y=（m－2）
2
m3
x+5是一次函数，此时函数解析式为。
11.已知直线y=3x+b与两坐标轴所围成的三角形的面积为6，则函数的解析式为.
12.已知变量y和x成正比例，且x=2时，y=－
1
2
则y和x的函数关系式为。
13.点（2,5）关于原点的对称点的坐标为；关于x轴对称的点的坐标为；关于y轴对称的点的坐标
为。
14.直线y=kx＋2与x轴交于点（－1，0），则k=。
15.直线y=2x－1与x轴的交点坐标为与y轴的交点坐标。
16.若直线y=kx＋b平行直线y=3x＋4，且过点（1，－2），则k=.
17.已知A（－1,2）,B（1,－1）,C（5,1）,D（2,4）,E（2,2）,其中在直线y=－x+6上的点有_________,在直线
y=3x－4上的点有_______
18.某人用充值50元的IC卡从A地向B地打长途电话，按通话时间收费，3分钟内收费2.4元，以后每超过1分
钟加收1元，若此人第一次通话t分钟（3≤t≤45），则IC卡上所余的费用y（元）与t（分）之间的关系式
是.
19.某商店出售一种瓜子，其售价y（元）与瓜子质量x（千克）之间的关系如下表
质量x（千克）1234
售价y（元）3.60+0.207.20+0.2010.80+0.2014.40+0.2
由上表得y与x之间的关系式是
20.已知:
一次函数的图象与正比例函数Y=－
2
3
X平行,且通过点（0,4）,
（1）求一次函数的解析式.
（2）若点M（－
8,m）和N（n,5）在一次函数的图象上,求m,n的值
21.已知一次函数y=kx+b的图象经过点（－1,－5）,且与正比例函数y=
1
2
x的图象相交于点（2,a）,求
（1）a的值
（2）k,b的值
（3）这两个函数图象与x轴所围成的三角形面积.
22.有两条直线y1axb，y2cx5c，学生甲解出它们的交点坐标为（3，－2），学生乙因把c抄错了而解
31
出它们的交点坐标为）
（,，求这两条直线解析式
44
23.已知正比例函数ykx
1的图象与一次函数yk2x9的图象交于点P（3，－6）
（1）求
k1,k的值。
（2）如果一次函数yk2x9与x轴交于点A，求A点坐标
2
24.某种拖拉机的油箱可储油40L，加满油并开始工作后，?
油箱中的余油量y（L）与工作时间x（h）之间为一次
函数关系，如图所示．
（1）求y与x的函数解析式．
（2）一箱油可供拖位机工作几小时？
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一、☆分段函数
1、某自来水公司为鼓励居民节约用水，采取按月用水量收费办法，若某户居民应交水费y（元）与用水量x（吨）
y的函数关系如图所示。
（1）写出y与x的函数关系式；
25.
（2）若某户该月用水21吨，则应交水费多少元？
27
x
01520
2、果农黄大伯进城卖菠萝，他先按某一价格卖出了一部分菠萝后，把剩下的菠萝全部降价卖完，卖出的菠萝的吨
数x和他收入的钱数y（万元）的关系如图所示，结合图象回答下列问题：
y（万元）
（1）降价前每千克菠萝的价格是多少元？
（2）若降价后每千克菠萝的价格是1.6元，他这次卖菠萝的总收入是2万
2
1.92
元，问他一共卖了多少吨菠萝？
8
x（吨）
3、某市电力公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法计算电费：
每月不超过100度时，按每度0.57元计费；
每月用电超过100度时，其中的100度按原标准收费；超过部分按每度0.50元计费.
（1）设用电x度时，应交电费y元，当x≤100和x＞100时，分别写出y关于x的函数关系式.
（2）小王家第一季度交纳电费情况如下：
月份一月份二月份三月份合计
交费金额76元63元45元6角184元6角
问小王家第一季度共用电多少度？
4、某校需要刻录一批电脑光盘，若电脑公司刻录，每张需要8元（含空白光盘费）；若学校自刻，除租用刻录机
需120元外每张还需成本费4元（含空白光盘费），问刻录这批电脑光盘，到电脑公司刻录费用少？
还是自刻费用
少？
说明你的理由
二、☆一次函数应用
1、甲、乙二人在如图所示的斜坡AB上作往返跑训练．已知：
甲上山的速度是a米/分，下山的速度是b米/分，（a乙上山的速度是
1
2
a米/分，下山的速度是2b米/分．如果甲、乙二人同时从点A出发，时间为t（分），离开点A
的路程为S（米），?
那么下面图象中，大致表示甲、乙二人从点A出发后的时间t（分）与离开点A的路程S（米）
?
之间的函数关系的是（）
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2、如图7，A、B两站相距42千米，甲骑自行车匀速行驶，由A站经P处去B站，上午8时，甲位于距A站18千米
处的P处，若再向前行驶15分钟，使可到达距A站22千米处.设甲从P处出发x小时，距A站y千米，则y与x之
间的关系可用图象表示为（）
3、汽车由重庆驶往相距400千米的成都，如果汽车的平均速度是100千米/时，那么汽车距成都的路程s（千米）
与行驶时间t（小时）的函数关系用图象表示为（）
S/km
S/kmS/km
S/km
400
400400400
200
200200200
0
ABCD
2402424
t/h0
t/ht/h
024
t/h
4、某油库有一大型储油罐，在开始的8分钟内，只开进油管，不开出油管，油罐的油进至24吨（原油罐没储油）
后将进油管和出油管同时打开16分钟，油罐内的油从24吨增至40吨，随后又关闭进油管，只开出油管，直到将
油罐内的油放完，假设在单位时间内进油管与出油管的流量分别保持不变.
（1）试分别写出这一段时间内油的储油量Q（吨）与进出油的时间t（分）的函数关系式.
（2）在同一坐标系中，画出这三个函数的图象.
5、甲乙两个仓库要向A、B两地运送水泥，已知甲库可调出100吨水泥，乙库可
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