二元一次方程应用题13种经典习题.docx

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二元一次方程应用题13种经典习题

知识回顾

一、等式、方程

1．等式性质

等式两边加（或减）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；

等式两边乘（或除以）同一个数（除数不能是0），所得结果仍是等式．

2．方程

（1）含有未知数的等式叫做方程．

（2）方程的解：

使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解．

]

（3）解方程：

求方程解的过程叫做解方程．

二、一元一次方程

1．只含有______未知数，并且未知数的最高次数都是____，系数不等于零的______方

程叫做一元一次方程，其标准形式为__________，其解为x＝______.

2．解一元一次方程的一般步骤：

（1）去分母；

（2）________；（3）移项；（4）____________；

（5）未知数的系数化为1.

三、二元一次方程组的有关概念

1．二元一次方程

（1）概念：

含有______未知数，并且未知数的项的次数都是____，这样的整式方程叫做二元

一次方程．

（2）一般形式：

ax＋by＝c（a≠0，b≠0）．

》

（3）使二元一次方程两边的值______的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．

（4）解的特点：

一般地，二元一次方程有无数个解．由这些解组成的集合，叫做这个二元一

次方程的解集．

2．二元一次方程组

（1）概念：

具有相同未知数的______二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．

ax＋by＝c，

（2）一般形式：

1

1

1

（a，a，b，b均不为零）．

ax＋by＝c

1

2

1

2

2

2

2

（3）二元一次方程组的解：

一般地，二元一次方程组的两个方程的________，叫做二元一次

方程组的解．

四、二元一次方程组的解法

解二元一次方程组的基本思想是______，即化二元一次方程组为一元一次方程，主要方

法有______消元法和__________消元法．

《

1．用代入消元法---不要漏掉括号

（1）从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x（或y）的代数式表示出y（或

x），即变成y＝ax＋b（或x＝ay＋b）的形式；

（2）将y＝ax＋b（或x＝ay＋b）代入另一个方程，消去y（或x），得到关于x（或y）的一元一次

方程；

（3）解这个一元一次方程，求出x（或y）的值；

（4）把x（或y）的值代入y＝ax＋b（或x＝ay＋b）中，求y（或x）的值．

2．用加减消元法---不要漏乘

（1）在二元一次方程组中，若有同一个未知数的系数相同（或互为相反数），则可以直接相减

（或相加），消去一个未知数；

（2）在二元一次方程组中，若不存在

（1）中的情况，可选一个适当的数去乘方程的两边，使其

中一个未知数的系数相同（或互为相反数），再把方程两边分别相减（或相加），消去一个未知

数；

》

（3）解这个一元一次方程；

（4）将求出的一元一次方程的解代入原方程组中系数比较简单的方程内，求出另一个未知数．

考点一-----二元一次方程概念与解法

x＝2，

y＝1

mx＋ny＝8，

nx－my＝1

例1．已知

是二元一次方程组

的解，则2m－n=

7

2

x

mxy

5

例2．小明和小佳同时解方程组

2xny13，小明看错了m，解得

y2，小华看错了n，

3

x

y7，你能知道原方程组正确的解吗

解得

…

总结分析：

灵活学会“方程解”概念解题。

2x5y-6

axby4

3x5y16

（2ab）2014

bxay8的解相同，求

【巩固】已知方程组

和方程组

的值。

`

—

axbyc

x

3

exbyf

y1

【变式】已知关于x，y的二元一次方程组

的解为

，你能求得关于x，y

（xy）b（xy）c

a

e（xy）b（x+y）f

的二元一次方程组

的解吗

<

★剖析总结★：

灵活学会“方程解”概念解题，利用解相同，可以将方程重新组合，

换位联立；在解题过程中，常常运用类比的思想【巩固2】。

考点二-----解决实际问题

列方程（组）解应用题的一般步骤

审

1、：

有什么，求什么，干什么；

设

2、：

设未知数，并注意单位；

找

3、：

等量关系；

列

4、：

用数学语言表达出来；

解

5、：

解方程（组）．

.

验

6、：

检验方程（组）的解是否符合实际题意．

答

7、：

完整写出答案（包括单位）．

列方程组思想

：

找出相等关系“未知”转化为“已知”.有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：

（1）方程两边表示的是同类量；

（2）同类量的单位要统一；（3）方程两边的数值要相等.

：

列二元一次方程----解决实际问题

类型：

（1）行程问题：

（2）工程问题;（3）销售中的盈亏问题;（4）储蓄问题;（5）产品配

套问题;（6）增长率问题;（7）和差倍分问题;（8）数字问题;（9）浓度问题;（10）几

何问题;（11）年龄问题;（12）优化方案问题.

一、行程问题

（1）三个基本量的关系：

;

路程s=速度v×时间t

时间t＝路程s÷速度V

速度V＝路程s÷时间t

（2）三大类型：

①相遇问题：

快行距＋慢行距＝原距

②追及问题：

快行距－慢行距＝原距

③航行问题：

顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度

逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度

;

顺速–逆速=2水速；顺速+逆速=2船速

顺水的路程=逆水的路程

甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小

时20分相遇.相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，

在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机.这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米

'

总结升华：

根据题意画出示意图，再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系，是行程

问题的常用的解决策略。

【变式】两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在

静水中的速度和水流速度。

二、工程问题

三个基本量的关系：

%

工作总量＝工作时间×工作效率；

工作时间＝工作总量÷工作效率；

工作效率＝工作总量÷工作时间

甲的工作量＋乙的工作量＝甲乙合作的工作总量，

注：

当工作总量未给出具体数量时，常设总工作量为“1”。

一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两

组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共

3480元，问：

（1）甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元

（2）已知甲组单独做需12天完成，

乙组单独做需24天完成，单独请哪组，商店所付费用最少

；

总结升华：

工作效率是单位时间里完成的工作量，同一题目中时间单位必须统一，一般地，

将工作总量设为1，也可设为a，需根据题目的特点合理选用；工程问题也经常利用线段图

或列表法进行分析。

【变式】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱万

元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱万元.若只选一

个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司请你说明理由.

三：

商品销售利润问题

利润问题：

利润=售价—进价，利润率=（售价—进价）÷进价×100%

有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为5%,乙商品的利润率为4%,共可获利46元。

价格调整后，甲商品的利润率为4%，乙商品的利润率为5%，共可获利44元，则两件商品的

进价分别是多少元

》

【变式】某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下

表：

A

B

'

进价（元/件）

1200

1000

售价（元/件）

1380

<

1200

求该商场购进A、B两种商品各多少件；

…

四、银行储蓄问题

税后利息=本金×利率×时间—本金×利率×时间×税率

4．小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了2000

元钱，一种是年利率为％的教育储蓄，另一种是年利率为％的一年定期存款，一年后可取出

元，问这两种储蓄各存了多少钱（利息所得税＝利息金额×20%，教育储蓄没有利息所得税）

）

总结升华:

我们在解一些涉及到行程、收入、支出、增长率等的实际问题时，有时候不容易

找出其等量关系，这时候我们可以借助图表法分析具体问题中蕴涵的数量关系，题目中的相

等关系随之浮现出来.

【变式】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了4000元钱.

第一种，一年期整存整取，共反复存了3次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息%；

第二种，三年期整存整取，这种存款银行年利率为%.三年后同时取出共得利息元（不计利息

税），问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元？

:

五、生产中的配套问题

（

产品配套问题：

加工总量成比例

某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣

袖5只.现计划用132米这种布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才

能使做的衣身和衣袖恰好配套

总结升华：

生产中的配套问题很多，如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿

的配套、衣身与衣袖的配套等.各种配套都有数量比例，依次设未知数，用未知数可把它们

之间的数量关系表示出来，从而得到方程组，使问题得以解决，确定等量关系是解题的关键.

！

【变式】一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如果1立方米木料可以做桌面50个，或做

桌腿300条。

现有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌

腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌能配多少张方桌？

:

六、增长率问题

增长率问题：

原量×（1＋增长率）=增长后的量

原量×（1＋减少率）=减少后的量

某工厂去年的利润（总产值—总支出）为200万元，今年总产值比去年

增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元，去年的总产值、总支出各

是多少万元

^

（1）若条件不变，求今年的总产值、总支出各是多少万元？

；

思考：

本问题还有没有其它的设法

`

【变式2】某城市现有人口42万，估计一年后城镇人口增加%，农村人口增加%，这样全市

人口增加1%，求这个城市的城镇人口与农村人口。

\

七、和差倍分问题

和差倍总分问题：

较大量=较小量+多余量，总量=倍数×倍量

“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂原计划每周生产帐篷共9千顶，现某地震灾区急需

帐篷14千顶，两厂决定在一周内赶制出这批帐篷．为此，全体职工加班加点，“爱心”帐

篷厂和“温暖”帐篷厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的倍、倍，恰好按时完成了这项

任务．求在赶制帐篷的一周内，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂各生产帐篷多少千顶

》

—

【变式】游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽。

如果每位男孩

看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1倍，你知道男

孩与女孩各有多少人吗？

/

八：

数字问题

{

首先要正确掌握自然数、奇数偶数等有关的概念、特征及其表示

两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位

数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，已知前一个四位数比后

一个四位数大2178，求这两个两位数。

~

【变式】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，如果把十位上的数字与个位上的

数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9，求这个两位数？

;

【变式】某三位数，中间数字为0，其余两个数位上数字之和是9，如果百位数字减1，个

位数字加1，则所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒序排列，求原三位数。

（

^

九：

浓度问题

溶液×浓度=溶质

现有两种酒精溶液，甲种酒精溶液的酒精与水的比是3∶7，乙种酒精溶液的酒精与水

的比是4∶1，今要得到酒精与水的比为3∶2的酒精溶液50kg，问甲、乙两种酒精溶液应各

取多少

￥

—

总结升华：

解这类问题常用的相等关系是：

混合前后所含溶质相等或混合前后所含溶剂相等。

有时候需要设间接未知数，有时候需要设辅助未知数。

【变式】一种35%的新农药，如稀释到%时，治虫最有效。

用多少千克浓度为35%的农药加水

多少千克，才能配成%的农药800千克？

%

.

十、几何问题

必须掌握几何图形的性质、周长、面积等计算公式

如图，用8块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是多

少

）

总结升华：

几何应用题的相等关系一般隐藏在某些图形的性质中，解答这类问题时应注意认

真分析图形特点，找出图形的位置关系和数量关系，再列出方程求解。

【变式】用长48厘米的铁丝弯成一个矩形，若将此矩形的长边剪掉3厘米，补到较短边上

去，则得到一个正方形，求正方形的面积比矩形面积大多少？

\

}

总结升华：

解题的关键找两个等量关系，最关键的是本题设的未知数不是该题要求的，本题

要是设正方形的面积比矩形面积大多少，问题就复杂了。

设长方形的长和宽，本题就简单多

了，所以列方程解应用题设未知数是关键。

—

十一、年龄问题

人与人的岁数是同时增长的

今年父亲的年龄是儿子的5倍，6年后父亲的年龄是儿子的3倍，求现在父亲和儿子

的年龄各是多少

总结升华：

解决年龄问题，要注意一点：

一个人的年龄变化（增大、减小）了，其他人也

一样增大或减小，并且增大（或减小）的岁数是相同的（相同的时间内）。

【变式1】今年，小李的年龄是他爷爷的五分之一.小李发现，12年之后，他的年龄变成爷

爷的三分之一.试求出今年小李的年龄.

十二、优化方案问题

：

某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，

每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元.当地一家农工商公司收获

这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：

如果对蔬菜进行粗加工，每天可以加工16

吨；如果进行细加工，每天可加工6吨.但两种加工方式不能同时进行.受季节条件的限制，

公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案

方案一：

将蔬菜全部进行粗加工；

方案二：

尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜在市场上直接销售；

方案三：

将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15天完成

你认为选择哪种方案获利最多为什么？

总结升华：

优化方案问题首先要列举出所有可能的方案，再按题的要求分别求出每个方案的

具体结果，再进行比较从中选择最优方案.

【变式】某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知厂家生产三种不同型号的电

视机，出厂价分别为：

甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元。

（1）若商场同时购进其中两种不同型号的电视机50台，用去9万元，请你研究一下商场

的进货方案；

（2）若商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可获利150元、200元、250元，在以上的方

案中，为使获利最多，你选择哪种进货方案？

总结升华：

优化方案问题首先要列举出所有可能的方案，再按题的要求分别求出每个方案的

具体结果，再进行比较从中选择最优方案.

【变式】某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知厂家生产三种不同型号的电

视机，出厂价分别为：

甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元。

（1）若商场同时购进其中两种不同型号的电视机50台，用去9万元，请你研究一下商场

的进货方案；

（2）若商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可获利150元、200元、250元，在以上的方

案中，为使获利最多，你选择哪种进货方案？

总结升华：

优化方案问题首先要列举出所有可能的方案，再按题的要求分别求出每个方案的

具体结果，再进行比较从中选择最优方案.

【变式】某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知厂家生产三种不同型号的电

视机，出厂价分别为：

甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元。

（1）若商场同时购进其中两种不同型号的电视机50台，用去9万元，请你研究一下商场

的进货方案；

（2）若商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可获利150元、200元、250元，在以上的方

案中，为使获利最多，你选择哪种进货方案？