逐步回归法计算的例子和结果.docx
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逐步回归法计算的例子和结果
逐步回归法计算的例子和结果
例１某种水泥在凝固时放出的热量
（卡/克）与水泥中下列四种化学成分有关:
:
的成分（%）,
:
的成分（%）,
:
的成分（%）,
:
的成分（%）。
所测定数据如表１所示,试建立
与
、
、
及
的线性回归模型。
表１
试验序号
1
7
26
6
60
78.5
2
1
29
15
52
74.3
3
11
56
8
20
104.3
4
11
31
8
47
87.6
5
7
52
6
33
95.9
6
11
55
9
22
109.2
7
3
71
17
6
102.7
8
1
31
22
44
72.5
9
2
54
18
22
93.1
10
21
47
4
26
115.9
11
1
40
23
34
83.8
12
11
66
9
12
113.3
13
10
68
8
12
109.4
注:
本例子引自中国科学院数学研究室数理统计组编,《回归分析方法》,科学出版社,1974年
本软件给出的回归分析有关的结果如下（与回归分析无关的内容未列出）:
指标 名称:
热量 单位:
卡/克
因素１名称:
3CaO.Al2O3含量 单位:
%
因素２名称:
3CaO.SiO2含量 单位:
%
因素３名称:
4CaO.Al2O3.Fe2O3含量 单位:
%
因素４名称:
2CaO.SiO2含量 单位:
%
-------------------多元回归分析-------------------
回归分析采用逐步回归法,显著性水平α＝0.10
引入变量的临界值Ｆa＝3.280
剔除变量的临界值Ｆe＝3.280
拟建立回归方程:
ｙ=b（0）+b
（1）*Ｘ
（1）+b
（2）*Ｘ
（2）+b（3）*Ｘ（3）+b（4）*Ｘ（4）
第１步,引入变量:
各项的判别值（升序排列）:
Ｖx（3）＝0.286
Ｖx
（1）＝0.534
Ｖx
（2）＝0.666
Ｖx（4）＝0.675
未引入项中,第４项[Ｘ（4）]Ｖx值（≥0）的绝对值最大,
引入检验值Ｆa（4）＝22.80,引入临界值Ｆa＝3.280,
Ｆa（4）＞Ｆa,引入第４项,已引入项数＝１。
第２步,引入变量:
各项的判别值（升序排列）:
Ｖx（4）＝-0.675
Ｖx
（2）＝5.52e-3
Ｖx（3）＝0.261
Ｖx
（1）＝0.298
未引入项中,第１项[Ｘ
（1）]Ｖx值（≥0）的绝对值最大,
引入检验值Ｆa
（1）＝108.2,引入临界值Ｆa＝3.280,
Ｆa
（1）＞Ｆa,引入第１项,已引入项数＝２。
第３步,引入变量:
各项的判别值（升序排列）:
Ｖx（4）＝-0.439
Ｖx
（1）＝-0.298
Ｖx（3）＝8.81e-3
Ｖx
（2）＝9.86e-3
未引入项中,第２项[Ｘ
（2）]Ｖx值（≥0）的绝对值最大,
引入检验值Ｆa
（2）＝5.026,引入临界值Ｆa＝3.280,
Ｆa
（2）＞Ｆa,引入第２项,已引入项数＝３。
第４步,剔除或引入变量:
各项的判别值（升序排列）:
Ｖx
（1）＝-0.302
Ｖx
（2）＝-9.86e-3
Ｖx（4）＝-3.66e-3
Ｖx（3）＝4.02e-5
已引入项中,第４项[Ｘ（4）]Ｖx值（＜0）的绝对值最小,
未引入项中,第３项[Ｘ（3）]Ｖx值（≥0）的绝对值最大,
剔除检验值Ｆe（4）＝1.863,剔除临界值Ｆe＝3.280,
Ｆe（4）≤Ｆe,剔除第４项,已引入项数＝２。
第５步,剔除或引入变量:
各项的判别值（升序排列）:
Ｖx
（2）＝-0.445
Ｖx
（1）＝-0.312
Ｖx（3）＝3.61e-3
Ｖx（4）＝3.66e-3
已引入项中,第１项[Ｘ
（1）]Ｖx值（＜0）的绝对值最小,
未引入项中,第４项[Ｘ（4）]Ｖx值（≥0）的绝对值最大,
剔除检验值Ｆe
（1）＝146.5,剔除临界值Ｆe＝3.280,
Ｆe
（1）＞Ｆe,不能剔除第１项。
引入检验值Ｆa（4）＝1.863,引入临界值Ｆa＝3.280,
Ｆa（4）≤Ｆa,不能引入第４项,已引入项数＝２。
变量筛选结果:
检验项数＝４,预期引入项数＝３,实际引入项数＝２,实际引入项数≠预期引入项数
回归方程:
ｙ=b（0）+b
（1）*Ｘ
（1）+b
（2）*Ｘ
（2）
回归系数b（i）:
b（0）＝52.6
b
（1）＝1.47
b
（2）＝0.662
标准回归系数B（i）:
B
（1）＝0.574
B
（2）＝0.685
复相关系数Ｒ＝0.9893
决定系数Ｒ^2＝0.9787
修正的决定系数Ｒ^2a＝0.9767
变量分析:
变量分析表
变异来源
平方和
自由度
均 方
均方比
回 归
Ｕ＝2.66e+3
Ｋ＝2
Ｕ/Ｋ＝1.33e+3
Ｆ＝229.5
剩 余
Ｑ＝57.9
Ｎ－１－Ｋ＝10
Ｑ/（Ｎ－１－Ｋ）＝5.79
总 和
Ｌ＝2.72e+3
Ｎ－１＝12
样本容量Ｎ＝13,显著性水平α＝0.10,检验值Ｆt＝229.5,临界值Ｆ（0.10,2,10）＝2.924
剩余标准差ｓ＝2.41
回归系数检验值:
ｔ检验值（df＝10）:
ｔ
（1）＝12.10
ｔ
（2）＝14.44
Ｆ检验值（df1＝1,df2＝10）:
Ｆ
（1）＝146.5
Ｆ
（2）＝208.6
偏回归平方和U（i）:
U
（1）＝848
U
（2）＝1.21e+3
偏相关系数ρ（i）:
ρ1,2＝0.9675
ρ2,1＝0.9769
各方程项对回归的贡献（按偏回归平方和降序排列）:
U
（2）＝1.21e+3,U
（2）/U＝45.4%
U
（1）＝848,U
（1）/U＝31.9%
残差分析:
残差分析表
№
观测值
回归值
观测值－回归值
（回归值－观测值）/观测值×100（%）
１
78.5
80.1
-1.60
2.04
２
74.3
73.3
1.00
-1.35
３
104
106
-2.00
1.92
４
87.6
89.3
-1.70
1.94
５
95.9
97.3
-1.40
1.46
６
109
105
4.00
-3.67
７
103
104
-1.00
0.971
８
72.5
74.6
-2.10
2.90
９
93.1
91.3
1.80
-1.93
10
116
115
1.00
-0.862
11
83.8
80.5
3.30
-3.94
12
113
112
1.00
-0.885
13
109
112
-3.00
2.75
------------------回归分析结束------------------
逐步回归法计算得到的优化的回归方程为
在显著性水平为α＝0.10上显著。
双重筛选逐步回归法计算的例子和结果
例１为了分析某地区自然经济条件对森林覆盖面积消长的影响而抽取12个村作为样本,共测了12个因子,各因子数据列于表１。
表１
序号
1
74.3
91.0
5.76
1.3
108
66
17.4
51.2
9.5
15.39
12.6
1
2
70.4
157.0
8.04
2.2
126
68
17.2
52.5
24.2
10.84
8.4
0
3
78.7
77.0
7.94
2.0
114
63
17.0
62.9
22.8
13.57
9.8
0
4
78.9
67.0
6.86
1.5
110
55
17.0
64.3
25.1
34.57
14.0
3
5
49.1
91.0
4.92
1.5
92
49
16.5
39.3
10.7
7.41
5.6
2
6
57.6
219.0
5.56
2.5
91
48
16.8
37.3
37.3
9.12
2.8
0
7
53.1
221.0
7.42
3.9
90
45
16.8
30.0
27.0
8.64
2.8
4
8
70.1
123.0
5.38
3.1
123
59
17.0
47.8
34.6
81.64
11.2
5
9
86.6
45.0
12.54
1.2
105
57
14.8
69.0
37.3
23.95
11.2
0
10
82.2
81.0
13.24
1.6
131
61
15.9
62.3
16.5
33.60
16.8
0
11
76.8
90.0
10.70
1.5
131
69
15.8
67.6
22.2
8.93
9.8
0
12
88.9
83.0
1.98
1.8
107
65
14.5
79.3
42.1
58.97
3.5
0
其中:
:
山地比例（%）;
:
人口密度（人/
）;
:
人均收入增长率（元/年）;
:
公路密度（100m/ha）;
:
前汛期降水量（cm/年）;
:
后汛期降水量（cm/年）;
:
月平均最低温度（℃）;
:
森林覆盖率（%）;
:
针叶林比例（%）;
:
造林面积（千亩/年）;
:
年采伐面积（千亩/年）;
:
火灾频数（次/年）。
注:
本例子引自裴鑫德编著,《多元统计分析及其应用》,北京农业大学出版社,1990年
本软件给出的回归分析有关的结果如下（与回归分析无关的内容未列出）:
指标１名称:
森林覆盖率 单位:
%
指标２名称:
针叶林比例 单位:
%
指标３名称:
造林面积 单位:
万亩/年
指标４名称:
年采伐面积 单位:
千亩/年
指标５名称:
火灾频数 单位:
次/年
因素１名称:
山地比例 单位:
%
因素２名称:
人口密度 单位:
人/平方公里
因素３名称:
人均收入增长率 单位:
元/年
因素４名称:
公路密度 单位:
100米/公顷
因素５名称:
前汛期降水量 单位:
厘米/年
因素６名称:
后汛期降水量 单位:
厘米/年
因素７名称:
月平均最低温度 单位:
℃
回归分析采用双重筛选逐步回归法,显著性水平α＝0.05
自变量引入、剔除的临界值Ｆx＝2.000
因变量引入、剔除的临界值Ｆy＝2.500
对指标1～5拟建立回归方程分别为:
ｙ1=b（0）+b
（1）*Ｘ
（1）+b
（2）*Ｘ
（2）+b（3）*Ｘ（3）+b（4）*Ｘ（4）+b（5）*Ｘ（5）+b（6）*Ｘ（6）+b（7）*Ｘ（7）
ｙ2=b（0）+b
（1）*Ｘ
（1）+b
（2）*Ｘ
（2）+b（3）*Ｘ（3）+b（4）*Ｘ（4）+b（5）*Ｘ（5）+b（6）*Ｘ（6）+b（7）*Ｘ（7）
ｙ3=b（0）+b
（1）*Ｘ
（1）+b
（2）*Ｘ
（2）+b（3）*Ｘ（3）+b（4）*Ｘ（4）+b（5）*Ｘ（5）+b（6）*Ｘ（6）+b（7）*Ｘ（7）
ｙ4=b（0）+b
（1）*Ｘ
（1）+b
（2）*Ｘ
（2）+b（3）*Ｘ（3）+b（4）*Ｘ（4）+b（5）*Ｘ（5）+b（6）*Ｘ（6）+b（7）*Ｘ（7）
ｙ5=b（0）+b
（1）*Ｘ
（1）+b
（2）*Ｘ
（2）+b（3）*Ｘ（3）+b（4）*Ｘ（4）+b（5）*Ｘ（5）+b（6）*Ｘ（6）+b（7）*Ｘ（7）
-----计算第１组回归方程-----
第１步,引入方程项:
ｙ1
已引入因变量ｙ的序号:
１
已引入自变量Ｘ的序号:
第２步,自变量Ｘ引入或剔除判别:
各项的判别值（升序排列）:
Ｖx（3）＝4.541e-2
Ｖx（5）＝0.2868
Ｖx（7）＝0.4082
Ｖx（4）＝0.4104
Ｖx（6）＝0.4731
Ｖx
（2）＝0.5998
Ｖx
（1）＝0.8810
未引入项中,第１项[Ｘ
（1）]Ｖx值（≥0）的绝对值最大,
引入检验值Ｆax
（1）＝74.00,引入临界值Ｆx＝2.000,
Ｆax
（1）＞Ｆx,可以引入第１项。
第３步,引入方程项:
Ｘ
（1）
已引入因变量ｙ的序号:
１
已引入自变量Ｘ的序号:
１
第４步,自变量Ｘ引入或剔除判别:
各项的判别值（升序排列）:
Ｖx
（1）＝-7.400
Ｖx（5）＝1.359e-3
Ｖx（6）＝2.254e-2
Ｖx（3）＝4.720e-2
Ｖx
（2）＝0.2260
Ｖx（7）＝0.2306
Ｖx（4）＝0.2372
已引入项中,第１项[Ｘ
（1）]Ｖx值（＜0）的绝对值最小,
剔除检验值Ｆex
（1）＝74.00,剔除临界值Ｆx＝2.000,
Ｆex
（1）＞Ｆx,不能剔除第１项,检查是否可以引入其他自变量。
未引入项中,第４项[Ｘ（4）]Ｖx值（≥0）的绝对值最大,
引入检验值Ｆax（4）＝2.798,引入临界值Ｆx＝2.000,
Ｆax（4）＞Ｆx,可以引入第４项。
第５步,引入方程项:
Ｘ（4）
已引入因变量ｙ的序号:
１
已引入自变量Ｘ的序号:
１,４
第６步,自变量Ｘ引入或剔除判别:
各项的判别值（升序排列）:
Ｖx
（1）＝-5.492
Ｖx（4）＝-0.3109
Ｖx（5）＝1.370e-8
Ｖx（6）＝6.972e-3
Ｖx
（2）＝4.284e-2
Ｖx（3）＝9.849e-2
Ｖx（7）＝0.2536
已引入项中,第４项[Ｘ（4）]Ｖx值（＜0）的绝对值最小,
剔除检验值Ｆex（4）＝2.798,剔除临界值Ｆx＝2.000,
Ｆex（4）＞Ｆx,不能剔除第４项,检查是否可以引入其他自变量。
未引入项中,第７项[Ｘ（7）]Ｖx值（≥0）的绝对值最大,
引入检验值Ｆax（7）＝2.718,引入临界值Ｆx＝2.000,
Ｆax（7）＞Ｆx,可以引入第７项。
第７步,引入方程项:
Ｘ（7）
已引入因变量ｙ的序号:
１
已引入自变量Ｘ的序号:
１,４,７
第８步,自变量Ｘ引入或剔除判别:
各项的判别值（升序排列）:
Ｖx
（1）＝-4.767
Ｖx（4）＝-0.3513
Ｖx（7）＝-0.3398
Ｖx
（2）＝5.297e-2
Ｖx（5）＝6.120e-2
Ｖx（6）＝0.1234
Ｖx（3）＝0.1380
已引入项中,第７项[Ｘ（7）]Ｖx值（＜0）的绝对值最小,
剔除检验值Ｆex（7）＝2.718,剔除临界值Ｆx＝2.000,
Ｆex（7）＞Ｆx,不能剔除第７项,检查是否可以引入其他自变量。
未引入项中,第３项[Ｘ（3）]Ｖx值（≥0）的绝对值最大,
引入检验值Ｆax（3）＝1.120,引入临界值Ｆx＝2.000,
Ｆax（3）≤Ｆx,不能引入第３项,检查是否可以引入其他因变量。
第９步,因变量ｙ引入或剔除判别:
各项的判别值（升序排列）:
Ｖy
（1）＝-13.75
Ｖy（5）＝0.2198
Ｖy（3）＝0.2859
Ｖy
（2）＝0.5592
Ｖy（4）＝0.5895
已引入项中,第１项[ｙ1]Ｖy值（＜0）的绝对值最小,
剔除检验值Ｆey
（1）＝36.68,剔除临界值Ｆy＝2.500,
Ｆey
（1）＞Ｆy,不能剔除第１项,检查是否可以引入其他因变量。
未引入项中,第４项[ｙ4]Ｖy值（≥0）的绝对值最大,
引入检验值Ｆay（4）＝3.350,引入临界值Ｆy＝2.500,
Ｆay（4）＞Ｆy,可以引入第４项。
第10步,引入方程项:
ｙ4
已引入因变量ｙ的序号:
１,４
已引入自变量Ｘ的序号:
１,４,７
第11步,自变量Ｘ引入或剔除判别:
各项的判别值（升序排列）:
Ｖx
（1）＝-8.013
Ｖx（4）＝-0.8942
Ｖx（7）＝-0.7008
Ｖx（6）＝0.1388
Ｖx
（2）＝0.3799
Ｖx（5）＝0.4204
Ｖx（3）＝0.4595
已引入项中,第７项[Ｘ（7）]Ｖx值（＜0）的绝对值最小,
剔除检验值Ｆex（7）＝2.453,剔除临界值Ｆx＝2.000,
Ｆex（7）＞Ｆx,不能剔除第７项,检查是否可以引入其他自变量。
未引入项中,第３项[Ｘ（3）]Ｖx值（≥0）的绝对值最大,
引入检验值Ｆax（3）＝2.551,引入临界值Ｆx＝2.000,
Ｆax（3）＞Ｆx,可以引入第３项。
第12步,引入方程项:
Ｘ（3）
已引入因变量ｙ的序号:
１,４
已引入自变量Ｘ的序号:
１,３,４,７
第13步,自变量Ｘ引入或剔除判别:
各项的判别值（升序排列）:
Ｖx
（1）＝-7.721
Ｖx（7）＝-1.304
Ｖx（4）＝-0.8840
Ｖx（3）＝-0.8502
Ｖx（6）＝0.1487
Ｖx（5）＝0.3635
Ｖx
（2）＝0.5014
已引入项中,第３项[Ｘ（3）]Ｖx值（＜0）的绝对值最小,
剔除检验值Ｆex（3）＝2.551,剔除临界值Ｆx＝2.000,
Ｆex（3）＞Ｆx,不能剔除第３项,检查是否可以引入其他自变量。
未引入项中,第２项[Ｘ
（2）]Ｖx值（≥0）的绝对值最大,
引入检验值Ｆax
（2）＝2.514,引入临界值Ｆx＝2.000,
Ｆax
（2）＞Ｆx,可以引入第２项。
第14步,引入方程项:
Ｘ
（2）
已引入因变量ｙ的序号:
１,４
已引入自变量Ｘ的序号:
１,２,３,４,７
第15步,自变量Ｘ引入或剔除判别:
各项的判别值（升序排列）:
Ｖx
（1）＝-6.973
Ｖx（7）＝-1.798
Ｖx（3）＝-1.301
Ｖx
（2）＝-1.006
Ｖx（4）＝-9.920e-2
Ｖx（6）＝0.1563
Ｖx（5）＝0.5073
已引入项中,第４项[Ｘ（4）]Ｖx值（＜0）的绝对值最小,
剔除检验值Ｆex（4）＝0.2480,剔除临界值Ｆx＝2.000,
Ｆex（4）≤Ｆx,需要剔除第４项。
第16步,剔除方程项:
Ｘ（4）
已引入因变量ｙ的序号:
１,４
已引入自变量Ｘ的序号:
１,２,３,７
第17步,自变量Ｘ引入或剔除判别:
各项的判别值（升序排列）:
Ｖx
（1）＝-6.465
Ｖx
（2）＝-2.438
Ｖx（7）＝-1.794
Ｖx（3）＝-1.293
Ｖx（4）＝9.025e-2
Ｖx（6）＝0.1959
Ｖx（5）＝0.4328
已引入项中,第３项[Ｘ（3）]Ｖx值（＜0）的绝对值最小,
剔除检验值Ｆex（3）＝3.878,剔除临界值Ｆx＝2.000,
Ｆex（3）＞Ｆx,不能剔除第３项,检查是否可以引入其他自变量。
未引入项中,第５项[Ｘ（5）]Ｖx值（≥0）的绝对值最大,
引入检验值Ｆax（5）＝1.907,引入临界值Ｆx＝2.000,
Ｆax（5）≤Ｆx,不能引入第５项,检查是否可以引入其他因变量。
第18步,因变量ｙ引入或剔除判别:
各项的判别值（升序排列）:
Ｖy
（1）＝-16.34
Ｖy（4）＝-6.328
Ｖy（5）＝0.2662
Ｖy
（2）＝0.4603
Ｖy（3）＝0.6480
已引入项中,第４项[ｙ4]Ｖy值（＜0）的绝对值最小,
剔除检验值Ｆey（4）＝9.492,剔除临界值Ｆy＝2.500,
Ｆey（4）＞Ｆy,不能剔除第４项,检查是否可以引入其他因变量。
未引入项中,第３项[ｙ3]Ｖy值（≥0）的绝对值最大,
引入检验值Ｆay（3）＝2.301,引入临界值Ｆy＝2.500,
Ｆay（3）≤Ｆy,不能引入第３项,变量筛选暂停。
变量筛选结果:
因变量:
总数＝５,引入数＝２
自变量:
检验项数＝７,预期引入项数＝４,实际引入项数＝４,实际引入项数＝预期引入项数
第１组回归方程结果:
回归方程:
ｙ1=b（0）+b
（1）*Ｘ
（1）+b
（2）*Ｘ
（2）+b（3）*Ｘ（3）+b（4）*Ｘ（7）
回归系数b（i）:
b（0）＝52.91
b
（1）＝0.8202
b
（2）＝-5.719e-2
b（3）＝-0.4247
b（4）＝-2.883
标准回归系数B（i）:
B
（1）＝0.7134
B
（2）＝-0.2225
B（3）＝-9.406e-2
B（4）＝-0.1843
复相关系数γ＝0.9693
决定系数γ^2＝0.9396
调整的决定系数γ^2a＝0.9170
变量分析:
变量分析表
变异来源
平方和
自由度
均 方
均方比
回 归
Ｕ＝2259
Ｋ＝4
Ｕ/Ｋ＝564.6
Ｆ＝27.22
剩 余
Ｑ＝145.2
Ｎ－１－Ｋ＝7
Ｑ/（Ｎ－１－Ｋ）＝20.74
总 和
Ｌ＝2404
Ｎ－１＝11
样本容量Ｎ＝12,显著性水平α＝0.05,检验值Ｆt＝27.22,临界值Ｆ（0.05,4,7）＝4.120
剩余标准差ｓ＝4.554
回归系数检验值:
ｔ检验值（df＝7）:
ｔ
（1）＝5.031
ｔ
（2）＝-1.701
ｔ（3）＝-0.9624
ｔ（4）＝-1.677
Ｆ检验值（df1＝1,df2＝7）:
Ｆ
（1）＝25.31
Ｆ
（2）＝2.894
Ｆ（3）＝0.9262
Ｆ
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