高等数学公式集锦.docx

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高等数学公式集锦

柱面坐标和球面坐标：

知识要点

抽屉原理又称鸽巢原理，它是组合数学的一个基本原理，最先是由德国数学家狄利克雷明确地提出来的，因此，也称为狄利克雷原理。

把3个苹果放进2个抽屉里，一定有一个抽屉里放了2个或2个以上的苹果。

这个人所皆知的常识就是抽屉原理在日常生活中的体现。

用它可以解决一些相当复杂甚至无从下手的问题。

一、抽屉原理的一种更一般的表述为：

“把多于kn个东西任意分放进n个空抽屉（k是正整数），那么一定有一个抽屉中放进了至少k+1个东西。

原理1：

把n+1个元素分成n类，不管怎么分，则一定有一类中有2个或2个以上的元素。

原理2：

把m个元素任意放入n（n≤m）个集合，则一定有一个集合至少要有k个元素。

其中k＝m/n（当n能整除m时）或k＝〔m/n〕＋1（当n不能整除m时），这里〔m/n〕表示不大于m/n的最大整数，即m/n的整数部分。

原理3：

把无穷多个元素放入有限个集合里，则一定有一个集合里含有无穷多个元素。

原理2也可以变为：

把m个元素任意放入n（n≤m）个集合，则一定有一个集合至多要有k个元素。

其中k＝〔m/n〕，这里〔m/n〕表示不大于m/n的最大整数，即m/n的整数部分。

二、应用抽屉原理解题的步骤

第一步：

分析题意。

分清什么是“东西”，什么是“抽屉”，也就是什么作“东西”，什么可作“抽屉”。

第二步：

制造抽屉。

这个是关键的一步，这一步就是如何设计抽屉。

根据题目条件和结论，结合有关的数学知识，抓住最基本的数量关系，设计和确定解决问题所需的抽屉及其个数，为使用抽屉铺平道路。

第三步：

运用抽屉原理。

观察题设条件，结合第二步，恰当应用各个原则或综合运用几个原则，以求问题之解决。

三、利用上述原理容易证明：

“任意7个整数中，至少有3个数的两两之差是3的倍数。

”

因为任一整数除以3时余数只有0、1、2三种可能，所以7个整数中至少有3个数除以3所得余数相同，即它们两两之差是3的倍数。

抽屉原理的内容简明朴素，易于接受，它在数学问题中有重要的作用。

许多有关存在性的证明都可用它来解决。

1958年6/7月号的《美国数学月刊》上有这样一道题目：

“证明在任意6个人的集会上，或者有3个人以前彼此相识，或者有三个人以前彼此不相识。

”

这个问题可以用如下方法简单明了地证出：

在平面上用6个点A、B、C、D、E、F分别代表参加集会的任意6个人。

如果两人以前彼此认识，那么就在代表他们的两点间连成一条红线；否则连一条蓝线。

考虑A点与其余各点间的5条连线AB，AC，...，AF，它们的颜色不超过2种。

根据抽屉原理可知其中至少有3条连线同色，不妨设AB，AC，AD同为红色。

如果BC，BD，CD3条连线中有一条（不妨设为BC）也为红色，那么三角形ABC即一个红色三角形，A、B、C代表的3个人以前彼此相识：

如果BC、BD、CD3条连线全为蓝色，那么三角形BCD即一个蓝色三角形，B、C、D代表的3个人以前彼此不相识。

不论哪种情形发生，都符合问题的结论。