的相互作用均忽略不计，所有粒子都能到达y轴，其中最后到达y轴的粒子比最先到达y
轴的粒子晚△t时间，则（ABD）
A.有些粒子可能到达y轴上相同的位置
mv
B.磁场区域半径R应满足R--
qB
兀mR
△t
Bqv
D.：
t---其中角度9的弧度值满足sinv-
qBvmv
y=±R
A、粒子射入磁场后做匀速圆周运动，其运动轨迹如图所示,的粒子直接沿直线运动到达y轴，其他粒子在磁场中发生偏转。
由图可知，发生偏转的粒子也有
可能直接打在y=R的位置上，所以粒子可能会到达y轴的同一位置，故A正确;
B、以沿x轴射入的粒子为例，若
mv—
rR，则粒子不能到达y轴就偏向上离开磁场区域，所
qB
以要求，所有粒子才能穿越磁场到达y轴，故B正确；
qB
D从x轴入射的粒子在磁场中对应的弧长最长，所以该粒子最后到达y轴，
丄L-R二25L-R如,…、一,,
t1,（其中9为从x轴入射粒子运动的圆心角，根据几何关
v2兀qBvqB
RqBR
系有a=9，则sinv-sin）;而y=土R的粒子沿直线匀速运动到y轴，时间最短,
rmv
L咖R,“
t2，所以：
△t=ti-t2=，故D正确。
vqBv
mR
C由于，所以“t,C错误。
2qBv
故选ABD
4、如图所示，半径为R=2cm的圆形区域中有垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），磁感应
强度B=2T,—个比荷为2x106C/kg的带正电的粒子从圆形磁场边界上的A点以vo=8x104m/s
的速度垂直直径MN射入磁场，恰好从N点射出，且/AON=120°.下列选项正确的是（BCD）
A.
带电粒子在磁场中运动的轨迹半径为1cm
B.带电粒子在磁场中运动轨迹的圆心一定在圆形磁场的边界上
C.若带电粒子改为从圆形磁场边界上的C点以相同的速度入射，一定从
N点射出
D.若要实现带电粒子从A点入射，从N点出射，则该圆形磁场的最小面积为3nX10「4卅
根据洛伦兹力提供向心力：
2
qvB=m—，可得：
r=，代入数据解得：
r=2cm,故A错误;
rqB
粒子运动轨迹如图所示：
由上可知四边形AONP为菱形，又因为
/AON120O,根据几何知识可得圆心P一定在圆周上，故B正确;从圆形磁场边界上的C点以相同的速度入射，轨迹如图所示，易知四边形SCO!
为菱形，根据几何知识可知粒子一定N点射出，
故C正确；
当带电粒子从A点入射，从N点出射，以AN为直径的圆的磁场，此时有最小面积即
/AN--2
S=兀1——：
=兀（Rcos30「）2=3兀><1^4m2，故D正确。
I2丿'’
5、如图所示，真空有一个半径r=0.5m的圆形磁场，与坐标原点相切，磁场的磁感应强度大小B=2x10-3T,方向垂直于纸面向里，在x=r处的虚线右侧有一个方向竖直向上的宽度为L1=0.5m的匀强
电场区域，电场强度E=1.5X103N/C.在x=2m处有一垂直x方向的足够长的荧光屏，从0点处向
£
不同方向发射出速率相同的荷质比:
■=1X109C/kg带正电的粒子，粒子的运动轨迹在纸面内，个速度方向沿y轴正方向射入磁场的粒子，恰能从磁场与电场的相切处进入电场。
不计重力及阻力的作用。
求：
（1）粒子进入电场时的速度和粒子在磁场中的运动的时间？
（2）
速度方向与y轴正方向成30°（如图中所示）射入磁场的粒子，最后打到荧光屏上，该发光点的位置坐标。
（2）粒子在磁场中转过120°角后从P点垂直电场线进入电场，如图所示,
飞出电场后粒子做匀速直线运动y3=L2tana=（2-0.5-0.5）X0.75=0.75m（1分）
故y=y1+y2+y3=0.75m+0.1875m+0.75m=1.6875m（1分）
（1分）
则该发光点的坐标（2,1.6875）
技巧点拨求解带电粒子在匀强磁场中的运动的问题的关键是定圆心、求半径、画轨迹。
对带电粒子在电场中的偏转问题，一般采用类似于平抛运动的分析处理方法，应用运动的合成和
分解的进行计算.
•带电粒子的发散
如图所示，有界圆形磁场磁感应强度为B,圆心O从P点有大量
质量为m电量为q正离子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正离子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有的运动轨迹的圆心与有界圆圆心O入射点、
出射点的连线为菱形，即出射速度方向相同.
6、如图所示，在半径为/罰勺圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B圆形
区域右侧有一竖直感光板，圆弧顶点P有一速度为V。
的带正电粒子平行于纸面进入磁场，已知粒子的质量为m电荷量为q,粒子重力不计.
（1）
若粒子对准圆心射入，求它在磁场中运动的时间；
（2）若粒子对准圆心射入，且速率为IV0,求它打到感光板上时速度与竖直感光板的夹角；
（3）若粒子以速度Vo从P点以任意角射入，试证明它离开磁场后均垂直打在感光板上.
（1）设带电粒子进入磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径为r，由牛顿第二定律得:
（2）
Bqvo=m
其运动轨迹如图所示.
由几何关系可知/PQO=/OOA=30°,所以带电粒子离开磁场时偏转角为60°,
粒子打到感光板上时速度与竖直感光板的夹角为60°;
（3）由
（1）知，当带电粒子以V0射入时，粒子在磁场中的运动轨迹半径为R,
设粒子射入方向与P0方向之间的夹角为0，带电粒子从区域边界S射出,带电粒子的运动轨迹如图所示.
因PO=OS=PO=SO=R
所以四边形POSO为菱形，由几何关系可知：
PO//C3S
在S点的速度方向与QS垂直，
即粒子打到感光板上时速度与竖直感光板的夹角为90°;
7、如图所示，在坐标系xOy内有一半径为a的圆形区域，圆心坐标为
垂直纸面向里的匀强磁场。
在直线y=a的上方和直线x=2a的左侧区
域内，有一沿y轴负方向的匀强电场，场强大小为E。
一质量为m
O（a，0），圆内分布有
电荷量为+q（q>0）的粒子以速度v从O点垂直于磁场方向且速度方
向沿x轴正方向射入第一象限，粒子恰好从0点正上方的A点射出磁场，不计粒子重力。
（1）求磁感应强度B的大小；
（2）求粒子从0点进入磁场到最终离开磁场所通过的路程。
（3）若粒子以速度v从0点垂直于磁场方向且与x轴正方向的夹角0=30°射入第一象限，求粒子
从射入磁场到最终离开磁场的时间t。
（1）设粒子在磁场中做圆运动的轨迹半径为R
（3）
经分析粒子在磁场运动的路程Si=
粒子在电场中的路程S2—Eq=ma
S=S+S2=
（3）粒子运动轨迹如图所示
粒子在磁场中做圆运动的周期——
粒子从磁场中的P点射出，因磁场圆和粒子的轨迹圆的半径相等，00P0构成菱形，故粒子从P
点的出射方向与y轴平行，粒子由0到P所对应的圆心角为=60°
由几何知识可知，粒子由P点到x轴的距离S=acos
粒子在电场中做匀变速运动，在电场中运动的时间——
粒子由P点第2次进入磁场，由Q点射出，POQ03构成菱形，由几何知识可知Q点在x轴上，
粒子由P到Q的偏向角为=1200,贝U
粒子先后在磁场中运动的总时间粒子在场区之间做匀速运动的时间
解得粒子从射入磁场到最终离开磁场的时间
8如图所示，在直角坐标系xOy平面的第n象限内有半径为R的圆O分别与x轴、y轴相切于P
（-r,0）、Q（0,r）两点，圆O内存在垂直于xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B.与
联立①②③解得：
：
一工J1分）
（2）粒子A的轨迹圆半径为r，由洛仑兹力和向心力公式可得:
⑤（2分）
联立①②⑤⑥解得：
二：
：
炉（2分）
（3）设粒子A'在磁场中圆周运动的圆心为O,因为/O'CA=90°,O'C=r,以O为圆心、r为半径做A'的轨迹圆交圆形磁场O于H点，则四边形COHO为菱形，故O'H//y轴，粒子A'从磁场中出来交y轴于I点，HI丄O'H,所以粒子A'也是垂直于y轴进入电场。
（2分）
设粒子A'从J点射出电场，交x轴于K点，因与粒子A在电场中的运动类似，由
（1）式可得：
OI-JG=r2分）
又Ol=r+rcos30°⑨（1分）
由⑧⑨式解得:
根据图中几何知识可得：
/JKG=45°,GK=GJ⑩
三、磁发散问题中和数学相关的最值问题
象限内以D（-L,L）为圆心、L为半径的寸圆形区域内，分布着方向垂直xOy平面向外、磁感应
强度大小为B的匀强磁场；在第一象限三角形OP（之外的区域，分布着沿y轴负方向的匀强电场.现有大量质量为m电荷量为+q的相同粒子，从A点平行xOy平面以相同速率、沿不同方向射向磁
场区域，其中沿AD方向射入的粒子恰好从不考虑粒子间的相互作用及其重力，求：
（1）电场强度的大小；
（2）x正半轴上有粒子穿越的区间.
P点进入电场，经电场后恰好通过C点.已知a=30
J
DPi
4■•■«■i
:
B:
t■**«j
1*
■・V/
y
h
'J
*
7Jdfl
怯
r
F
F
厂o
CJI
解：
（1）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，设半径为
r，粒子初速度为vo,
由几何关系得：
r=L,
沿AD方向的粒子由P点进入电场时，速度方向与设在电场中运动的时间为to,电场强度为E,则qE=ma
y轴垂直,
L_叱⑷ranfl
1
L=~
2q&2L
I
解得：
E=
（2）若粒子的速度方向与X轴正方向的夹角为
ADFO为菱形，
OF平行AD,Vf丄OF,
带电粒子离开磁场时，速度方向沿X轴正方向，则有:
yF=L（1-cos0）,
粒子从F'通过PC,则
0，粒子从F点射出磁场，由于r=L,故四边形
-匸」YFxF'
tana
粒子在电场中运动的时间为t，从C通过X轴离开电场，沿X轴方向的位移为X,
X=Vot,
粒子到达X轴的坐标为Xc,Xc=Xf‘+X
C=J3~£-（cos0+^l-gj.010）
（0v0<90°）
当0=90°时，xc的最小值
时，Xc，的最大值
UKLX
11
所以x正半袖上有粒子穿越的区间为
答：
（1）电场强度的大小为3册；
（2）x正半袖上有粒子穿越的区间为
变式1、在直角坐标系xoy中，A（-0.3,0）、C是x轴上两点，P点的坐标为（0,0.3）。
在第二象限内以D（-0.3,0.3）为圆心、0.3m为半径的1/4圆形区域内，分布着方向垂直xoy平面向外、磁感应强度大小为B=0.1T的匀强磁场；在第一象限三角形OPC之外的区域，分布着沿y轴负方向的匀强电场（如图所示）。
现有大量质量为m=310〜kg、电荷量为q=1104C的相同
粒子，从A点平行xoy平面以相同速率v=103m/s沿不同方向射向磁场区域，其中沿AD方向射
入的粒子恰好从P点垂直y轴进入电场，恰好通过C点。
已知a=37。
，不考虑粒子间的相互
作用及其重力，求:
（2）粒子穿越x正半轴的最大值。
mv
qB
、mv
（1）r
（2）0.5m
qB
【解析】
（1）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，设半径为r,粒子的初速度为v
2
_mvqvB
r
根据题意和几何知识，可得:
3
r=DP=0.3mv=1x10m/s
沿AD方向的粒子由P点进入电场时，速度方向与y轴垂直。
所以，该粒子在电场中做类平抛运
动，运动时间为t
OC=vt
12
0P=—at
2
OP=OCtana
qE=ma
E=112.5V/m
（2）若速度方向与x轴正方向的夹角为B的入射粒子，从x正半轴穿过时距离0点最远。
粒子从F点离开磁场，其中0•是粒子运动的圆心。
由于粒子的运动半径等于磁场的半径，所以四边形ADFO为菱形，OF[jAD,vF_OF，而AD又是竖直方向，所以vf垂直于y轴
从F•点进入电场，仍做类平抛运动。
1
运动时间为tx=v「yFat'2
2
粒子到达x轴的坐标为xC•x^=xxF
r-yF
xF-yF1-cost
tana
联合接的xC=0.41-cosr0.4cosr
设-,1-COST-k，所以Xc：
=0.4k-0.41-k2当k=0.5时Xc有最大值且为0.5m
10、如图所示，在xOy平面内，紧挨着的三个“柳叶”形有界区域
①②③内（含边界上）有磁感应强度为B的匀强磁场，它们的边界都
11
是半径为a的；圆，每个；圆的端点处的切线要么与x轴平行、要么
与y轴平行•①区域的下端恰在O点，①②区域在A点平滑连接、
②③区域在C点平滑连接.大量质量均为m电荷量均为q的带正
电的粒子依次从坐标原点O以相同的速率、各种不同的方向射入第一象限内（含沿x轴、y轴方向），它们只要在磁场中运动，轨道半径就都为a.在yw—a的区域，
存在场强为E的沿一x方向的匀强电场•整个装置在真空中，不计粒子重力、不计粒子之间的相互作用.求：
（1）粒子从0点射出时的速率V0;
⑵这群粒子中，从O点射出至运动到x轴上的最长时间;
（4）这群粒子到达y轴上的区域范围.
四、磁场的最小区域问题
11、电子质量为m电荷量为e,从坐标原点O处沿xOy平面射入第一象限，射入时速度方向不同，速度大小均为vo，如图所示。
现在某一区域加一方向向外且垂直于xOy平面的匀强磁场，磁
感应强度为B,若这些电子穿过磁场后都能垂直射到荧光屏MN上，荧光屏与y轴平行，求:
（1）
荧光屏上光斑的长度；
（2）所加磁场范围的最小面积。
解：
（1）如图所示，求光斑长度，关键是找到两个边界点，初速度方向
沿x轴正方向的电子，沿弧OB运动到P;初速度方向沿y轴正方向的电子,沿弧OC运动到Q
由图可知
电子在磁场中的半径
（2）沿任一方向射入第一象限的电子经电场偏转后都能垂直打到荧光屏MN上，所加最小面积的
磁场的边界是以O'（0,R）为圆心，R为半径的圆的一部分，如图中实线所示，所以磁场范围的最小面积为
J戒+疋-丄欣？
=（兰+1）〔竽代
442
12、如图，ABCD是边长为a的正方形。
质量为m电荷量为e的电子，
以大小为v0的初速度沿纸面垂直于BC变射入正方形区域。
在正方形-‘"
内适当区域中有匀强磁场。
电子从BC边上的任意点入射，都只能从A
点射出磁场。
不计重力，求：
（1）此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小;
（2）
此匀强磁场区域的最小面积。
磁场中的运行轨道。
电子所受到的磁场的作用力①
（2）由
（1）中决定的磁感应强度的方向和大小，可知自向射出，且自BC边上其它点垂直于入射的电子的运动轨道只能在是所求的最小磁场区域的一个边界。
C为x轴，AD为y轴的坐标系中，P点的坐标''''为
x=awin3©
y--[«—（z-agqs=-acqs
0三&三一_*—.
这意味着，在范围内，p点形成以D为圆心、a为半径的四分之一圆周•「厂，它是电子做直线运动和圆周运动的分界线，构成所求磁场区域的另一边界
因此，所求的最小匀强磁场区域时分别以B和D为圆心、a为半径的两个四分之一圆周心--和
13、一水平放置的平板MN的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于纸面向里许多质量为m带电量为+q的粒子，以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向，由小孔0射入磁场
区域•不计重力，不计粒子间的相互影响•下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，其
中正确的图是（A）
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