第四单元比例教案.docx
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第四单元比例教案
本单元比例的知识属于“数与代数”的领域,在知识的链接上起着重要作用。
比例是小学数学研究“数与代数”的最后一个知识点,是前面学习的一个综合应用,是数与计算的发展。
同时,比例又是进一步学习中学数学、物理、化学的基础知识。
如中学将学习正比例函数、反比例函数、三角函数等,这些知识的基础就是比和比例。
另外,许多物理公式是用比和比例的形式出现的,并用比值法定义物理量。
中学物理教材中,用比值法定义的物理量很多,如密度、加速度、电场强度等。
由此,可以看出比例知识的重要性。
本单元教学内容主要包括比例的意义和性质,正比例和反比例,以及比例的应用三部分内容。
本单元的核心思想就是函数思想。
学生在判断正、反比例的量时,易犯的错误是找到了两个相关联的量,并且一种量变大,另一种量也变大,就下结论是正比例的量。
比如认为长方形的宽一定,周长和长成正比例关系,如果进一步考察,就会发现它们的比值并不一定。
再如学生在学习中有时会感到困惑:
当三角形的面积一定时,底和高是否成反比例。
因为三角形的面积=底×高×,与标准式xy=k（一定）相比,多了一个乘或除以2,那是否成反比例呢?
对于这个问题,要鼓励他们通过举例来证明乘积是一定的,因此是成反比例的量。
又如:
圆的直径与周长,圆锥体的体积一定,它的底面积和高,等等。
分析学生易出现的问题,可以看出在教学中对于基本概念的教学十分重要。
因为学习比例的相关知识以及比例的应用都有赖于对概念的理解和掌握。
如:
解答含正、反比例关系的实际问题,首先要对两个量成何比例作出判断,然后依据正比例或反比例的数量关系特点解答。
再如比例尺的应用及图形的放大与缩小,都要依据比例的意义进行相关计算。
所以在教学中,要通过观察、比较、判断、归纳等方法,帮助学生建立清晰的概念,把握概念的内涵。
同时通过应用,不断加深对这些概念的理解和掌握。
1.理解比例的意义和基本性质,会解比例。
2.理解正比例和反比例的意义,能找出生活中成正比例和成反比例的实例,能运用比例知识解决简单的实际问题。
3.认识正比例关系的图象,能根据给出的正比例关系数据,在有坐标系的方格纸上画出图象,会根据其中一个量在图象中找出或估计出另一个量的值。
4.了解比例尺,会求平面图的比例尺,会根据比例尺求图上距离或实际距离。
5.认识放大与缩小现象,能按一定的比将简单图形放大或缩小,体会图形的相似。
6.渗透函数思想,使学生受到辩证唯物主义观点的启蒙教育。
1.重视基本概念的教学。
比例、正比例、反比例是本单元学习的基本概念。
比例的应用有赖于对这些概念的理解和掌握;同时通过应用,可以不断加深对这些概念的理解和掌握。
通过观察、比较、判断、归纳等方法帮助学生建立明晰的概念。
2.提高学生综合运用知识的能力。
本单元知识综合性强,既要注意新、旧知识的联系,又要注意提高学生综合运用知识的能力。
3.引入一些稍复杂的正、反比例实际应用,供学生合作探究,增加一些比例尺选择的内容,会根据线段比例尺进行简单口算,而且适当画图、测量、设计比例尺等。
1 比例的意义和基本性质1课时
2 正比例1课时
3 反比例1课时
4 比例尺1课时
5 图形的放大与缩小1课时
6 用比例解决问题1课时
7 整理和复习1课时
自行车里的数学1课时
比例的意义和基本性质
教材第40~42页。
1.通过现实情境,认识比例,使学生理解比例的基本性质,进而掌握解比例的方法。
2.在比的知识基础上引出比例的意义,结合实例,提高学生将新、旧知识融会贯通的能力,提高学生的认知、观察、计算、发现、验证和总结能力。
3.在教学中,通过了解国旗的比例,渗透爱国主义思想。
4.在总结比例的基本性质的过程中,使学生感受到探索数学问题的乐趣。
重点:
理解比例的意义和比例的基本性质。
难点:
判断两个比能否组成比例,并正确地写出比例。
课件。
师:
请同学们回忆一下上学期我们学过的比的知识,谁能说说什么叫做比?
举例说明什么是比的前项、后项和比值。
教师把学生举的例子板书出来,并注明比的各部分名称。
师:
我们知道了比的前、后项相除所得的商叫做比值,你们会求比值吗?
教师板书下面几组比,让学生求出它们的比值。
12∶16 4.5∶2.7 10∶6 4∶8
学生独立求出各比的比值。
师:
请同学们观察一下,哪两个比的比值相等?
生:
4.5∶2.7的比值和10∶6的比值相等。
教师说明:
因为这两个比的比值相等,所以这两个比也是相等的,我们把它们用等号连起来。
（板书:
4.5∶2.7=10∶6）像这样表示两个比相等的式子叫做什么呢?
这就是这节课我们要学习的内容。
（板书课题:
比例的意义）
【设计意图:
从学生已有的知识经验入手,方便快捷,为新课做好准备】
1.讲授“比例的意义”。
出示教材第40页的情景图。
师:
说一说图的内容,找一找图中共有的东西。
课件出示三面国旗长与宽的具体数据,写出它们的比。
（提示:
比可以用两种形式表示）
长
5m
2.4m
60cm
宽
m
1.6m
40cm
教师提问:
你能根据这个表,分别写出学校里两面国旗长和宽的比吗?
求出比值。
教师根据学生的回答,板书:
操场上的国旗:
2.4∶1.6= 教室里的国旗:
60∶40=
教师提问:
你们发现了什么?
这两个比有什么关系?
生:
这两个比的比值都是,它们相等。
教师说明:
因为这两个比相等,所以我们可以把它们用等号连起来。
（板书:
2.4∶1.6=60∶40）像这样表示两个比相等的式子叫做比例。
（板书:
表示两个比相等的式子叫做比例）
让学生读一遍。
师:
比例是由几个比组成的?
这几个比必须具备什么条件?
判断两个比能不能组成比例,关键是看什么?
如果不能一眼看出两个比是不是相等的,怎么办?
根据学生的回答,教师小结:
通过上面的学习,我们知道了比例是由两个相等的比组成的。
在判断两个比能不能组成比例时,关键是看这两个比是不是相等的。
如果不能一眼看出两个比是不是相等的,可以先分别把两个比化简或是求出比值以后再看。
例如,判断10∶12和35∶42这两个比能不能组成比例,先要算出10∶12=,再算出35∶42=,所以10∶12=35∶42。
（以上举例边说边板书）
比较“比”和“比例”两个概念。
师:
上学期我们学习了“比”,现在又知道了“比例”的意义,那么“比”和“比例”有什么区别呢?
引导学生从意义上、项数上对它们进行比较,最后教师归纳:
比是表示两个数相除,有两项;比例是一个等式,表示两个比相等,有四项。
2.讲授“比例的基本性质”。
讲授比例各部分的名称。
师:
同学们已经能正确地判断两个比是否可以组成比例了,那么,比例各部分的名称是什么?
请同学们翻开教材第41页看看什么叫比例的项、外项和内项。
（学生看书时,教师板书:
2.4∶1.6=60∶40）让学生指出板书中的比例的外项和内项。
学生回答的同时,教师板书。
（2）讲授比例的基本性质。
师:
比例有什么性质呢?
现在我们就来研究。
（板书:
比例的基本性质）
学生分别计算出这个比例中两个内项的积和两个外项的积。
（教师板书:
两个外项的积是2.4×40=96 两个内项的积是1.6×60=96）
师:
你发现了什么?
生:
两个外项的积等于两个内项的积。
师:
是不是所有的比例都存在这样的特点呢?
学生分组计算上节课判断过的比例。
师:
通过计算,我们发现所有的比例都有这样的特点,谁能用一句话把这个特点说出来?
（可多让一些学生说,说得不完整也没关系,让后说的同学在先说的同学的基础上说得更完整）
最后师生共同归纳,（板书:
在比例里,两个外项的积等于两个内项的积）教师说明这叫做比例的基本性质。
师:
如果把比例写成分数形式,比例的基本性质又是怎样的呢?
指名改写2.4∶1.6=60∶40 （=）
师:
这个比例的外项是哪两个数呢?
内项呢?
当比例写成分数的形式时,等号两端的分子和分母分别交叉相乘的积怎么样?
（边问边画出交叉线）
学生回答后,教师强调:
如果把比例写成分数的形式,比例的基本性质就是等号两端分子和分母分别交叉相乘的积相等。
以前我们是通过计算它们的比值来判断两个比是不是成比例的。
学过比例的基本性质后,也可以应用比例的基本性质来判断两个比能不能组成比例。
3.讲授“解比例”。
（1）教学例2。
出示例2:
法国巴黎的埃菲尔铁塔高度约320m。
北京的世界公园里有一座埃菲尔铁塔的模型,它的高度与原塔高度的比是1∶10。
这座模型高多少米?
让学生列出比例,指出这个比例的外项、内项,并说出已知哪三项,要求哪一项。
教师板书:
x∶320=1∶10
师:
根据比例的基本性质可以把它变成什么形式?
（方程的形式）
教师说明:
这样解比例就变成解方程了,利用以前学过的解方程的方法就可以求出未知项x的值。
因为解方程要写“解:
”,所以解比例也应写“解:
”。
师:
怎样解这个方程?
（根据乘法各部分间的关系,把x看作一个因数,根据因数=积÷另一个因数,可以求出x）
师:
从刚才解比例的过程中可以看出,解比例可以根据比例的基本性质把比例变成方程,然后用解方程的方法来求未知项x。
（2）教学例3。
师:
这道题与上面一题的比例有什么不同?
（课件出示:
教材第42页例3题）
生:
这个比例是分数形式。
师:
这种分数形式的比例也能根据比例的基本性质,将它转化成方程来求解吗?
生:
能。
根据比例的基本性质,把等号两端的分子和分母分别交叉相乘,就得出方程。
师:
请同学们打开课本第42页,试着自己把过程补充完整。
学生尝试解比例;教师巡视了解情况,指导个别有困难的学生。
组织学生交流订正。
【设计意图:
充分利用学生已有的比的知识经验,给学生自主的思考时间,让他们尽可能在交流与探究中认识比例,理解比例的基本性质,学会解比例】
师:
在本节课的学习中,你学会了什么?
生1:
我知道了两个相等的比可以组成比例,还知道了比例各部分的名称。
生2:
我知道了比例的基本性质,能应用比例的基本性质解比例。
生3:
我知道了比例是由比构成的,与比是有区别的。
……
比例的意义和基本性质
1.在学生学过比的知识的基础上进行比例认识的教学。
先讲授比例的意义,再讲授比例的基本性质,并根据这个基本性质讲授解比例。
我在讲授这部分知识的时候,通过复习求比值,找出比值相等的比,为讲授比例的意义做好铺垫工作。
然后通过例题,得出两个比的比值相等,从而概括出比例的意义,再利用比例意义判断两个比能否组成比例。
我让学生写出比值相等的比,再组成比例,目的在于加深学生对比例意义的认识和理解。
在认识比例的各部分名称时,我让学生看书自学,然后让他们自己说说比例里各部分的名称,提高了学生的自学能力和认知能力。
2.创设探究空间,经历探索过程,得出比例的基本性质。
我大胆地组织学生探究比例的基本性质,利用新鲜有用的教学资源,引导学生展开讨论,进行了有效的探究。
A类
阳光小区9号楼模型的高度是6分米,与实际高度的比是1∶50,楼房的实际高度是多少米?
（考查知识点:
比例的意义和基本性质;能力要求:
灵活应用所学知识解决生活中的实际问题）
B类
一种环保的乙醇汽油是把乙醇和汽油按质量比1∶9混合而成。
用16吨乙醇可以调配这种乙醇汽油多少吨?
（考查知识点:
比例的意义和基本性质;能力要求:
灵活应用所学知识解决生活中的实际问题）
课堂作业新设计
A类:
解:
设楼房的实际高度是x分米。
1∶50=6∶x
x=50×6
x=300 300分米=30米
B类:
解:
设需要汽油x吨。
1∶9=16∶x
x=144 144+16=160（吨）
教材习题
第40页“做一做”
1.
（1）6∶10=9∶15
（2）不可以组成比例 （3）∶=6∶4 （4）0.6∶0.2=∶
2.可以组成8个比例。
3∶1.5=4∶2 3∶4=1.5∶2 2∶1.5=4∶3 2∶4=1.5∶3
4∶2=3∶1.5 4∶3=2∶1.5 1.5∶3=2∶4 1.5∶2=3∶4
第41页“做一做”
（1）不能组成比例
（2）0.2∶2.5=4∶50 （3）∶=∶ （4）不能组成比例
第42页“做一做”
1.
（1）x=7.5
（2）x= （3）x=0.6
2.解:
设应加入水xmL。
1∶150=100∶x x=15000
第43页“练习八”
1.不能组成比例;能组成比例30∶2=120∶8;不能组成比例;能组成比例100∶5=200∶10。
2.
（1）可以组成比例 （答案不唯一）4∶5=12∶15
（2）不可以组成比例 （3）不可以组成比例 （4）可以组成比例 （答案不唯一）∶=∶
3.（答案不唯一） 5∶1 10∶2 5∶1=10∶2
4.
（1）3.75∶0.5=7.5 6∶0.8=7.5 比值相等可以组成比例,3.75∶0.5=6∶0.8。
（2）内项是0.5和6;外项是3.75和0.8。
5.
（1）不能组成比例
（2）能组成比例 1.4∶2=28∶40
（3）能组成比例 ∶=∶ （4）不能组成比例
6.1分=60秒 54×60÷45=72（次） 小红说得对。
7.能写出8个比例。
24∶8=9∶3 24∶9=8∶3 3∶8=9∶24 3∶9=8∶24
8∶3=24∶9 8∶24=3∶9 9∶3=24∶8 9∶24=3∶8
8.
（1）x=
（2）x=1.6 （3）x=3 （4）x=36
9.解:
设水的体积是xdm。
40∶x=x∶50
x=45
10.
（1）5∶8=40∶x x=64
（2）x∶=∶ x=
（3）x∶2=5∶2.5 x=4
11.
（1）解:
设轿车的实际长度是xcm。
1∶20=24.3∶x x=486
（2）11.76m=1176cm 解:
设模型车的长度是xcm。
1∶20=x∶1176 x=58.8
12.解:
设这个将军俑的实际高度是xcm。
1∶10=19.6∶x x=196
13.35m=3500cm 解:
设模型的高度是xcm。
500∶1=3500∶x x=7
14.（答案不唯一）
（1）3∶8=15∶40
（2）2.5∶0.5=2∶0.4
15.
（1）足球与篮球的单价之比是4∶3。
（2）解:
设篮球的单价是x元。
4∶3=40∶x x=30
（3）略
正比例
教材第45、第46页。
1.使学生理解正比例的意义,能根据正比例的意义判断两个量是不是成正比例。
2.提高学生分析、判断和概括的能力。
3.引导学生用发展的观点分析问题。
重点:
使学生理解正比例的意义。
难点:
引导学生通过观察发现两种相关联的量的变化规律。
课件。
师:
同学们,听说过“正比例”吗?
想了解“正比例”吗?
师:
下面是文具店某一种型号铅笔的销售数量与总价的关系表,仔细观察,回答下面的问题。
（课件出示:
教材第45页例1）
师:
表中有哪两种量?
生:
表中的两种量是数量和总价。
师:
总价是怎样随着数量的变化而变化的?
生:
总价随着数量的增多而逐渐增大。
师:
自己试着分别写出表中相应的总价与数量的比,算一算比值是多少。
学生尝试独立写出表中相应的总价与数量的比,并算出比值;教师巡视了解情况。
师:
在小组里对比交流,仔细观察所写出的答案,你发现了什么?
学生进行小组活动,教师巡视了解情况。
师:
你发现了什么?
为什么会这样呢?
能做出合理的解释吗?
生:
我发现表中对应的总价与数量的比的比值都相等。
我觉得是因为这个比值表示的都是同一种型号的铅笔的单价,所以当然相等了。
说明:
像这样,两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化。
如果这两种量中相对应的两个数的比值一定,这两种量就叫做成正比例的量,它们的关系叫做正比例关系。
师:
如果用字母y和x表示两种相关联的量,用k表示它们的比值（一定）,你可以用式子表示出正比例关系吗?
生:
正比例关系可以用式子表示为=k（一定）。
师:
这个表中的数据还可以用图象表示出来,看看从图中你发现了什么?
（课件出示:
教材第46页最上面正比例关系的图象）
生:
所有的点都在一条直线上。
师:
把数对（10,35）和（12,42）所在的点描出来,并和上面的图象连起来并延长,你还能发现什么?
生:
正比例关系的图象是一条经过原点的直线。
师:
不计算,根据图象判断,如果买9m彩带,总价是多少?
生:
根据图象可以知道,买9m彩带的总价是31.5元。
师:
49元能买多少米彩带?
生:
49元能买14米彩带。
师:
小明买的彩带的米数是小丽的2倍,他花的钱是小丽的几倍?
生:
他花的钱应该是小丽的2倍。
师:
你能举出生活中成比例关系的例子吗?
学生可能会说:
•正方形的周长和边长成正比例关系。
•如果汽车行驶速度一定,路程和时间成正比例关系。
……
只要学生举出的例子正确就要给予肯定鼓励。
【设计意图:
认识成正比例的量之后,学生自己举出生活中的例子,既帮助学生巩固了正比例的意义,学会根据正比例的含义判断两种量是否成正比例关系,又让学生进一步体验生活中成正比例关系存在的数量很多】
师:
在本节课的学习中,你有哪些收获?
学生自由交流各自的收获、体会。
正 比 例
1.学习方式的一点点转变,带来学习效果的巨大进步。
要改变以往接受式的学习,多给学生探索、动手操作的时间与空间,让学生在探索中自主发现规律。
实践表明,学生喜欢动手操作,喜欢有挑战性的问题,能够积极主动投入到学习中。
在正比例的练习中,学生都会用除法去验证结果是不是一定的,从而判断两种量是否成正比例关系,可见教学效果非常好。
2.重视知识的形成过程,放慢学习速度,有助于学生对概念的理解。
《新课程标准》中强调从学生已有的生活经验出发,让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型,并进行解释与应用的过程,进而使学生在获得对数学理解的同时,也在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。
正比例意义一课包含的难点很多,正比例的意义,正比例的图象都是教学的难点,如果把这些知识都集中在一堂课中,学生囫囵吞枣,理解得不深不透。
本节课把教学目标定位于正比例的意义,并且在发现规律上重点着墨,看起来好像是浪费了很多时间,但是,俗话说“磨刀不误砍柴工”,学生在知识的形成过程中,已经深刻理解了重点词“相关联的量”“比值一定”的含义,这为后继学习扫清了障碍。
A类
下图表示每小时行驶60千米的汽车1小时、2小时、3小时……所行使的路程。
看图估计:
这辆汽车2.5小时行驶多少千米?
4.5小时呢?
（考查知识点:
正比例;能力要求:
运用正比例知识解决简单的具体问题）
B类
下面是甲、乙两个工程队挖水渠进度统计图。
（1）你认为哪个队施工速度快?
为什么?
（2）如果丙队每天都挖80米,请你在图中画出丙队的施工“线”。
（考查知识点:
正比例;能力要求:
运用正比例知识解决简单的实际问题）
课堂作业新设计
A类:
这辆汽车2.5小时行驶150千米,4.5小时行驶270千米。
B类:
（1）我认为甲队的施工速度快,因为从图上能看出来甲队每天挖水渠40米,乙队2天才挖水渠40米,每天只挖20米,所以甲队的施工速度快。
（2）如图所示:
教材习题
第46页“做一做”
（1）80∶1=80 160∶2=80 240∶3=80 比值相等。
（2）这个比值表示这辆汽车的速度。
（3）汽车行驶的路程与时间成正比例关系,因为路程和时间是两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,且路程÷时间=速度（一定）,也就是比值一定,所以路程与时间成正比例关系。
（4）行驶120km大约要用1.5小时。
反比例
教材第47、第48页。
1.理解反比例的意义,能根据反比例的意义正确地判断两种量是否成反比例关系。
2.提高学生归纳、总结和概括的能力。
3.通过学习,渗透辩证唯物主义观点。
重点:
反比例的意义。
难点:
正确判断两种量是否成反比例关系。
课件。
1.下面两种量是否成正比例关系?
为什么?
数量/本
1
2
4
6
总价/元
0.80
1.60
3.20
4.80
2.成正比例的量有什么特征?
3.这节课,我们继续学习常见的数量关系——成反比例的量。
1.教学例2。
（1）出示教材第47页例2。
杯子的底面积/cm2
10
15
20
30
60
…
水的高度/cm
30
20
15
10
5
…
观察上表回答下面的问题:
（1）表中有哪两种量?
（2）水的高度是怎样随着杯子底面积的大小变化而变化的?
（3）相对应的杯子的底面积与水的高度的乘积分别是多少?
提问:
从中你发现了什么?
本题与教材第45页例1有什么不同?
（2）学生讨论交流。
（3）引导学生回答:
①表中的两个量是杯子的底面积和水的高度。
②杯子的底面积扩大,水的高度反而缩小;杯子的底面积缩小,水的高度反而扩大。
③每两个相对应的数的乘积都是300。
想一想:
杯子的底面积和水的高度是两种相关联的量吗?
为什么?
议一议:
两种量的变化有什么规律?
（随着学生回答,板书:
积一定）
教师提问:
这个300实际上就是什么?
（板书:
体积）
教师指着板书提问:
底面积、高和体积,怎样用式子表示它们的关系?
（板书:
底面积×高=体积）
2.拓展延伸。
出示表格,让学生根据题意口述填表。
每本张数
30
20
15
10
5
装订本数
10
15
20
30
60
总张数
（1）让学生观察上表,引导学生回答下列问题:
①表中有哪两种量?
（板书:
每本张数、装订本数）它们是相关联的量吗?
②装订的本数是怎样随着每本的张数变化的?
③表中的两种量有什么变化规律?
（2）学生讨论找出答案后,教师提问:
这个积300实际是什么?
（板书:
纸的总张数）
比较例2和拓展延伸练习,概括反比例的意义。
找出它们有什么相同点。
（学生互相讨论）
（3）教师引导学生明确:
在例2中,底面积是随着高的变化而变化,并且它们的积,也就是体积是一定的。
我们就说高和底面积是成反比例的。
（4）议一议:
在练习里,有哪两种量?
它们是不是相关联的量?
为什么?
师:
如果用字母x和y表示两种相关联的量,用k表示它们的积（一定）,反比例关系可以用一个什么样的式子表示?
〔板书:
xy=k（一定）〕
【设计意图:
借助学生已经掌握的正比例的意义,引导学生自主探究反比例的意义,并在拓展延伸中巩固、提高对本节知识点的掌握以及灵活应用所学知识】
师:
在本节课的学习中,你有哪些收获?
学生自由交流各自的收获、体会。
成反比例的量
1.正比例与反比例在研究意义的时候存在一定的共性,学生有了前面学习正比例的基础,这节课的学习较容易些。
2.对正、反比例意义的对比,加强了知识的内在联系。
通过区别不同的概念,巩固了知识。
练习使学生加深了对概念的理解。
3.从身边的现实生活中发掘素材,组织活动,让学生从活动中发现数学问题。
这就激发了学生学习数学的兴趣,激起了学生自主参与的积极性和主动性。
A类
1.成反比例的量应具备什么条件?
2.判断下面每题中的两个量是不是成反比例关系,并说明理由。
（1）路程一定,速度和时间。
（2）小明从家到学校,每分走的路程和所需时间。
（3
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