完整版几何模型一线三等角模型.docx

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完整版几何模型一线三等角模型

一线三等角模型

一.一线三等角观点

“一线三等角〞是一个常有的相像模型，指的是有三个等角的极点在同一条直线

上组成的相像图形，这个角能够是直角，也能够是锐角或钝角。

不一样地域对此有

不一样的称号，“K形图〞，“三垂直〞，“弦图〞等，以下称为“一线三等角〞。

二.一线三等角的分类

全等篇

DD

C

D

C

C

APB

AP

B

APB

同侧

锐角直角钝角

D

D

D

AA

P

B

B

P

A

B

P

CCC

异侧

相像篇

D

D

C

D

C

C

APB

AP

B

APB

同侧

锐角直角钝角

DD

D

A

P

B

A

P

B

A

P

B

CC

C

异侧

三、“一线三等角〞的性质

1.一般状况下，如图3-1，由∠1=∠2=∠3，易得△AEC∽△BDE.

2.当等角所对的边相等时，那么两个三角形全等.如图3-1，假定CE=ED，那么△AEC≌△BDE.

3.中点型“一线三等角〞

如图3-2，当∠1=∠2=∠3，且D是BC中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE.

4.“中点型一线三等角“的变式（认识）

如图3-3，当∠1=∠2且

造“一线三等角〞.

1

BOC90BAC时，点O是△ABC的心里.能够考虑构

2

如图3-4“中点型一线三等角〞往常与三角形的心里或旁心有关，

1

BOC90BAC这是心里的性质，反之未必是心里.

2

在图3-4〔右图〕中，假如延伸BE与CF，交于点P，那么点D是△PEF的旁心.

5.“一线三等角〞的各样变式〔图3-5，以等腰三角形为例进行说明〕

图3-5

其实这个第4图，延伸DC反而好理解.相当于双侧型的，不延伸理解，认为

是一种新式的，同侧穿越型？

不论怎么变，都是由三等角确立相像三角形来进

行解题

四、“一线三等角〞的应用

1.“一线三等角〞应用的三种状况.

a.图形中已经存在“一线三等角〞，直策应用模型解题；

b.图形中存在“一线二等角〞，不上“一等角〞结构模型解题；

c.图形中只有直线上一个角，不上“二等角〞结构模型解题.

领会：

感觉最后一种状况出现比较多，特别是压轴题中，常常会有一个特别角

或指导该角的三角函数值时，我常常结构“一线三等角〞来解题.

2.在定边对定角问题中，结构一线三等角是根本手段，特别是直角坐标系中的

张角问题，在x轴或y轴〔也能够是平行于x轴或y轴的直线〕上结构一

线三等角解决问题更是重要的手段.

3.结构一线三等角的步骤：

找角、定线、构相像

坐标系中，要讲究“线〞的特别性

如图3-6，线上有一特别角，就考虑结构同侧型一线三等角

自然只加这两条线往常是不够的，为了利用这个特别角导线段的关系，过C、D

两点作直线l的垂线是必不行少的。

两条垂线往常状况下是为了“量化〞的需

要。

上边就是作协助线的一般程序，看起来线条比较多，好多老师都认为一下子不

简单掌握.

解题示范

例1以下列图，一次函数yx4与坐标轴分别交于A、B两点，点P是线段AB上

一个动点〔不包含A、B两头点〕，C是线段OB上一点，∠OPC=45°，假定△OPC是等腰

三角形,求点P的坐标.

例2以下列图，四边形ABCD中，∠C=90°,∠ABD=∠DBC=22.5°，AE⊥BC于E，∠

ADE=67.5°，AB=6,那么CE=.

例3如图，四边形ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°，∠ACD=45°，AB=3，AD=5.求BC

的长.

例4如图，△ABC中,∠BAC=45°，AD⊥BC，BD=2，CD=3,求AD的长.

一线三等角，补形最重要，内构勤思虑，外构更精妙.找出相像形，

比率不可以少.巧设未知数，妙解方程好

仍是能够纵横斜三个方向结构，坐标系中一般考虑纵横两个方向结构

例5如图，在△ABC中，∠BAC=13°5，AC=2AB,AD⊥AC交BC于点D，假定AD=2，

求△ABC的面积

自然有45°或135°等特别角，据此也能够结构不一样的一线三等角

一线三等角全部的结构都是把分居定角双侧的数据集中在一同，是相像集中条件的一种.

大练身手：

例7：

在平面直角坐标系中，点A〔1，0〕，B〔0，3〕，C〔－3，0〕，D是线段AB上一

点，CD交y轴于E，且S

△BCE＝2S

△AOB．

〔1〕求直线AB的分析式；

〔2〕求点D的坐标，猜想线段CE与线段AB的数目关系和地点关系，并说明原因；

〔3〕假定F为射线CD上一点，且∠DBF＝45°，求点F的坐标．

y

B

D

E

COAx

2

例8：

如图，直线y＝x＋2与y轴交于点C，与抛物线y＝ax

交于A、B两点〔A在B的左边〕，

BC＝2AC，点P是抛物线上一点．

〔1〕求抛物线的函数表达式；

〔2〕假定点P在直线AB的下方，求点P到直线AB的距离的最大值；

〔3〕假定点P在直线AB的上方，且∠BPC＝45°，求全部知足条件的点P的坐标．

y

B

C

A

Ox

练1：

.如图，抛物线的极点为C〔－1，－1〕，且经过点A、点B和坐标原点O，点B的横坐

标为－3．

〔1〕求抛物线的分析式；

〔2〕假定点D为抛物线上的一点，且△BOD的面积等于△BOC的面积，请直接写出点D的坐

标；

〔3〕假定点E的坐标为〔0，2〕，点P是线段BC上的一个动点，能否存在点P，使得∠OPE

＝45°？

假定存在，求出点P的坐标；假定不存在，请说明原因．

y

B

E

AOx

C

课后作业：

如图，点A（0,-1）,B（3,0）,P为直线y=-x+5上一点，假定∠APB=45°，求点P的坐标

在四边形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，∠ACD=45°，AB=3,AD=4,求AC的长.

如图，正方形ABCD中，点E,F,G分别在AB,BC,CD上，△EFG为等边三角形，求证：

BE+GC=3BC

如图，△ABC:

△DBA,且AC=2BC,求证:

CD=2AB.

如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA＝55，求BD的长

如图，点A是反比率〔X＞0〕图形上一点，点B是X轴正半轴上一点，点C的坐标为〔0，

2〕，点△ABC是等边三角形时，求点A的坐标.

如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4与x轴交于A、B两点〔点A在点B的左边〕，与y轴交于点C，

直线l：

y＝－

1

2x＋m经过点A，与抛物线交于另一点D〔5，－

7

2

〕，点P是直线l上方的抛

物线上的动点，连结PC、PD．

〔1〕求抛物线的分析式；

〔2〕当△PCD为直角三角形时，求点P的坐标；

〔3〕设△PCD的面积为S，请你研究：

使S的值为整数的点P共有几个，说明原因．

y

C

l

AOBx

D

4222

yx

1.如图1,直线y=kx与抛物线交于点A〔3，6〕.

273

〔1〕求直线y=kx的分析式和线段OA的长度；

〔2〕点P为抛物线第一象限内的动点,过点P作直线PM,交x轴于点M〔点M、O不

重合〕,交直线OA于点Q,再过点Q作直线PM的垂线,交y轴于点N.尝试究：

线

段QM与线段QN的长度之比能否为定值？

假如是,求出这个定值,假如不是,说明

原因；

〔3〕如图2,假定点B为抛物线上对称轴右边的点,点E在线段OA上〔与点O、A不重

合〕,点D〔m，0〕是x轴正半轴上的动点,且知足∠BAE=∠BED=∠AOD.持续探

究：

m在什么范围时,切合条件的E点的个数分别是1个、2个？

yy

P

A

A

EQ

N

B

xODx

OM

图1图2

2

如图，直线AC：

y＝－2x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax＋bx＋c〔a＞0〕

过A、C两点，与x轴交于另一点B〔B在A的右边〕，且△OBC∽△OCA．

〔1〕求抛物线的分析式；

〔2〕点D为抛物线上一点，∠DCA＝45°，求点D的坐标；

yy

CC

OABxOABx

备用图