复习教案初二整式的乘法与因式分解学生版.docx
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复习教案初二整式的乘法与因式分解学生版
教学目标
1、掌握幂运算、整式的乘法、乘法公式、因式分解的概念和意义
2、认识因式分解与整式乘法的相互关系——相反变形，并会运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。
教学重难点
教学重点：
乘法公式的运用；因式分解的方法
教学难点：
运用因式分解与整式乘法的相互关系，寻求因式分解的方法。
整式的乘法与因式分解章节复习
一、上节回顾
二、、
三、本节内容
知识点一：
幂运算
1.同底数幂相乘
同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即am·an=am+n（m，n是正整数）
当三个或三个以上同底数幂相乘时，仍适用法则，am·an·ap=am+n+p（m，n，p都是正整数）.
2.幂的乘方
幂的乘方，底数不变，指数相乘，即（am）n=anm（m，n都是正整数）
（1）不要把幂的乘方性质与同底数幂的乘法性质混淆，幂的乘方运算是转化为指数的乘法运算（底数不变）；同底数幂的乘法，是转化为指数的加法运算（底数不变）.
|
（2）这个性质可逆用，即anm=（am）n=（an）m
3.积的乘方
积的乘方，等于把积中的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即（ab）n=an·bn（n为正整数）.这个性质适用于三个或三个以上因式的积的乘方.
（1）这个性质可逆用，即=（ab）n，即指数相同的幂相乘，可先把底数相乘，再求积的同次幂.
（2）进行积的乘方运算时，不要出现漏掉一些因式乘方的错误，如（-2ab2）3≠-2a3b6等.
【例1-1】下列算式中，结果等于a6的是（ ）
A．a4+a2B．（a2）2•a2C．a2•a3D．a2+a2+a2
^
举一反三：
1.下列算式中，结果等于x6的是（ ）
A．x2•x2•x2B．x2+x2+x2C．x2•x3D．x4+x2
2、若2x+3y=4，则4x•8y的值为
3、若a3•am=a9，则m=
…
知识点二：
整式的乘法
1.单项式乘单项式：
系数乘以系数作为积中的系数，所有不同因式都作为积中的因式，相同字母或相同因式的指数由该字母或因式的指数和为它们的指数.
（1）对于只在一个单项式中出现的字母，应连同它的指数-起写在积里，注意不能漏掉这部分因式.
（2）单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按“先算乘方，再算乘法”的顺序进行.
（3）单项式乘以单项式，结果仍是单项式.对于字母因式的幂的底数是多项式形式的，应将其视为一个整体来运算.三个或三个以上的单项式相乘，法则仍适用.
2.单项式乘多项式：
单项式与多项式的乘法法则：
单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
单项式与多项式的积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.
3.多项式乘以多项式
）
多项式乘以多项式的法则：
（a+b）（m+n）=ma+mb+na+nb.这就是说:
多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
注意：
（1）运算时要按一定的顺序进行，防止漏项，积的项数在没有合并同类项以前，应是两个多项式的项数的积.
（2）运算时要注意积的符号.
（3）运算结果有同类项的要合并同类项，并按某个字母的升幂或降幂排列.
【例2-1】计算x（y-z）-y（z-x）+z（x-y），结果正确的是（ ）
A．2xy-2yzB．-2yzC．xy-2yzD．2xy-xz
举一反三：
1.计算（-2x+1）（-3x2）的结果为（ ）
、
A．6x3+1B．6x3-3C．6x3-3x2D．6x3+3x2
2.如果（x-3）（2x+4）=2x2-mx+n，那么m、n的值分别是（ ）
A．2，12B．-2，12C．2，-12D．-2，-12
3.若（x-2）（x2+ax+b）的积中不含x的二次项和一次项，则a和b的值（ ）
A．a=0；b=2B．a=2；b=0C．a=-1；b=2D．a=2；b=4
知识点三：
乘法公式
—
1、平方差公式：
2、完全平方公式：
【例3-1】1．若
是一个完全平方式，则常数k的值为（）
A．6B．-6C．±6D．无法确定
【例3-2】下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（）
A．（a+b）（b+a）B．（－a+b）（a－b）
C．（
a+b）（b－
a）D．（a2－b）（b2+a）
…
举一反三：
1、下列计算正确的是（）
A．
B．
C．
D．
2．
等于（）
￥
A．
B．
C．
D．
3．在①
；②
；③
；
④
中，运算正确的是（）
A.②①B.②③C.②④D.③④
4.若
，那么代数式M应是（）
A．
B．
C．
D．
知识点四：
因式分解
定义：
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
…
【说明】
（1）因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆的运算.
（2）因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验.
注意三原则
1分解要彻底
2最后结果只有小括号
3最后结果中多项式首项系数为正（例如：
-3x^2+x=-x（3x-1））
基本方法
⑴提公因式法
—
各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
提公因式法基本步骤：
（1）找出公因式；
（2）提公因式并确定另一个因式：
①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；
②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；
③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。
⑵公式法
;
如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。
平方差公式：
a2-b2=（a+b）（a-b）；
完全平方公式：
a2±2ab＋b2＝（a±b）2；
⑶分组分解法
能分组分解的方程有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：
二二分法，三一分法。
比如：
ax+ay+bx+by=a（x+y）+b（x+y）=（a+b）（x+y）
⑷十字相乘法
x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）kx2+mx+n=（ax+b）（cx+d）．
?
【例4-1】把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x-3），则a、b的值分别是（）
A．a=2，b=3B．a=-2，b=-3
C．a=-2，b=3D．a=2，b=-3
【例4-2】下列因式分解正确的是（）
+n2＝（m+n）（m﹣n）+2x﹣1＝（x﹣1）2
﹣a＝a（a﹣1）+2a+1＝a（a+2）+1
-
举一反三：
1.因式分解x﹣4x3的最后结果是（ ）
A．x（1﹣2x）2B．x（2x﹣1）（2x+1）C．x（1﹣2x）（2x+1）D．x（1﹣4x2）
2.设b＞0，a2﹣2ab+c2=0，bc＞a2，则实数a、b、c的大小关系是（ ）
A．b＞c＞aB．c＞a＞bC．a＞b＞cD．b＞a＞c
.
3.若（x+2）是多项式4x2+5x+m的一个因式，则m等于（）
A．–6B．6C．–9D．9
3、课堂练习
1．已知a，b，c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝11，则a﹣c等于（ ）
A．﹣1B．﹣1或﹣11C．1D．1或11
2．已知d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，则当x2﹣2x﹣5＝0时，d的值为（ ）
A．25B．20C．15D．10
3．已知三个实数a，b，c满足a﹣2b+c＝0，a+2b+c＜0，则（ ）
A．b＞0，b2﹣ac≤0B．b＜0，b2﹣ac≤0
C．b＞0，b2﹣ac≥0D．b＜0，b2﹣ac≥0
4．已知a＝
，b＝
，c＝
，则代数式2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）的值是 ．
}
5．若a﹣b＝3，b﹣c＝2，那么a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝ ．
6．已知x2﹣2x﹣1＝0，则3x2﹣6x＝ ；则2x3﹣7x2+4x﹣2019＝ ．
7．已知x2﹣2x﹣3＝0，则x3﹣x2﹣5x+12＝ ．
8．若a＝2009x+2007，b＝2009x+2008，c＝2009x+2009，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值为 ．
9．已知2x2﹣ax﹣2＝0，则下列结论中正确的是 ．
①其中x的值不可能为0；②当x＝2时，
；③若a＝1时，
；
④若a＝2时，x3﹣4x2+2x＝﹣3．
10．设n为整数，则
（2n+1）2﹣一定能被（ ）
—
A．2整除B．4整除C．6整除D．8整除
11．248﹣1能被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（ ）
A．61和63B．63和65C．65和67D．64和67
12．对于算式20183﹣2018，下列说法错误的是（ ）
A．能被2016整除B．能被2017整除
C．能被2018整除D．能被2019整除
；
13．如图①，是一个棱长为a的正方体中挖去一个棱长为b的小正方体（a＞b）
（1）如图①所示的几何体的体积是 ．
（2）用另一种方法表示图①的体积：
把图①分成如图②所示的三块长方体，将这三块长方体的体积相加后得到的多项式进行因式分解．比较这两种方法，可以得出一个代数恒等式 ．
14．若a2﹣b﹣1＝0，且（a2﹣1）（b+2）＜a2b．
（Ⅰ）求b的取值范围；（Ⅱ）若a4﹣2b﹣2＝0，求b的值．
:
15．已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，则△ABC的形状是 三角形．
16．△ABC的两边a，b满足a4+b4﹣2a2b2＝0，且∠A＝60°，则△ABC的形状是 三角形．
17．阅读下列文字：
我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，
》
例如由图1可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式 ；
（2）利用
（1）所得结论，解决下面的问题：
已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；
（3）图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片及若干个边长分别为a、b的长方形纸片，①请按要求利用所给的纸片拼出一个几何图形，并画在图3所给的方框中，要求所拼出的几何图形的面积为2a2+5ab+2b2，
②再利用另一种计算面积的方法，可将多项式2a2+5ab+2b2分解因式．即2a2+5ab+2b2＝ ．
【
18．阅读理解
材料一：
若一个正整数的各个数位上的数字之和能被3整除，则这个数就能被3整除；反之也能够成立．
材料二：
两位数p和三位数q，它们各个数位上的数字都不为0，将数p任意一个数位上的数字作为一个新的两位数的十位数字，将数q的任意一个数位上的数字作为该新数的两位数的个位数字，技照这种方式产生的所有新的两位数的和记为T（p，q）例如：
T（12，123）＝11+12+13+21+22+23＝102，T（33，456）＝34+35+36+34+35+36＝210．
（1）填空T（15，345）＝ ．
（2）求证：
当q能够被3整除时T（p，q）一定能够被6整除．
（3）若一个两位数m＝2la+b，一个三位数n＝12la+b+199，（其中1≤a≤4，1≤b≤5，a，b为整数），交换三位数n的百位数字和个位数字得到新数n′，当m的个位数字的3倍与n′的和能被11整除时，称这样的两个数m和n为“和谐数对”，求所有和谐数对中T（m，n）的最大值．
—
四、课堂小结
重难点：
多项式乘多项式；乘法公式；因式分解的方法。
~
五、课后巩固
1、已知am=2，an=4，求下列各式的值，则am+n = ；a3m+2n = 。
2、已知2a=m，32b=n，a，b为正整数，23a+10b的值=．
3、已知9n+1-32n=72，n的值=．
:
4、已知an=-1，b2n=3，（-a2b）4n的值=．
5.如果（x+a）（x+b）的结果中不含x的一次项，那么a、b满足（ ）
A．a=bB．a=0C．a=-bD．b=0
6.已知m+n=2，mn=-2，则（1-m）（1-n）的值为（ ）
A．-3B．-1C．1D．5
—
7.设M=（x-3）（x-7），N=（x-2）（x-8），则M与N的关系为（ ）
A．M＜NB．M＞NC．M=ND．不能确定
8．下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（）
A．
B．
C．
D．
9．在下列各式中，运算结果是
的是（）
A、
B、
;
C、
D、
10．在①
；②
；③
；
④
中，运算正确的是（）
A、①②B、②③C、③④D、②④
11．已知496﹣1可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（ ）
A．61，63B．63，65C．65，67D．63，64
12．对于算式20182﹣2018，下列说法不正确的是（ ）
A．能被2017整除B．能被2018整除C．能被2019整除D．不能被2016整除
13．对于任何整数m，多项式（4m+5）2﹣9都能（ ）
A．被8整除B．被m整除C．被（m﹣1）整除D．被（2m﹣1）整除
14．a，b，c是△ABC的三边，若（a2+b2）（a﹣b）＝c2（a﹣b），则△ABC的形状是 三角形．
15．定义：
若数p可以表示成P＝x2+y2﹣xy（x，y为自然数）的形式，则称P为“希尔伯特”数．
例如：
3＝22+11﹣2×1，39＝72+52﹣7×5，147＝132+112﹣13×11…
所以3，39，147是“希尔伯特”数．
（1）请写出两个10以内的“希尔伯特”数．
（2）像39，147这样的“希尔伯特”数都是可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，试说明所有用连续两个奇数表达出的“希尔伯特”数一定被4除余3．
（3）已知两个“希尔伯特”数，它们都可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，且它们的差是224，求这两个“希尔伯特”数．
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