结构动力学第三章单自由度体系的振动.docx

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结构动力学第三章单自由度体系的振动

第3章单自由度体系的振动

在结构动力学中，单自由度体系的振动是最简单的振动，但这部分内容又十分重要，因为从中可得到有关振动理论的一些最基本的概念和分析问题的方法，同时它也适用于更为复杂的振动问题，是分析多自由度体系振动问题的基础，因此搞清楚了单自由度体系的振动，将有助于我们提高分析和解决其他各种振动问题的能力。

另外在实际工程中，确实有许多振动问题，可简化为单自由度问题，或近似地用单自由度理论去分析解决。

本章按有阻尼和无阻尼体系研究自由振动，强迫振动，对弯曲振动做详细讨论，简要陈述剪切振动和旋转振动。

单自由度体系可按如下情况对振动进行分类：

预备知识

①齐次微分方程：

的通解：

，其中:

微分常数，由初始条件确定。

②

③

④单质点体系一般振动形式：

去掉阻尼和外力影响，即可得到无阻尼体系自由振动。

⑤的解为的通解，加上的特解组成。

通解：

特解：

解为通解特解：

⑥如果杆件的刚度为，则两端刚结的杆的侧移刚度为；一端铰结的杆的侧移刚度为。

§3.1无阻尼体系自由振动

图3.1（a）所示为无阻尼、单自由度的悬臂梁体系，取出质量隔离体，在其上施加惯性力，如图3.1（b）所示，由得：

（3.1）

设：

（3.2）

式中:

——质点振动圆频率

（a）（b）

图3.1无阻尼单自由度体系

将式（3.2）代入式（3.1），得：

整理得：

（3.3）

式（3.3）为齐次微分方程，其通解为:

（3.4a）

式中，:

任意常数，由初始条件确定。

任一瞬时的速度：

（3.4b）

设，时：

（3.5a）

（3.5b）

将式（3.5a）代入式（3.4a）则：

（3.6）

将式（3.5b）代入式（3.4b）则：

（3.7）将式（3.6）和（3.7）代入（3.4a），得

（3.8）则本问题的解为:

位移：

（3.8）

速度：

（3.9）

式（3.8）还可以表示为：

（3.10a）

令：

（3.10b）

代入（3.10a）得到一种更为简练表达方式：

（3.11a）

即：

（3.11b）

绘制成图形，得到图3.2所示的关系正弦曲线。

图3.2无阻尼单自由度体系振动位移-时间曲线

由图3.2可要看出，初相位，结构振动的位移是按正弦（或余弦）规律在静力平衡位置附近，上、下变化着，凡是满足这种关系的振动，称为简谐振动，简称谐振动。

下面简要介绍和谐振动相关的一些物理量

1.周期和频率

结构重复出现同一种运动状态（包括位移、速度等）的最短时间称之为周期。

用符号表示，单位为（）。

单位时间振动次数称之为频率。

用字母表示，单位为（），它与周期的关系为：

（）（3.12a）

如果时间单位取（），此时的振动次数称为圆频率，常用符号表示，其单位是因为其单位与角速度的单位相同，因而也称为角频率。

角频率与频率及周期的关系为：

（3.12b）

工程上还常用内振动的次数表示频率，称工程频率，用字母表示，工程频率与频率的关系为：

（3.12c）

下面给出圆频率常用计算公式：

（3.12d）

式中：

——重力加速度；

——在质量上沿振动方向施加数值为的荷载时，质量沿振动方向所产生的静位移。

引入后，计算上带来很多方便：

（以计算）（3.12e）

由上述分析可以看出无阻尼自由振动特点：

刚度越大，柔度越小，频率（或）就越大，亦即振动越快；反之，质量越大，亦即运动惯性（）越大，振动频率（或）就越小，亦即振动越慢，这是一个十分重要的特性，它表明一个结构体系的自由振动频率值的大小与该结构体系的外部条件无关，只与反映该结构的内部固有属性的质量、刚度有关，故通常称为自振频率或固有频率。

注意：

①自振周期（自振频率）只与结构的质量和刚度（或柔度）有关，与外界干扰因素无关，（干扰力的大小只能影响振幅，是初始条件），改变结构的自振周期，只有从改变结构的质量或刚度入手；

②（或）是结构动力特性的重要数量标志，两个外表相似的结构，如（或）不同，则动力性能相差很大；两个外表相差很大的结构，如（或）相同，则动力性能基本一致。

例3.1图示各梁常数,跨中有集中质量,忽略梁本身的质量,求各梁的自振周期和自振频率。

解：

本题用柔度法比较方便。

①先求出各梁的、、，再进行比较。

各图在单位荷载作用下的弯矩如图3.3所示。

（a）

（b）

（c）

（b）

（c）

（a）

图3.3

②比较频率和周期

:

:

=1:

1.512:

2

:

:

=1:

0.66:

0.52

由此，可以得出如下结论：

结论：

结构约束越强,其刚度越大,刚度越大,其自振动频率也越大

2.振幅和相位

振动质量离开平衡位置的最大位移，称为振幅，用字母表示，振幅值与结构运动前外界向该结构提供的，促使它发生运动的初始条件有关，即振幅值与初始位移及初始速度有关，，它反映外界赋予结构的能量的大小，在无阻尼自由振动中，振幅不随时间而变化。

相位是确定振动结构运动状态的重要参数，角度称为振动质量的相位，它表示结构任一时刻的运动状态，而是时的相位，称为初相位，它表示结构开始振动时的运动状态。

例3.2已知钢悬臂梁长度，在悬臂端安装有质量电机，如图3.4（a）所示。

钢梁弹性模量，横截面惯性矩，梁自重与电动机重量相比较，可略去不计。

求该梁的自振圆频率，工程频率和周期。

（a）（b）

图3.4

解：

由题意可知，该结构具有一个自由度。

欲由求出，需先求出刚度。

而，可以利用结构力学中的图乘法求，此处为单位力作用下，结构发生的位移。

为此绘出单位力作用下的弯矩如图3.4（b）所示。

工程频率：

周期：

例3.3已知一简支钢梁，如图3.5（a）所示，跨度，弹性模量，惯性矩，在跨中有一重物作用，略去钢梁本身质量不计，振动的初始条件为：

初位移正好等于，初速度。

试求该梁的固有圆频率，振幅及初相，总位移。

（a）

（b）

图3.5

解：

该结构具有一个自由度

①

由图3.5（b）所示的单位弯矩图，利用图乘法得：

则：

②振幅

③初相位

④结构总位移为：

当质量沿着杆件轴向作来回振动时，就形成了轴向振动，如图3.6所示。

（a）（b）

图3.6轴向振动

取出质量为隔离体，见图3.6（b），则由轴向（向）的平衡条件得：

可以看出，运动方程与上面弯曲振动公式的形式是一样的，但的含义与弯曲振动略有不同。

弯曲振动中的是垂直于杆轴线方向移动单位位移所需的力，而轴向振动中的则为沿着轴向方向移动单位位移所需的力，对于图3.6（a）所示的体系。

既然运动方程与弯曲振动方程类似，则解答有关振动特性均如上所述，此处不再重复。

（a）（b）

图3.7扭转振动

当圆盘绕杆轴做扭转运动时，则产生扭转振动，如图3.7（a）所示，设扭转角为，质量盘绕杆轴线的质量惯性矩为，单位扭转角时的扭矩（扭转刚度）为，则取出质量盘为隔离体，如图3.7（b）所示，由得：

如果把弯曲振动中的改成，改成，则扭转振动在形式上与弯曲振动方程是相似的，因而解答有关的振动特性与弯曲振动相仿，可直接套用。

§3.2有阻尼体系的自由振动

无阻尼体系自由振动总是以动能和势能交换为特征，并没有考虑结构体系能量的耗散，即结构体系在振动过程中总能量保持不变，因而与能量大小密切相关的振幅也始终不变，永不衰减。

这样运动一旦发生便永不停止，这在现实中是不可能的。

试验表明，任意振动过程，随时间的推移，振幅总是逐渐衰减的，最终振幅消失，质量静止在静力平衡的位置上，像这种振幅随时间而减少的振动称为有阻尼振动。

在实际运动过程中，总伴随不同类型的阻尼力，产生这种阻尼力的因素可归结为两个方面：

一是外部介质的摩擦阻尼力，二是结构内部变形时的内耗。

阻尼力的性质比较复杂，目前还是振动力学中尚未很好解决的问题之一。

为了进行实际的有阻尼结构的振动计算，通常对阻尼力作了很多假定，目前除了两种应用较多的线性阻尼理论以外，其余几乎都引起非线性的力学问题，线性阻尼理论之一的粘滞阻尼理论应用比较广泛，下面简单的对其进行介绍。

粘滞阻尼理论是1892年由W.Voight提出的，他在1865年W.Thomson对衰减运动观察的基础上进行完善，认定固体材料的内摩阻力与粘滞流体相似，即假定阻尼力与变形速度成正比，但方向与速度方向相反（），虽然由该理论求得的体系一周振动耗散的能量公式与实际试验不符合，但由于运用它得到的运动方程是线性的，计算十分方便，而实际结构的阻尼又是多种因素引起的，机理十分复杂，因而如果把Voight的阻尼系数理解为实际结构实测结果的综合和概述，则可得到较为准确的结果，所以该阻尼理论得到十分广泛的应用。

（a）（b）

图3.8阻尼自由振动

考虑阻尼时，自由振动的质量上将存在有三个力，即惯性力、阻尼力和弹性恢复力，如图3.8（b）所示。

由质量的平衡条件得：

（3.13a）

设:

上式变成:

（3.13b）

设（3.13b）的解为：

（3.13c）

则：

代入方程（3.13b）得：

（3.13d）

式（3.13d）称为特征方程，特征方程的两个根：

（3.14）

讨论：

1.当时，；

注意：

由于是体系由衰减振动转为不发生振动的纯衰减运动的分界线，如图3.9所示，此时的阻尼系数称为临界阻尼系数，即，故常称为临界阻尼比，简称阻尼比。

图3.9

2.，即小阻尼情况；

（3.15）

令，含有阻尼的自振频率为：

（3.16）

把式（3.16）代入（3.15），得：

（3.17）

把（3.17）代入式（3.13c）得到通解为：

（3.18）

积分常数由初始条件和确定：

（3.19）

得到：

（3.20a）

或：

（3.20b）

式中：

——有阻尼体系的初相位。

上式表达了位移随时间的变化规律，绘在图3.10中，前面曾提到，阻尼的存在大大的改变了振动过程的面貌。

现在我们将根据通解（3.20a）并结合图3.10来进一步分析阻尼究竟是如何改变振动过程的，它与无阻尼自由振动相比较，又有那些不同的特征。

无阻尼自由振动的通解：

有阻尼振幅：

（3.21）

有阻尼自振频率：

（3.22）

有阻尼自振周期：

（3.23）

图3.10有阻尼自由振动的位移-时间曲线

①振幅衰减

由式（3.21）可知，有阻尼自由振动的振幅为，振幅是按指数的规律迅速衰减的，如图3.10所示，对于每个一个周期振幅的衰减情况，可用两相邻振幅之比的振幅衰减率来表示。

设某时刻的振幅：

（3.24a）

经过一个周期后的时刻为，此时振幅为：

（3.24b）

则：

（3.24c）

所以，振幅衰减率是一个小于1的常数。

有时也用阻尼的对数递减量来表示振幅衰减：

（3.24d）

由此可见，阻尼造成振幅不断衰减，结构在振动过程中为了克服阻力而做功，使初始时刻外界赋予结构的能量逐渐消耗，这是阻尼力给振动现象带来的一个质的变化。

②频率下降

由式（3.22）可知，所以阻尼使结构的自振频率变小，也即使得振动的周期变长。

这是不难理解的。

因为阻尼始终阻碍振动的进行，从而使质量往返一次的时间变长。

考虑实际工程中一般阻尼比（一般混凝土结构、钢结构），当阻尼比时，，认为，对结构的自振频率影响极微。

因此，在一般计算中可以忽略阻尼对自振频率的影响，取。

但阻尼对振幅的影响则不可忽视。

注意：

无论是有阻尼体系还是无阻尼体系，结构的自振频率是结构的固有特性，与外因无关。

3.时：

大阻尼情况下，方程通解为：

（3.25）

其中：

（3.26）

注意到随增大单调下降，这时式（3.25）描述的运动已没有振