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中考数学三角形试题归类(含答案)
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中考数学三角形试题归类(含答案)
选择题
1.(天津3分)sin45的值等于
(A)(B)(C)(D)1
【答案】B。
【考点】特殊角三角函数。
【分析】利用特殊角三角函数的定义,直接得出结果。
2.(河北省3分)如图,在△ABC中,C=90,BC=6,D,E分别在AB、AC上,将△ABC沿DE折叠,使点A落在点A处,若A为CE的中点,则折痕DE的长为
A、B、2C、3D、4
【答案】B。
【考点】翻折变换(折叠问题),相似三角形的判定和性质。
【分析】∵△ABC沿DE折叠,使点A落在点A处,EDA=EDA=90,AE=AE,
△ACB∽△AED。
。
又∵A为CE的中点,AE=AE=AC。
。
ED=2。
故选B。
3.(山西省2分)如图,△ABC中,AB=AC,点D、E分别是边AB、AC的中点,点G、F在BC边上,四边形DEFG是正方形.若DE=2cm,则AC的长为
A.cmB.4cmC.cmD.cm
【答案】D。
【考点】等腰三角形的性质,三角形中位线定理,正方形的性质,勾股定理。
【分析】根据三角形的中位线定理可得出BC=4,由AB=AC,可证明BG=CF=1,由勾股定理可求出CE=,即可得出AC=2。
故选D。
4.(内蒙古呼和浩特3分)如果等腰三角形两边长是6cm和3cm,那么它的周长是
A、9cmB、12cmC、15cm或12cmD、15cm
【答案】D。
【考点】等腰三角形的性质,三角形三边关系。
【分析】求等腰三角形的周长,即要确定等腰三角形的腰与底的长,根据三角形三边关系知
当6为腰,3为底时,6﹣36+3,能构成等腰三角形,周长为6+6+3=15;
当3为腰,6为底时,3+3=6,不能构成三角形。
故选D。
5.(内蒙古呼伦贝尔3分)如图,△ACB≌△A1CB1,BCB1=30,则ACA1的度数为
A.20B.30C.35D.40
【答案】B。
【考点】全等三角形的性质。
【分析】根据全等三角形对应角相等的性质,得ACB=A1CB1,所以ACB-BCA1=A1CB1-BCA1,即ACA1=BCB1=35。
故选B。
3.填空题
1.(山西省3分)如图,已知AB=12;ABBC于B,ABAD于A,AD=5,BC=10.点E是CD的中点,则AE的长是▲。
【答案】。
【考点】平行的性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理。
【分析】过点E作EGAB,垂足为点G,AB与DC交于点F,则DA∥GE∥BC。
∵点E是CD的中点,AB=12,根据平行的性质,得AG=6。
∵DA∥BC,△ADF∽△BCF。
。
∵AB=12,即BF=12-AF。
。
又∵AD=5,BC=10,,解得,AF=4,FB=8。
FG=6-4=2。
∵GE∥BC,△FGE∽△FBC。
,即,解得,GE=。
在Rt△AGE中,由勾股定理,得AE=。
2.(内蒙古巴彦淖尔、赤峰3分)如图,AD是△ABC的中线,ADC=60,BC=6,把△ABC沿直线AD折叠,点C落在C处,连接BC,那么BC的长为▲.
【答案】3。
【考点】翻折变换(折叠问题),轴对称的性质,平角定义,等边三角形的判定与性质。
【分析】根据题意:
BC=6,D为BC的中点;故BD=DC=3。
由轴对称的性质可得:
ADC=ADC=60,
DC=DC=2,BDC=60。
故△BDC为等边三角形,故BC=3。
3.(内蒙古巴彦淖尔、赤峰3分)如图,EF是△ABC的中位线,将△AEF沿AB方向平移到△EBD的位置,点D在BC上,已知△AEF的面积为5,则图中阴影部分的面积为▲.
【答案】10。
【考点】三角形中位线定理,相似三角形的判定和性质,平移的性质。
【分析】∵EF是△ABC的中位线,EF∥BC,△AEF∽△ABC。
EF:
BC=1:
2,S△AEF:
S△ABC=1:
4。
∵△AEF的面积为5,S△ABC=20。
∵将△AEF沿AB方向平移到△EBD的位置,S△EBD=5。
图中阴影部分的面积为:
S△ABC﹣S△EBD﹣S△AEF=20﹣5﹣5=10。
4.(内蒙古包头3分)如图,△ABD与△AEC都是等边三角形,ABAC,下列结论中:
①BE=DC;②BOD=60③△BOD∽△COE.正确的序号是▲.
【答案】①②。
【考点】等边三角形的性质,全等三角形的判定和性质,三角形的内角和定理,相似三角形的判定。
【分析】∵△ABD、△AEC都是等边三角形,
AD=AB,AE=AC,DAB=CAE=60。
DAC=BAC+60,BAE=BAC+60。
DAC=BAE。
△DAC≌△BAE(SAS)。
BE=DC。
【①正确】
ADC=ABE。
∵BOD+BDO+DBO=180,BOD=180﹣BDO﹣DBO=60。
【②正确】
∵由△DAC≌△BAE和ABAC,得AEB,OEC。
又∵60,60,OCE。
而DOB=EOC,△BOD和△COE不相似。
【③错误】
5.(内蒙古呼和浩特3分)如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,CE是BCD的平分线,且CEAB,E为垂足,BE=2AE,若四边形AECD的面积为1,则梯形ABCD的面积为▲.
【答案】。
【考点】角平分线和垂直的定义,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,等腰三角形的判定和性质,三角形的面积,梯形的面积,一元一次方程的应用。
【分析】延长BA与CD,交于F,
∵CE是BCD的平分线,BCE=FCE。
∵CEAB,BEC=FEC=90。
∵EC=EC,△BCE≌△FCE(ASA)。
BE=EF。
∵BE=2AE,BF=4AF。
又∵AD∥BC,△FAD∽△FBC。
。
设S△FAD=x,S△FBC=16x,S△BCE=S△FEC=8x,S四边形AECD=7x。
∵四边形AECD的面积为1,7x=1,x=。
梯形ABCD的面积为:
S△BCE+S四边形AECD=15x=。
6.(内蒙古乌兰察布4分)如图,在Rt△ABC中,ABC=90,AB=8cm,BC=6cm,分别以A,C为圆心,以的长为半径作圆,将Rt△ABC截去两个扇形,则剩余(阴影)部分的面积为▲cm(结果保留)
【答案】。
【考点】直角三角形两锐角的关系,勾股定理,扇形的面积。
【分析】由题意可知,阴影部分的面积为三角形面积减去两个扇形面积。
三角形面积为。
由勾股定理,得AC=10,圆半径为5。
∵在Rt△ABC中,ABC=90,C=90。
两个扇形的面积的和为半径5,圆心角90的扇形的面积,即四分之一圆的面积。
阴影部分的面积为cm。
7.(内蒙古乌兰察布4分)某厂家新开发的一种电动车如图,它的大灯A射出的光线AB,AC与地面MN所夹的锐角分别为8和10,大灯A与地面离地面的距离为lm则该车大灯照亮地面的宽度BC是▲m.(不考虑其它因素)
【答案】。
【考点】解直角三角形的应用,锐角三角函数定义。
【分析】过点A作ADBC,垂足为点D。
由锐角三角函数定义,得
BC=BD-CD=。
4.解答题
1.(北京5分)如图,点A、B、C、D在同一条直线上,BE∥DF,F,AB=FD.求证:
AE=FC.
【答案】证明:
∵BE∥DF,ABE=D。
在△ABC和△FDC中,
△ABC≌△FDC(ASA)。
AE=FC.
【考点】平行线的性质,全等三角形的判定和性质。
【分析】利用平行线同位角相等的性质可得ABE=D,由已知用ASA判定△ABC≌△FDC,再由全等三角形对应边相等的性质证得AE=FC。
2.(北京5分)如图,在△ABC,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E,点F在AC的延长线上,且CBF=CAB.
(1)求证:
直线BF是⊙O的切线;
(2)若AB=5,sinCBF=,求BC和BF的长.
【答案】解:
(1)证明:
连接AE。
∵AB是⊙O的直径,AEB=90。
2=90。
∵AB=AC,1=CAB。
∵CBF=CAB,CBF。
CBF+2=90。
即ABF=90。
∵AB是⊙O的直径,直线BF是⊙O的切线。
(2)过点C作CGAB于点G。
∵sinCBF=,CBF,sin1=。
∵AEB=90,AB=5,BE=ABsin1=。
∵AB=AC,AEB=90,BC=2BE=2。
在Rt△ABE中,由勾股定理得AE=2,sin2=,cos2=。
在Rt△CBG中,可求得GC=4,GB=2,AG=3。
∵GC∥BF,△AGC∽△BFA。
。
。
【考点】切线的判定和性质,勾股定理,圆周角定理,相似三角形的判定和性质,解直角三角形。
【分析】
(1)连接AE,利用直径所对的圆周角是直角,从而判定直角三角形,利用直角三角形两锐角相等得到直角,从而证明ABE=90。
(2)利用已知条件证得△AGC∽△BFA,利用对应边的比求得线段的长即可。
3.(北京5分)阅读下面材料:
小伟遇到这样一个问题,如图1,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC,BD相交于点O.若梯形ABCD的面积为1,试求以AC,BD,AD+BC的长度为三边长的三角形的面积.
小伟是这样思考的:
要想解决这个问题,首先应想办法移动这些分散的线段,构造一个三角形,再计算其面积即可.他先后尝试了翻折,旋转,平移的方法,发现通过平移可以解决这个问题.他的方法是过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E,得到的△BDE即是以AC,BD,AD+BC的长度为三边长的三角形(如图2).
参考小伟同学的思考问题的方法,解决下列问题:
如图3,△ABC的三条中线分别为AD,BE,CF.
(1)在图3中利用图形变换画出并指明以AD,BE,CF的长度为三边长的一个三角形(保留画图痕迹);
(2)若△ABC的面积为1,则以AD,BE,CF的长度为三边长的三角形的面积等于.
【答案】解:
△BDE的面积等于1。
(1)如图.以AD、BE、CF的长度为三边长的一个三角形是△CFP。
(2)连接EF,PE,则△CFP可公割成△PEF,△PCE和△EFC。
∵四边形BEPF是平行四边形,△PEF≌△BFE。
又∵E,F是AC,AB的中点,△BFE的底和高都是△ABC的一半。
△BFE的面积是△ABC的,即△PEF的面积是△ABC的。
同理,△PCE和△EFC的面积都是△ABC的。
以AD、BE、CF的长度为三边长的三角形的面积等于。
【考点】平移的性质,三角形的面积,尺规作图。
【分析】根据平移可知,△ADC≌△ECD,且由梯形的性质知△ADB与△ADC的面积相等,即△BDE的面积等于梯形ABCD的面积。
(1)分别过点F、C作BE、AD的平行线交于点P,得到的△CFP即是以AD、BE、CF的长度为三边长的一个三角形。
(2)由平移的性质可得对应线段平行且相等,对应角相等。
结合图形知以AD,BE,CF的长度为三边长的三角形的面积等于△ABC的面积的。
4.(天津8分)某校兴趣小组坐游轮拍摄海河两岸美景.如图,游轮出发点A与望海楼B的距离为300m.在一处测得望海校B位于A的北偏东30方向.游轮沿正北方向行驶一段时间后到达C.在C处测得望海楼B位于C的北偏东60方向.求此时游轮与望梅楼之间的距离BC(取l.73.结果保留整数).
【答案】解:
根据题意,AB=10,如图,过点B作BDAC交AC的延长线于点D。
在Rt△ADB中,∵BAD=300,。
在Rt△CDB中,。
答:
此时游轮与望梅楼之间的距离约为173m。
【考点】解直角三角形的应用。
【分析】要求BC的长,就要把它作为直角三角形的边,故辅助线过点B作BDAC交AC的延长线于点D,形成两个直角三角形,利用三角函数解直角三角形先求BD再求出BC。
5.(山西省7分)如图,某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度.他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30,朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处,测得树顶端D的仰角为60.已知A点的高度AB为2米,台阶AC的坡度为(即AB:
BC=),且B、C、E三点在同一条盲线上。
请根据以上杀件求出树DE的高度(测倾器的高度忽略不计).
【答案】解:
如图,过点A作AFDE于F,则四边形ABEF为矩形。
AF=BE,EF=AB=2。
设DE=x,
在Rt△CDE中,CE=,
在Rt△ABC中,∵AB:
BC=,AB=2,BC=。
在Rt△AFD中,DF=DE-EF=x-2,AF=。
∵AF=BE=BC+CE,,解得x=6。
答:
树DE的高度为6米。
【考点】解直角三角形的应用(仰角俯角、坡度坡角问题),锐角三角函数,特殊角的三角函数值。
。
【分析】通过构造直角三角形分别表示出BC和AF,得到有关的方程求解即可。
6.(山西省9分)如图
(1),Rt△ABC中,ACB=90,CDAB,垂足为D.AF平分CAB,交CD于点E,交CB于点F
(1)求证:
CE=CF.
(2)将图
(1)中的△ADE沿AB向右平移到△ADE的位置,使点E落在BC边上,其它条件不变,如图
(2)所示.试猜想:
BE与CF有怎样的数量关系?
请证明你的结论.
【答案】解:
(1)∵ACB=90,CFA=90CAF。
∵CDAB,CEF=AED=90EAD。
又∵AF平分CAB,CAF=EAD。
CFA=CEF。
CE=CF。
(2)BE与CF相等。
证明如下:
如图,过点E作EGAC于G。
又∵AF平分CAB,EDAB,ED=EG。
由平移的性质可知:
DE=DE,DE=GE。
∵ACB=90,ACD+DCB=90。
∵CDAB于D,DCB=90。
ACD=B。
在Rt△CEG与Rt△BED中,
∵GCE=B,CGE=BDE,CE=DE,△CEG≌△BED(AAS)。
CE=BE。
由
(1)CE=CF,得CF=BE。
【考点】三角形两锐角的关系,对顶角的性质,等腰三角形的判定,角平分线定义,平移的性质,矩形的性质,全等三角形的判定和性质。
【分析】
(1)要证CE=CF,根据等腰三角形等角对等边的判定,只要CFA=CEF即可。
由已知,知CFA与CAF互余,CEF=AED与EAD互余,而AF平分CAB。
从而CAF=EAD。
得证。
(2)由角的等量关系转换和平移的性质,根据AAS证得△CEG≌△BED,即可根据全等三角形的对应边相等的性质得到CE=BE。
由
(1)的结论即可得到CF=BE。
7.(内蒙古呼和浩特6分)在一次课外实践活动中,同学们要测量某公园人工湖两侧A,B两个凉亭之间的距离.现测得AC=30m,BC=70m,CAB=120,请计算A,B两个凉亭之间的距离.
【答案】解:
如图,作CDAB于点D.
在Rt△CDA中,∵AC=30,
CAD=180CAB=180-120=60,
CD=ACsinCAD=30sin60=15,
AD=ACcosCAD=30cos60=15。
在Rt△CDB中,∵BC=70,BD2=BC2﹣CD2,
BD=。
AB=BD﹣AD=65﹣15=50。
答:
A,B两个凉亭之间的距离为50m。
【考点】解直角三角形的应用(方向角问题),锐角三角函数,特殊角的三角函数值,勾股定理。
【分析】构造直角三角形,过C点作CDAB于点D,先在Rt△CDA中应用锐角三角函数求得AD、CD的长,再利用勾股定理求得BD的长,从而由AB=BD﹣AD即得A,B两个凉亭之间的距离。
8.(内蒙古巴彦淖尔、赤峰10分)如图,一架满载救援物资的飞机到达灾区的上空,在A处测到空投地点C的俯角=60,测到地面指挥台的俯角=30,已知BC的距离是2019米,求此时飞机的高度(结果保留根号).
【答案】解:
作ADBC,交BC的延长线于点D,
∵EA∥BC,ABC==30。
又∵BAC=-=30,ABC=BAC。
AC=BC=2019。
在Rt△ACD中,
AD=ACcosCAD=ACcos300=1000。
答:
此时飞机的高度为1000米。
【考点】解直角三角形的应用(仰角俯角问题),平行的性质,等腰三角形的判定,锐角三角函数,特殊角的三角函数值。
【分析】作ADBC,交BC的延长线于点D,由平行线内错角相等的性质和等腰三角形的判定,易得AC=BC=2019,从而在Rt△ACD中应用锐角三角函数即可求得此时飞机的高度。
9.(内蒙古包头8分)一条船上午8点在A处望见西南方向有一座灯塔B,此时测得船和灯塔相距362海里,船以每小时20海里的速度向南偏西24的方向航行到C处,此时望见灯塔在船的正北方向.(参考数据sin240.4,cos240.9)
(1)求几点钟船到达C处;
(2)当船到达C处时,求船和灯塔的距离.
【答案】解:
(1)延长CB与AD交于点E.AEB=90,
∵BAE=45,AB=362,BE=AE=36。
根据题意得:
C=24,sin24=,
AC=。
9020=4.5。
8+4.5=12.5。
12点30分船到达C处。
(2)在直角三角形ACE中,cos24=,即cos24=,
BC=45。
船到C处时,船和灯塔的距离是45海里。
【考点】解直角三角形的应用(方向角问题),等腰直角三角形的判定和性质,锐角三角函数。
【分析】
(1)要求几点到达C处,需要先求出AC的距离,根据时间=距离除以速度,从而求出解.
(2)船和灯塔的距离就是BC的长,作出CB的延长线交AD于E,根据直角三角形的角,用三角函数可求出CE的长,减去BE就是BC的长.
10.(内蒙古呼伦贝尔6分)如图,从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30和60,如果这时气球的高度CD为90米,且点A、D、B在同一直线上,求建筑物A、B间的距离(结果保留根号)。
【答案】解:
∵
在中,,
在中,,。
答:
建筑物A、B间距离为米。
【考点】解直角三角形的应用,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。
【分析】分别在和中应用锐角三角函数求出AD,BD即可。
宋以后,京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。
至元明清之县学一律循之不变。
明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。
到清末,学堂兴起,各科教师仍沿用“教习”一称。
其实“教谕”在明清时还有学官一意,即主管县一级的教育生员。
而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。
“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。
于民间,特别是汉代以后,对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。
在一些特定的讲学场合,比如书院、皇室,也称教师为“院长、西席、讲席”等。
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要练说,得练听。
听是说的前提,听得准确,才有条件正确模仿,才能不断地掌握高一级水平的语言。
我在教学中,注意听说结合,训练幼儿听的能力,课堂上,我特别重视教师的语言,我对幼儿说话,注意声音清楚,高低起伏,抑扬有致,富有吸引力,这样能引起幼儿的注意。
当我发现有的幼儿不专心听别人发言时,就随时表扬那些静听的幼儿,或是让他重复别人说过的内容,抓住教育时机,要求他们专心听,用心记。
平时我还通过各种趣味活动,培养幼儿边听边记,边听边想,边听边说的能力,如听词对词,听词句说意思,听句子辩正误,听故事讲述故事,听谜语猜谜底,听智力故事,动脑筋,出主意,听儿歌上句,接儿歌下句等,这样幼儿学得生动活泼,轻松愉快,既训练了听的能力,强化了记忆,又发展了思维,为说打下了基础。