北京市丰台区学年度第二学期统一练习一高三数学试题理科含详细解答.docx
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北京市丰台区学年度第二学期统一练习一高三数学试题理科含详细解答
北京市丰台区2014-2015学年度第二学期统一练习
（一）高三数学试题（理科）
2015.3
第一部分（选择题共40分）
选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．在复平面内，复数对应的点的坐标为
（A）
（B）
（C）
（D）
2．在等比数列中，，，则公比等于
（A）-2
（B）1或-2
（C）1
（D）1或2
3．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点坐标为（2,0），则双曲线的方程为
（A）
（B）
（C）
（D）
4．当n=5时，执行如图所示的程序框图，输出的S值是
（A）7
（B）10
（C）11
（D）16
5．在极坐标系中，曲线与极轴交于A，B两点，则A，B两点间的距离等于
（A）
（B）
（C）
（D）4
6．上图是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是
（A）4
（B）5
（C）
（D）
7．将函数图象向左平移个长度单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是
（A）
（B）
（C）
（D）
8．如图所示，在平面直角坐标系中，点，分别在轴和轴非负半轴上，点在第一象限，且，，那么，两点间距离的
（A）最大值是，最小值是
（B）最大值是，最小值是
（C）最大值是，最小值是
（D）最大值是，最小值是
第二部分（非选择题共110分）
一、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9．定积分____．
10．已知二项式的展开式中各项二项式系数和是16，则n=____，展开式中的常数项是____．
11．若变量x，y满足约束条件则的最大值是____．
12．已知函数是定义在R上的偶函数，当x≥0时，，
如果函数（m∈R）恰有4个零点，则m的取值范围
是____．
13．如图，AB是圆O的直径，CD与圆O相切于点D，AB=8，BC=1，则
CD=____；AD=____．
14．已知平面上的点集及点，在集合内任取一点，线段长度的最小值称为点到集合的距离，记作．如果集合，点的坐标为，那么____；如果点集所表示的图形是边长为2的正三角形及其内部，那么点集所表示的图形的面积为____．
二、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15.（本小题共13分）
已知函数的最小正周期为．
（Ⅰ）求的值及函数的最大值和最小值；
（Ⅱ）求函数的单调递增区间．
16.（本小题共13分）
甲、乙两人为了响应政府“节能减排”的号召，决定各购置一辆纯电动汽车．经了解目前市场上销售的主流纯电动汽车，按续驶里程数R（单位：
公里）可分为三类车型，A：
80≤R＜150，B：
150≤R＜250，C：
R≥250．甲从A，B，C三类车型中挑选，乙从B，C两类车型中挑选，甲、乙二人选择各类车型的概率如下表：
若甲、乙都选C类车型的概率为.
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）求甲、乙选择不同车型的概率；
（Ⅲ）某市对购买纯电动汽车进行补贴，补贴标准如下表：
车型
A
B
C
补贴金额（万元/辆）
3
4
5
记甲、乙两人购车所获得的财政补贴和为X，求X的分布列．
17.（本小题共14分）
在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，平面，//，AB=PA=4，BE=2．
（Ⅰ）求证：
//平面；
（Ⅱ）求PD与平面PCE所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱上是否存在一点，使得
平面平面？
如果存在，求的值；
如果不存在，说明理由．
18.（本小题共13分）
设函数，．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：
；
（Ⅲ）当时，求函数在上的最大值．
19.（本小题共14分）
已知椭圆：
的离心率为，右顶点是抛物线的焦点．直线：
与椭圆相交于，两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）如果，点关于直线的对称点在轴上，求的值．
20.（本小题共13分）
如果数列：
，，…，，且，满足：
①，；②，那么称数列为“Ω”数列．
（Ⅰ）已知数列：
-2，1，3，-1；数列：
0，1，0，-1，1．试判断数列，是否为“Ω”数列；
（Ⅱ）是否存在一个等差数列是“Ω”数列？
请证明你的结论；
（Ⅲ）如果数列是“Ω”数列，求证：
数列中必定存在若干项之和为0．
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
丰台区2015年高三年级第二学期数学统一练习
（一）
数学（理科）参考答案
选择题：
本大题共8小题，每小题5分，共40分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
C
C
B
D
C
A
一、填空题：
本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．10．4，2411．6
12．13．3，14．1，
注：
第10，13，14题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．
二、解答题：
15.（本小题共13分）
解：
（Ⅰ）
．
因为，，所以．
因为，，
所以．
所以函数的最大值为1，最小值为-1．……………………8分
（Ⅱ）令，
得，
所以．
所以函数的单调递增区间为，．……………………13分
16.（本小题共13分）
解：
（Ⅰ）因为
所以，．……………………4分
（Ⅱ）设“甲、乙选择不同车型”为事件A，
则．
答：
所以甲、乙选择不同车型的概率是．……………………7分
（Ⅲ）X可能取值为7，8，9，10．
，，
；．
所以X的分布列为：
X
7
8
9
10
P
……………………13分
17.（本小题共14分）
解：
（Ⅰ）设中点为G，连结，．
因为//，且，，
所以//且，
所以四边形为平行四边形．
所以//，且．
因为正方形，所以//，，
所以//，且．
所以四边形为平行四边形．
所以//．
因为平面，平面，
所以//平面． ……………………4分
（Ⅱ）如图建立空间坐标系，则，，
，，，
所以，，
．
设平面的一个法向量为，
所以．
令，则，所以．
设与平面所成角为，
则．
所以与平面所成角的正弦值是．……………………9分
（Ⅲ）依题意，可设，则，．
设平面的一个法向量为，
则．
令，则，
所以．
因为平面平面，
所以，即，
所以，点．
所以．……………………14分
18.（本小题共13分）
解：
（Ⅰ）当时，，，
所以．
因为，即切线的斜率为，
所以切线方程为，即．……………………4分
（Ⅱ）证明：
由（Ⅰ）知．
令，则．
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以当时，函数最小值是．
命题得证．……………………8分
（Ⅲ）因为，所以．
令，则．
当时，设，因为，
所以在上单调递增，且，
所以在恒成立，即．
所以当，，在上单调递减；
当，，在上单调递增．
所以在上的最大值等于，
因为，，
不妨设（），
所以．
由（Ⅱ）知在恒成立，
所以在上单调递增．
又因为，
所以在恒成立，即．
所以当时，在上的最大值为．……………………13分
19.（本小题共14分）
解：
（Ⅰ）抛物线，
所以焦点坐标为，即，
所以．
又因为，所以．
所以，
所以椭圆的方程为．……………………4分
（Ⅱ）设，，因为，，
所以，，
所以，
所以．
由，得（判别式），
得，，
即．
设，则中点坐标为，
因为，关于直线对称，
所以的中点在直线上，
所以，解得，即．
由于，关于直线对称，所以，所在直线与直线垂直，
所以，解得．……………………14分
20.（本小题共13分）
解：
（Ⅰ）数列不是“Ω”数列；数列是“Ω”数列．……………………2分
（Ⅱ）不存在一个等差数列是“Ω”数列．
证明：
假设存在等差数列是“Ω”数列，
则由得，与矛盾，
所以假设不成立，即不存在等差数列为“Ω”数列．……………………7分
（Ⅲ）将数列按以下方法重新排列：
设为重新排列后所得数列的前n项和（且），
任取大于0的一项作为第一项，则满足，
假设当时，
若，则任取大于0的一项作为第n项，可以保证，
若，则剩下的项必有0或与异号的一项，否则总和不是1，
所以取0或与异号的一项作为第n项，可以保证．
如果按上述排列后存在成立，那么命题得证；
否则，，…，这m个整数只能取值区间内的非0整数，
因为区间内的非0整数至多m-1个，所以必存在，
那么从第项到第项之和为，命题得证．
综上所述，数列中必存在若干项之和为0．……………………13分
（若用其他方法解题，请酌情给分）
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