矩阵特征向量 权重.docx
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矩阵特征向量权重
矩阵特征向量权重
项目六矩阵的特征值与特征向量
实验1求矩阵的特征值与特征向量
实验目的
学习利用Mathematica（4.0以上版本）命令求方阵的特征值和特征向量;能利用软件计算方阵的特征值和特征向量及求二次型的标准形.
基本命令
1.求方阵M的特征值的命令Eigenvalues[M]
2.求方阵M的特征向量的命令Eigenvectors[M]
3.求方阵M的特征值和特征向量的命令Eigensystem[M]
注:
在使用后面两个命令时,如果输出中含有零向量,则输出中的非零向量才是真正的特征向量.
4.对向量组施行正交单位化的命令GramSchmidt
使用这个命令,先要调用“线性代数.向量组正交化”软件包,输入
执行后,才能对向量组施行正交单位化的命令.
命令GramSchmidt[A]给出与矩阵A的行向量组等价的且已正交化的单位向量组.
5.求方阵A的相似变换矩阵S和相似变换的约当标准型J的命令
JordanDecomposition[A]
注:
因为实对称阵的相似变换的标准型必是对角阵.所以,如果A为实对称阵,则
JordanDecomposition[A]同时给出A的相似变换矩阵S和A的相似对角矩阵Λ.
实验举例
求方阵的特征值与特征向量.
⎛-102⎫⎪例1.1求矩阵A=12-1⎪.的特征值与特值向量.130⎪⎝⎭
1.求矩阵A的特征值.输入
A={{-1,0,2},{1,2,-1},{1,3,0}}
MatrixForm[A]
Eigenvalues[A]
则输出A的特征值
{-1,1,1}
2.求矩阵A的特征向量.输入
A={{-1,0,2},{1,2,-1},{1,3,0}}
MatrixForm[A]
Eigenvectors[A]
则输出{{-3,1,0},{1,0,1},{0,0,0}}
⎛-3⎫⎛1⎫⎪⎪即A的特征向量为1⎪,0⎪.
0⎪1⎪⎝⎭⎝⎭
3.利用命令Eigensystem同时矩阵A的所有特征值与特征向量.输入
A={{-1,0,2},{1,2,-1},{1,3,0}}
MatrixForm[A]
Eigensystem[A]
则输出矩阵A的特征值及其对应的特征向量.
⎛1/31/3-1/2⎫⎪例1.2求矩阵A=1/51-1/3⎪的特征值和特征向量的近似值.61-2⎪⎝⎭
输入
A={{1/3,1/3,-1/2},{1/5,1,-1/3},{6,1,-2}};
Eigensystem[A]
则屏幕输出的结果很复杂,原因是矩阵A的特征值中有复数且其精确解太复杂.此时,可采用近似形式输入矩阵A,则输出结果也采用近似形式来表达.
输入
A={{1/3,1/3,-1/2},{1/5,1,-1/3},{6.0,1,-2}};
Eigensystem[A]
则输出
{{-0.748989+1.27186i,-0.748989-1.27186i,0.831311},
{{0.179905+0.192168i,0.116133+0.062477I,0.955675+0.i},
{0.179905-0.192168i,0.116133-0.062477i,0.955675+0.i},
{-0.0872248,-0.866789,-0.490987}}}
从中可以看到A有两个复特征值与一个实特征值.属于复特征值的特征向量也是复的;属于实特征值的特征向量是实的.
⎛300⎫⎪例1.3已知2是方阵A=1t3⎪的特征值,求t.
123⎪⎝⎭
输入
Clear[A,q];
A={{2-3,0,0},{-1,2-t,-3},{-1,-2,2-3}};
q=Det[A]
Solve[q==0,t]
则输出
{{t→8}}
即当t=8时,2是方阵A的特征值.
⎛2-12⎫⎪例1.4已知x=（1,1,-1）是方阵A=5a3⎪的一个特征向量,求参数a,b及特征向-1b-2⎪⎝⎭
量x所属的特征值.
设所求特征值为t,输入
Clear[A,B,v,a,b,t];
A={{t-2,1,-2},{-5,t-a,-3},{1,-b,t+2}};
v={1,1,-1};
B=A.v;
Solve[{B[[1]]==0,B[[2]]==0,B[[3]]==0},{a,b,t}]
则输出
{{a→-3,b→0,t→-1}}
即a=-3,b=0时,向量x=（1,1,-1）是方阵A的属于特征值-1和特征向量.
矩阵的相似变换
⎛411⎫⎪例1.5设矩阵A=222⎪,求一可逆矩阵P,使P-1AP为对角矩阵.
222⎪⎝⎭
方法1输入
Clear[A,P];
A={{4,1,1},{2,2,2},{2,2,2}};
Eigenvalues[A]
P=Eigenvectors[A]//Transpose
则输出
{0,2,6}
{{0,-1,1},{-1,1,1},{1,1,1}}
⎛0⎫⎪即矩阵A的特征值为0,2,6.特征向量为-1⎪1⎪⎝⎭
-1可验证PAP为对角阵,事实上,输入⎛-1⎫⎛1⎫⎛0-11⎫⎪⎪⎪,1⎪与1⎪,矩阵P=-111⎪.1⎪1⎪111⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
Inverse[P].A.P
则输出
{{0,0,0},{0,2,0},{0,0,6}}
因此,矩阵A在相似变换矩阵P的作用下,可化作对角阵.
方法2直接使用JordanDecomposition命令,输入
jor=JordanDecomposition[A]
则输出
{{{0,-1,1},{-1,1,1},{1,1,1}},{{0,0,0},{0,2,0},{0,0,6}}}
可取出第一个矩阵S和第二个矩阵Λ,事实上,输入
jor[[1]]
jor[[2]]
则输出
{{0,-1,1},{-1,1,1},{1,1,1}}
{{0,0,0},{0,2,0},{0,0,6}}
输出结果与方法1的得到的结果完全相同.
⎛-200⎫⎛-100⎫⎪⎪例1.6已知方阵A=2x2⎪与B=020⎪相似,求x,y.
311⎪00y⎪⎝⎭⎝⎭
注意矩阵B是对角矩阵,特征值是-1,2,y.又矩阵A是分块下三角矩阵,-2是矩阵A的特征值.矩阵A与B相似,则y=-2,且-1,2也是矩阵A的特征值.
输入
Clear[c,v];
v={{4,0,0},{-2,2-x,-2},{-3,-1,1}};
Solve[Det[v]==0,x]
则输出
{{x→0}}
所以,在题设条件,x=0,y=-2.
例1.7已知二次型
222f（x1,x2,x3）=x1-2x2+x3+2x1x2-4x1x3+2x2x3
（1）求标准形;
（2）求正惯性指数;（3）判断二次型是否正定.
输入
A={{1,1,-2},{1,-2,1},{-2,1,1}}
Eigenvalues[A]
则输出矩阵A的特征值为
{-3,0,3}
22+3y2所以二次型的标准形为f=3y1;正惯性指数为1;该二次型不是正定的.
例1.8求正交变换将二次型
2222f（x1,x2,x3）=x1+x2+x3+x4+2x1x2-2x1x4+2x2x3-2x3x4
化为标准形.
输入
A={{1,1,0,-1},{1,1,1,0},{0,1,1,-1},{-1,0,-1,1}}
MatrixForm[A]
X={x1,x2,x3,x4};
Expand[X.A.X]
P=GramSchmidt[Eigenvectors[A]]
P.A.Inverse[P]//MatrixForm
则输出所求的正交变换矩阵P与二次型矩阵A标准形.从结果知,所求二次型的标准型为
2222g=-y1+y2+y3+y4
实验习题
2⎫⎛-12⎪1.求方阵A=2-1-2⎪的特征值与特征向量.2-2-1⎪⎝⎭
11⎫⎛11⎪11-1-1⎪2.求方阵A=的特征值与特征向量.1-11-1⎪⎪1-1-11⎪⎝⎭
⎛101⎫⎪3.已知:
0是方阵020⎪的特征值,求.
10t⎪⎝⎭t
⎛211⎫⎪4.设向量x=（1,k,1）T是方阵A=121⎪的特征向量,求k.
112⎪⎝⎭
⎛0-12⎫⎪5.方阵A=010⎪是否与对角阵相似?
1-11⎪⎝⎭
⎛200⎫⎛200⎫⎪⎪6.已知:
方阵A=001⎪与B=0y0⎪相似,01x⎪00-1⎪⎝⎭⎝⎭
（1）求x与y;
（2）求一个满足关系P-1AP=B的方阵P.
⎛124⎫⎪7.设方阵A=2-22⎪,求正交阵C,使得B=CTAC是对角阵.421⎪⎝⎭
实验2层次分析法
实验目的
通过应用层次分析法解决一个实际问题,学习层次分析法的基本原理与方法;掌握用层次分析法建立数学模型的基本步骤;学会用Mathematica解决层次分析法中的数学问题.
基本原理
层次分析法是系统分析的重要工具之一,其基本思想是把问题层次化、数量化,并用数学方法为分析、决策、预报或控制提供定量依据.它特别适用于难以完全量化,又相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂问题.它把人的思维过程层次化、数量化,是系统分析的一中新型的数学方法.
运用层次分析法建立数学模型,一般可按如下四个基本步骤进行.
1.建立层次结构
首先对所面临的问题要掌握足够的信息,搞清楚问题的范围、因素、各因素之间的相互关系,及所要解决问题的目标.把问题条理化、层次化,构造出一个有层次的结构模型.在这个模型下,复杂问题被分解为元素的组成部分.这些元素又按其属性及关系形成若干层次.层次结构一般分三层:
第一层为最高层,它是分析问题的预定目标和结果,也称目标层;
第二层为中间层,它是为了实现目标所涉及的中间环节,如:
准则、子准则,也称准则层;
第三层为最底层,它包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等,也称方案层.
（章栋恩P268图26.1）
图2-1
注:
上述层次结构具有以下特点:
（1）从上到下顺序地存在支配关系,并用直线段表示;
（2）整个层次结构中层次数不受限制.
2.构造判断矩阵
构造判断矩阵是建立层次分析模型的关键.假定以上一层的某元素y为准则,它所支配的下一层次的元素为x1,x2,,xn,这n个元素对上一层次的元素y有影响,要确定它们在y中的比重.采用成对比较法.即每次取两个元素xi和xj,用aij表示xi与xj对y的影响之比,全部比较的结果可用矩阵A表示,即
A=（aij）n⨯n,i,j=1,2,,n.
称矩阵A为判断矩阵.
根据上述定义,易见判断矩阵的元素aij满足下列性质:
aji=1（i≠j）,aijaii=1,（i=j）
当aij>0时,我们称判断矩阵A为正互反矩阵.
怎样确定判断矩阵A的元素aij的取值呢?
当某层的元素x1,x2,,xn对于上一层某元素y的影响可直接定量表示时,xi与xj对y的影响之比可以直接确定,aij的值也可直接确定.但对于大多数社会经济问题,特别是比较复杂的问题,元素xi与xj对y的重要性不容易直接获得,需要通过适当的量化方法来解决.通常取数字1~9及其倒数作为aij的取值范围.这是因为在进行定性的成对比较时,通常采用5级制（表1）,在每两个等级之间各有一个中间状态,共1~9个尺度,另外心理学家认为进行成对比较的因素太多,将超出人们的判断比较能力,降低精确.实践证明,成对比较的尺度以7±2为宜,故aij的取值范围是1,2,,9及其倒数.
表1比较尺度aij的取值
xi/xj
aij相等较强强很强绝对强13579
3.计算层次单排序并做一致性检验
层次单排序是指同一层次各个元素对于上一层次中的某个元素的相对重要性进行排序.具体做法是:
根据同一层n个元素x1,x2,,xn对上一层某元素y的判断矩阵A,求出它们对于元素y的相对排序权重,记为w1,w2,,wn,写成向量形式w=（w1,w2,,wn）T,称其为A的层次单排序权重向量,其中wi表示第i个元素对上一层中某元素y所占的比重,从而得到
层次单排序.
层次单排序权重向量有几种求解方法,常用的方法是利用判断矩阵A的特征值与特征向量来计算排序权重向量w.
关于正互反矩阵A,我们不加证明地给出下列结果.
（1）如果一个正互反矩阵A=（aij）n⨯n满足
aij⨯ajk=aik（i,j,k=1,2,,n）
则称矩阵A具有一致性,称元素xi,xj,xk的成对比较是一致的;并且称A为一致矩阵.
（2）n阶正互反矩阵A的最大特征根λmax≥n,当λ=n时,A是一致的.
（3）n阶正互反矩阵是一致矩阵的充分必要条件是最大特征值λmax=n.
计算排序权重向量的方法和步骤
设w=（ω1,ω2,,ωn）T是n阶判断矩阵的排序权重向量,当A为一致矩阵时,根据n
阶判断矩阵构成的定义,有
ω1⎫⎛ω1ω1⎪ωn⎪ω1ω2ω2ω2ω2⎪⎪A=ω1ω2ωn⎪（2.1）⎪
ωnωnωn⎪⎪ωn⎭⎝ω1ω2
因而满足Aw=nw,这里n是矩阵A的最大特征根,w是相应的特征向量;当A为一般的判断矩阵时Aw=λmaxw,其中λmax是A的最大特征值（也称主特征根）,w是相应的特征向量（也称主特征向量）.经归一化（即∑ω
i=1ni=1）后,可近似作为排序权重向量,这种方法称为
特征根法.
一致性检验
在构造判断矩阵时,我们并没有要求判断矩阵具有一致性,这是由客观事物的复杂性与人的认识的多样性所决定的.特别是在规模大、因素多的情况下,对于判断矩阵的每个元素来说,不可能求出精确的ωi/ωj,但要求判断矩阵大体上应该是一致的.一个经不起推敲的判断矩阵有可能导致决策的失误.利用上述方法计算排序权重向量,当判断矩阵过于偏离
一致性时,其可靠性也有问题.因此,需要对判断矩阵的一致性进行检验,检验可按如下步骤进行:
（1）计算一致性指标CI
λ-nCI=max（2.2）n-1
当CI=0,即λmax=n时,判断矩阵A是一致的.当CI的值越大,判断矩阵A的不一致的程度就越严重.
（2）查找相应的平均随机一致性指标RI
表2给出了n（1~11）阶正互反矩阵的平均随机一致性指标RI,其中数据采用了100~150个随机样本矩阵A计算得到.
（3）计算一致性比例CRCR=CI（2.3）RI
当CR
4.计算层次总排序权重并做一致性检验
计算出某层元素对其上一层中某元素的排序权重向量后,还需要得到各层元素,特别是最底层中各方案对于目标层的排序权重,即层次总排序权重向量,再进行方案选择.层次总排序权重通过自上而下地将层次单排序的权重进行合成而得到.
考虑3个层次的决策问题:
第一层只有1个元素,第二层有n个元素,第三层有m个元素.设第二层对第一层的层次单排序的权重向量为
（2）
（2）
（2）T,ω2,,ωn）w
（2）=（ω1（3）（3）（3）（3）T=（wkwk1,wk2,,wkn）,k=1,2,,n第三层对第二层的层次单排序的权重向量为
（3）以wk为列向量构成矩阵:
（3）（3）（3）⎫⎛w11,w21,,wn1,⎪（3）（3）w（3）,w22⎪,,wn（3）（3）（3）2,（2.4）W（3）=（w1,w2,,wn）=12⎪⎪w（3）,w（3）,,w（3）⎪nm⎭m⨯n2m⎝1m
则第三层对第一层的层次总排序权重向量为
w（3）=W（3）w
（2）（2.5）一般地,若层次模型共有s层,则第k层对第一层的总排序权重向量为
w（k）=W（k）w（k-1）,k=3,4,,s（2.6）其中W（k）是以第k层对第k-1层的排序权向量为列向量组成的矩阵,w（k-1）是第k-1层对第一层的总排序权重向量.按照上述递推公式,可得到最下层（第s层）对第一层的总排序权重向量为
w（s）=W（s）W（s-1）W（3）w
（2）（2.7）
对层次总排序权重向量也要进行一致性检验.具体方法是从最高层到最低层逐层进行
检验.
如果所考虑的层次分析模型共有s层.设第l（3≤l≤s）层的一致性指标与随机一致性
（l）（l）（l）（l）（l）（l）指标分别为CI1（n是第l-1层元素的数目）与RI1,令,CI2,,CIn,RI2,,RIn
（l）（l）CI（l）=[CI1,,CI1]w（l-1）
（l）（l）RI（l）=[RI1,,RI1]w（l-1）（2.8）（2.9）
则第l层对第一层的总排序权向量的一致性比率为
CI（l）
（2.10）,l=3,4,,sRI（l）
其中CR
（2）为由（2.3）式计算的第二层对第一层的排序权重向量的一致性比率.CR（l）=CR（l-1）+
当最下层对第一层的总排序权重向量的一致性比率CR（s）
应用举例
问题在选购电脑时,人们希望花最少的钱买到最理想的电脑.试通过层次分析法建立数学模型,并以此确定欲选购的电脑.
1.建立选购电脑的层次结构模型
（章栋恩P268图26.2左边加目标层、准则层、方案层字样）
图2-2
该层次结构模型共有三层:
目标层（用符号z表示最终的选择目标）;准则层（分别用符号y1,y2,,y5表示“性能”、“价格”、“质量”、“外观”、“售后服务”五个判断准则）;方案层（分别用符号x1,x2,x3表示品牌1,品牌2,品牌3三种选择方案）.
2.构造成对比较判断矩阵
（1）建立准则层对目标层的成对比较判断矩阵
根据表1的定量化尺度,从建模者的个人观点出发,设准则层对目标层的成对比较判断矩阵为
5393⎤⎡1⎢⎥⎢1/511/221/2⎥（2.11）A=⎢1/32131⎥⎢⎥⎢1/91/21/311/3⎥⎢1/32131⎥⎣⎦
（2）建立方案层对准则层的成对比较判断矩阵
⎡11/31/5⎤⎡1⎢⎥⎢B1=⎢311/2⎥,B2=⎢1/3
⎢⎢1⎥⎣52⎦⎣1/5⎡153⎤⎡1⎢⎥⎢B4=⎢1/511/2⎥,B5=⎢1/3
⎢⎢⎣1/321⎥⎦⎣1/335⎤⎡11/31/5⎤
⎥⎢⎥12⎥,B3=⎢311/2⎥
⎢1/21⎥1⎥⎦⎣52⎦
33⎤
⎥11⎥,11⎥⎦
3.计算层次单排序权重向量并做一致性检验
先利用Mathematica计算矩阵A的最大特征值及特征值所对应的特征向量.输入
（*调用只求实数运算的软件包*）
A={{1.0,5,3,9,3},{1/5,1,1/2,2,1/2},{1/3,2,1,3,1},
{1/9,1/2,1/3,1,1/3},{1/3,2,1,3,1}};
（*以小数形式1.0输入进行近似计算,可避免精确解太长、太复杂*）T=Eigensystem[A]//Chop
（*输入//Chop,把与零非常接近的数换成零*）
则输出
{{5.00974,Nonreal,Nonreal,0,0},
{{0.88126,0.167913,0.304926,0.0960557,0.304926},{0.742882,Nonreal,Nonreal,Nonreal,Nonreal},{0.742882,Nonreal,Nonreal,Nonreal,Nonreal},{-0.993398,0,0.0673976,0.0662265,0.0650555},{-0.65676,0,0.57431,0.043784,-0.486742}}}（输出中的Nonreal表示复数）
从中得到A的最大特征值λmax=5.00974,及其对应的特征向量
x=（0.88126,0.167913,0.304926,0.0960557,0.304926）T
输入
Clear[x];x=T[[2,1]];
ww2=x/Apply[Plus,x]
则得到归一化后的特征向量w
（2）=（0.502119,0.0956728,0.173739,0.0547301,0.173739）T
λ-n
计算一致性指标CI=max,其中n=5,λmax=5.00974,故
n-1
CI=0.002435.查表得到相应的随机一致性指标RI=1.12从而得到一致性比率
CI
CR
（2）==0.002174
RI
因CR
（2）
B1=B3={{1.0,1/3,1/5},{3,1,1/2},{5,2,1}};
11
B2=Transpose[B1];
B4={{1.0,5,3},{1/5,1,1/2},{1/3,2,1}};B5={{1.0,3,3},{1/3,1,1},{1/3,1,1}};T1=Eigensystem[B1]//ChopT2=Eigensystem[B2]//ChopT3=Eigensystem[B3]//ChopT4=Eigensystem[B4]//ChopT5=Eigensystem[B5]//Chop
则输出
{{3.00369,Nonreal,Nonreal},
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