两点边值问题地有限差分法.docx
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两点边值问题地有限差分法
学生实验报告
实验课程名称偏微分方程数值解
开课实验室数统学院
学院数统年级2013专业班信计2班
学生姓名学号
开课时间2015至2016学年第2学期
总成绩
教师签名
数学与统计学院制
开课学院、实验室：
数统学院实验时间：
2016年月日
实验项目
名称
两点边值问题的有限差分法
实验项目类型
验证
演示
综合
设计
其他
指导教师
曾芳
成绩
是
一．实验目的
通过该实验，要求学生掌握求解两点问题的有限差分法，并能通过计算机语言编程实现。
二．实验内容
考虑如下的初值问题：
（1）
（2）
其中
，
，
，
，
是给定常数。
将区间
等分，设
，网点
。
1．在第三部分写出问题
（1）和
（2）的差分格式，并给出该格式的局部截断误差。
2．根据你写出的差分格式，编写一个有限差分法程序。
将所写程序放到第四部分。
3．给定参数
，
，
，
，问题
（1）的精确解
，其中将
及
带入方程
（1）可得
。
分别取
，用所编写的程序计算问题
（1）和
（2）。
将数值解记为
，
，网点处精确解记为
，
。
然后计算相应的误差
，
及收敛阶
，将计算结果填入第五部分的表格，并对表格中的结果进行解释？
4.将数值解和精确解画图显示，每种网格上的解画在一张图。
三．实验原理、方法（算法）、步骤
1.差分格式：
=-1/h^2（
-（
）
+
）+
（
）/2h+
=
A,
2.局部阶段误差：
（u）=O（h^2）
3.程序
clearall
N=10;
a=0;b=1;
p=@（x）1;
r=@（x）2;
q=@（x）3;
alpha=0;beta=1;
f=@（x）（4*x^2-2）*exp（x-1）;
h=（b-a）/N;
H=zeros（N-1,N-1）;g=zeros（N-1,1）;%
fori=1
H（i,i）=2*（p（a+（i+1/2）*h）+p（a+（i-1/2）*h））/h+2*h*q（a+i*h）;
H（i,i+1）=-（2*p（a+（i+1/2）*h）/h-r（a+i*h））;
g（i）=2*h*f（a+i*h）+（2*p（a+（i-1/2）*h）/h+r（a+i*h））*alpha;
end
fori=2:
N-2
H（i,i-1）=-（2*p（a+（i-1/2）*h）/h+r（a+i*h））;
H（i,i）=2*（p（a+（i+1/2）*h）+p（a+（i-1/2）*h））/h+2*h*q（a+i*h）;
H（i,i+1）=-（2*p（a+（i+1/2）*h）/h-r（a+i*h））;
g（i）=2*h*f（a+i*h）;
end
fori=N-1
H（i,i-1）=-（2*p（a+（i-1/2）*h）/h+r（a+i*h））;
H（i,i）=2*（p（a+（i+1/2）*h）+p（a+（i-1/2）*h））/h+2*h*q（a+i*h）;
g（i）=2*h*f（a+i*h）+（2*p（a+（i+1/2）*h）/h-r（a+i*h））*beta;
end
u=H\g;
u=[alpha;u;beta];
x=a:
h:
b;
y=（x.^2）.*exp（x-1）;
plot（x,u）;
holdon
plot（x,y）;
y=y'
z=y-u
四．实验环境（所用软件、硬件等）及实验数据文件
Matlab
五．实验结果及实例分析
N
收敛阶
收敛阶
10
0.00104256
……
0.00073524
……
20
0.00026168
1.9341
0.00018348
1.4530
40
0.00006541
2.0001
0.00004585
2.0000
80
0.00001636
1.9993
0.00001146
2.0000
160
0.00000409
2.0000
0.00000287
2.0000
N越大只会使绝对误差变小，方法没变，所以收敛阶一致。
图示为：
（绿线为解析解，蓝线为计算解）
N=10
N=20
N=40
N=80
N=160
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