学年高中数学25与圆有关的比例线段练习新人教A版选修41.docx

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学年高中数学25与圆有关的比例线段练习新人教A版选修41

2．5　与圆有关的比例线段

1．相交弦定理：

圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积________．

2．割线定理：

从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．

3．切割线定理：

从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的____________．

4．切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长________，圆心和这一点的连线________两条切线的夹角．：

预习导学

1．相等

3．比例中项

4．相等　平分

►一层练习

1．圆内两条相交弦，其中一弦长为8cm，且被交点平分，另一条弦被交点分成1∶4两部分，则这条弦长是（　　）

A．2cmB．8cm

C．10cmD．12cm

1．C　

2．如图，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G.给出下列三个结论：

①AD＋AE＝AB＋BC＋CA；②AF·AG＝AD·AE；③△AFB∽△ADG.

其中正确结论的序号是（　　）

A．①②B．②③C．①③D．①②③

2.A

3．AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M，AM＝4，BM＝9，则弦CD的长为________．

3.12

4．如图所示，已知P是⊙O外一点，PD为⊙O的切线，D为切点，割线PEF经过圆心O，若PF＝12，PD＝4，则圆O的半径长为________、∠EFD的度数为________．

　4.4　30°

5．如图，⊙O的直径AB＝6，P是AB的延长线上一点，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC，若∠CPA＝30°，则PC＝________．

　5.3　

►二层练习

6．如图所示，AB是⊙O的弦，点P是AB上一点，若AB＝10cm，PA＝4cm，OP＝5cm，则⊙O的半径为（　　）

A.cm

B．7cm

C．14cm

D．9cm

　6.B　

7．（2015·惠州市高三第二次调研考试）如图所示，⊙O的两条切线PA和PB相交于点P，与⊙O相切于A，B两点，C是⊙O上的一点，若∠P＝70°，则∠ACB＝________．（用角度表示）

　7.55°

　8．如图，AB是圆O的直径，BC是圆O的切线，AC与圆O交于点D，若BC＝3，AD＝，则AB的长为________．

8．4

9．如图，PA是⊙O的切线，A为切点，直线PB交于⊙O于D、B两点，交弦AC于E点，且AE＝4，EC＝3，BE＝6，PE＝6，则AP＝________．

9．解析：

由相交弦定理，得DE·BE＝AE·EC

即得DE＝2，则PD＝PE－DE＝4，

又PB＝PE＋BE＝12，

∴AP2＝PD·PB＝48，AP＝4.

答案：

4

►三层练习

10．如图所示，圆O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，满足∠ABC＝30°，过点A做圆O的切线与OC的延长线交于点P，则PA＝________．

10.

11．如图所示，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD＝，∠OAP＝30°，则CP＝______．

　11.a

12．如图，在半径为的圆O中，弦AB，CD相交于点P，PA＝PB＝2，PD＝1，则圆心O到弦CD的距离为________．

12．解析：

由相交弦定理，有PC·PD＝PA·PB

即PC＝＝4，CD＝5.

过O作CD垂线OE，垂足为E，连OD，

则所求OE＝＝.

答案：

13．如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF＝CF＝，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE与圆相切，则线段CE的长为________．

13.

14．如图，P是圆O外一点，PA与圆O相切于点A，割线PC与圆O相交于点B，C，且PA＝3，PC＝3，AB＝，则AC＝____．

14.

15．如图，P是圆O外一点，PT为切线，T为切点，割线PAB经过圆心O，PT＝2，PB＝6，则∠PTA＝________．

15．解析：

连BT及OT.根据弦切角定理，∠PTA＝∠B，∠AOT＝2B.

又PT2＝PA·PB，PA＝＝2.

∴AB＝PB－PA＝4，

sin∠AOT＝＝＝，

即sin∠AOT＝sin2B＝，2B＝60°.

所求∠PTA＝∠B＝30°.

答案：

30°

16．如图，圆O的半径为5cm，点P是弦AB的中点，OP＝3cm，弦CD过点P，且＝，则CD的长为________cm.

16．解析：

连OA，则AP＝＝4（cm），

∴BP＝4（cm）．设CP＝xcm，CD＝3xcm，

则PD＝2xcm，由AP·BP＝CP·PD

得4×4＝x·2x，x＝2，CD＝6（cm）．

答案：

6

17．（2014·天津）如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，给出下列四个结论：

①BD平分∠CBF；②FB2＝FD·FA；③AE·CE＝BE·DE；④AF·BD＝AB·BF.

则所有正确结论的序号是（　　）

A．①②B．③④C．①②③　D．①②④

17．解析：

由题意知∠FBD＝∠BAD，∠DBC＝∠DAC，∠BAD＝∠DAC，

∴∠FBD＝∠DBC，故①正确；

由切割线定理知②正确；

易证△ACE∽△BDE，∴＝，∴③不正确；

∵在△ABF和△BDF中，

∠FBD＝∠BAD，∠BFD＝∠BFA，

∴△ABF∽△BDF，＝，

∴AF·BD＝AB·BF，∴④正确．

故选D.

答案：

D

18．如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交与点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：

（1）BE＝EC；

（2）AD·DE＝2PB2.

18．证明：

（1）连接AB，AC，由题设知PA＝PD，故∠PAD＝∠PDA.

∵∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，

∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，

∠DCA＝∠PAB，

∴∠DAC＝∠BAD，从而＝，

因此BE＝EC.

（2）由切割线定理得PA2＝PB·PC.

∵PA＝PD＝DC，

∴DC＝2PB，BD＝PB，

由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，

∴AD·DE＝2PB2.

1．应用与圆有关的比例线段定理时，首先要明确题目的条件以便选择相关的定理．

2．四大定理的数学语言记忆：

如图所示，

AB、CD为圆的弦且交于点P，延长BD与CA交于点Q，QB与QC是两割线，RD切⊙O于点D，交QC于点R，RS与⊙O切于点S，则有

相交弦定理：

AP·PB＝DP·PC；

割线定理：

QD·QB＝QA·QC；

切割线定理：

RA·RC＝RD2；

切线长定理：

RD＝RS.

3．考查这四个定理时，常与相似三角形、解三角形以及其他平面图形进行综合考查，应用这四个定理可求线段长、可证线段相等、比例式、判断三角形相似等，其中解题的关键是恰当地添加辅助线．

【习题2.5】

1．解析：

如图所示

设两条弦相交于P，PA＝12cm，PB＝18cm，PD∶PC＝3∶8，

令PD＝xcm，则PC＝PD＝xcm.

由相交弦定理得PA·PB＝PC·PD，

∴12×18＝x2，得x＝9，即PD＝9cm，

∴PC＝×9＝24（cm），

故CD＝24＋9＝33（cm）．

2．解析：

如图

（1）所示是轴的纵断面图，图

（2）是圆头部分的图形，其中弦CD＝30，直径AB＝72，且AB⊥CD于M，因此BM就是圆头部分的长．设BM＝x，由相交弦定理得MC·MD＝MB·MA，而MC＝MD，

∴＝MB·MA＝（AB－MB）·MB，

∴152＝（72－x）x，解得x≈36±32.7，

∴x1≈68.7，x2≈3.3（舍去），

∴轴的全长大约是160＋68.7＝228.7.

3．证明：

如图所示，延长CP与圆相交于点D.∵OP⊥PC，∴PC＝PD.

∵PA·PB＝PC·PD，∴PC2＝PA·PB.

4．解析：

如图所示，设⊙O的半径为x，由题意知PO＝PC＋x＝PD－x，

∴PC＝PO－x＝12－x，

PD＝PO＋x＝12＋x.

由题意知PA·PB＝PC·PD，

且PB＝PA＋AB＝6＋7＝，∴6×＝（12－x）（12＋x），解得x＝8或x＝－8（舍去）．∴⊙O的半径为8.

5．证明：

如图所示，∵NM·NQ＝NB·NA，而PQ是⊙O的切线，∴NB·NA＝PN2，∴PN2＝NM·NQ.

6．证明：

如图所示，∵PA是⊙O的切线，∴MA2＝MB·MC.∵M是PA的中点，∴MP＝MA，∴MP2＝MB·MC，∴＝.又∵∠BMP＝∠PMC，

∴△BMP∽△PMC，∴∠MPB＝∠MCP.

7．证明：

如图所示，连接GC.∵∠1和∠2是同弧所对的圆周角，∴∠1＝∠2.∵AD⊥BC，CF⊥AB，∴∠2＝90°－∠ABD，∠3＝90°－∠ABD，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴Rt△CHD≌Rt△CGD，∴DH＝DG.

8．证明：

如图所示，连接OC，则∠AOC的度数等于的度数．

∵∠CDE的度数等于的度数的一半，而＝，

∴∠AOC＝∠CDE，

∴∠POC＝∠PDF.又∵∠DPF＝∠OPC，

∴△POC∽△PDF，∴＝，

∴PO·PF＝PC·PD.

又∵PC·PD＝PB·PA，

∴PO·PF＝PB·PA.

9．解析：

如图所示，

①∵DG和FE是圆内相交的弦，

∴CF·CE＝CD·CG.

②∵AB是圆的切线，∴AB2＝AD·AE.

∵AB＝AC，∴AC2＝AD·AE.

③即＝，而∠CAD＝∠EAC，

∴△ACD∽△AEC.∵∠AEC＝∠G，

∴∠ACD＝∠G，∴AC∥FG.

　　④如果∠BAD＝∠CAD，如图所示，连接BC，BD，BG，BE.∵AB＝AC，AD＝AD，

∴△ABD≌△ACD，∴BD＝CD.

⑤∴∠ABD＝∠ACD.∵∠ACD＝∠1，∠ABD＝∠2，

∴∠1＝∠2，

⑥∴＝.

⑦∵∠1＝∠3，∠2＝∠4，

∴△ABE≌△ACE，∴BE＝CE.

⑧∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，

∴AE⊥BC.

⑨∴四边形ABEC各边的中点在同一个圆周上．

⑩∵AB＝AC，EB＝EC，∴AB＋EC＝AC＋EB.还可以推出四边形ABEC存在内切圆（证明略）等结论．