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几个常用统计分布
第6.3节几个常用统计分布
一、常见分布
二、概率分布的分位数
三、小结
一、常见分布
1.正态分布
定理设相互独立且
r.vX,X,,X,
12n
2
X~N（,）（i1,2,,n）
iii
则它们的任一确定的线性函数
nnn
22
CX~N（C,C）.
iiiiii
i1i1i1
其中C,C,,C为不全为零的常数.
12n
证明
由于X1,X,
2
X
独立且均为正态变量,
n
n
故他们的线性函数
i1
CX
i
仍为正态变量,
i
又
nnn
E
（iXCEXC
C）（）
iiiii
i1i1i1
nnn
D
22
（iXCDXC
C）（）
iiii
i1i1i1
2
i
所以
n
i1
nn
C（,
iXNCC
~
2
iiii
i1i1
2
i
）
推论1
2
设X,X,是来自正态总体
XN（,）12n
的样本,则样本的任一确定的线性函数
n
i1
CX~N（
ii
n
C
i1
i
2
n
C
i1
2
i
）.
其中
C,
1
C,,
2
C
为不全为零的常数
n
.
推论2
设
X,X,,
12
2
X是来自正态总体N（,）
n
2的样本,X是样本均值,则有X~N（,/n）.
推论3
设与
X,X,,XY,Y,,
12n12
1
Y
n
2
分别是
来自两个独立的正态总体N
2
（,）,
1
1
N（,
2
2
2
）
的样本,设X
nn
11
12
X,Y
i
nn
i1i1
12
Y
i
分别是这两
个样本的均值,则有
XY~N
（
1
2
2
1
n
1
2
2
n
2
）
或
（
X
2
1
Y
/
）
n
1
/
2
n
2
）
~N（0,1）
2.
2
分布
定义设,,,相互独立，均服从（0,1）
XXXN
12n
分布,则称统计量＝服从自由
XXX
2222
n12n
222
度为n的分布,记为~（n）.
n
自由度:
指
2
nXXX
22
12
2
n
中右端包含独立
变量的个数.
定理分布的概率密度为
2（n）
nx
1
1
x2e2
x0
n
n
p（x）
2（）
2
2
0其它
11
2分布即为分布
）,
证明因为（1,
22
又因为2~2
（1）,
X~N（0,1）,由定义X
ii
即
11
2in
Xi
~,,1,2,,.Xi
22
因为
X1相互独立
X,,X
2n
所以
X1也相互独立
2,22
X,,X
2n
n
根据
分布的可加性知
22
n1
nX.
~,i
22
i1
（）.
2n分布的概率密度曲线如图
2
分布的性质
（2分布的可加性性质1）
设
2
1
~
2
（n）,
1
2
2
~
2
（n
2
）,
并且
2
1
2
2
独
立,则
2
1
2
~
2
2
（n
1
n
2
）.
（此性质可以推广到多个随机变量的情形）
设
2
i
2
~（n）,并且
i
2
i
（i1,2,,m
）
相互
独立,则
m
i1
2
i
2
~（nn
12
n
m
）.
（2分布的数学期望和方差性质2）
若（）,则（）,（）2.
2~2nE2nD2n
证明X~N（0,1）,2
因为（）（）1,
所以EiDX
Xi
i
42
2
D312,i1,2,,n.
（XiEXEX
2）（）[（）]
ii
nn
故
E（EX
2）2
2
i
i1i1
E
（Xn,
2）
i
nn
2
DDX
（
2）
i
i1i1
D（X2n.
2）
i
性质3
22
设~（n）,则对任意x,有
n
lim
n
2
n
1
2
t
x
P{edt
n
x}
2
2n
2
n
22
证明由假设和定义,X,其中X,X,,X
ni12n
i1
222独立且每个X~N（0,1）,因而X,X,,X独立同分布,
i12n
且
E
（Xi2DX2in
）1,（）2（1,2,,）
i
由中心极限定理得
lim
n
2
n
P{n
2n
x}
n
2
Xn
1
i
x
limP{1x}
i
nn2
n2
e
2
t
2
dt
即
2
分布的极限分布是正态
分布,
也即,当n很大时
2
n
n
2n
近似服从N（0,1）.进而
2
n
近似
~
N（n,2n）.
例1
设为来自正态总体的一组
X1X,X01
,N（,）
26
样本,
求C,
1
C
使得
2
Y
C（
1
XX
1
2
2
）
C
2
（
X
3
X
4
X
5
X
6
2
）
服从
2
分布
.
XX
解X1N
X~N（0,2）,则12~（0,1）
2
2同理
XXXX
X3N
XXX~N（0,4）,则3456~（0,1）
456
4
且
X1X
2
2
X
3XXX
与456相互独立
4
XXXXXX
222
所以（）（）~
（2）
123456
24
则C11C
2,14
2
.
关于正态总体N,）的样本均值和
（2
样本方差有以下重要定理.
定理
设X,X,,X是总体N（,）的样本,X,S
22
12n
分别是样本均值和样本方差,则有
2
（n1）S1
n
22
（1）（XX）~（n1）;
i22
i1
2
（2）X与S独立.
t
分布3.
2
定义设X~N（0,1）,Y~（n）,且X,Y独立,
X
则称随机变量T服从自由度为n的t
Y/n
分布,记为T~t（n）.
t分布又称学生氏（Student）分布.
t（n）分布的概率密度函数为
h（t）
n
2
πn
1
n
2
1
2
t
n
n1
2
t
t分布的概率密度曲线如图
显然图形是关于
t0对称的.当n充分大时,其图
形类似于标准正态
变量概率密度的图
形.
因为
2
t
1
limh（t）e2
2π
n
所以当n足够大时t分布近似于N（0,1）分布,
但对于较小的n,t分布与N（0,1）分布相差很大.
t分布具有下列性质：
Tn2性质1设~t（n）,则当时有
E（T）0
D（T）
n
n
2
Tp（t）
性质2设~t（n），是T的分布密度，
2t
则
1
limp（t）e
2
2n
此性质说明，当n时，T分布的极限
分布是标准正态分布。
Y
2
例设X~N（,）,~
22
2
（n）,且X,Y相互独立,试求
T
X
Y
n
的概率分布.
X2
解因为X~N（,）,所以~N（0,1）
YXY
2
又~（n）,且X,Y独立,则与独立,
22
由定义得
T
X
Y
（X）/
n2
（Y/）
/n
~
t（n）
定理
设X,X,,X是总体N（,）的
2
12n
2
样本,X,S分别是样本均值和样本方差,则有
X
S/n
~t（n1）.
X
证明~N（0,1）,
/n
（n1）S
2
2
2
~（n1）,
且两者独立,由t分布的定义知
2
XX（n1）S
2
（n1）
S/n/n
~t（n1）.
定理
设与分别是来自
X,X,,XY,Y,,Y
12n12n
12
22
两个正态总体N（,）,N（,）的样本,且这
1122
nn
11
12
两个样本互相独立,设XX,YY分
ii
nn
i1i1
12
别是这两个样本的均值,
nn11
12
2222
S（XX）,S（YY）
1i2i
n1n1
i1i1
12
分别是这两个样本的样本方差,则有
（XY）（）
12
S
w
11
nn
12
~t（nn2）,
12
其中
22
（n1）S（n1）S
211222
S,SS.
www
nn2
12
证明：
因为XY~N
1,
2
2
n
1
2
n
2
（XY）（）
所以U~N（0,1）,
12
11
nn
12
由
2
（n1）S
11
2
2
~（n1）,
1
2
（n1）S
22
2
2
~（n1）,
2
且它们相互独立,2
故由分布的可加性知
V
2
（n1）S
11
2
2
（n1）S
22
2
~
（2nn
2nn
12
2）,
由于U与V相互独立,按t分布的定义
U
V
/（n1n
2
2）
（X
Y）（
1
11
Sw
nn
12
2
）
~
t（n
1n
2
2）.
分布3.F
22
定义设X~（n）,Y~（n）,且X,Y独立,则
12
X/n
称随机变量F服从自由度为（n,n）的F分布,
1
12
Y/n
2
记为
F~F（n,n）.
12
F
（n1,n
2
）分布的概率密度为
（y）
0,
n
n
2
n
2
2
2
1
2
n
1
1
n
1
n
2
n
1
2
y
n
y
1
n
2
n
1
1
2
n
1
n
2
2
y0
其它
F分布的概率密度曲线如图
F分布有以下性质
（1）
若F~F
（n
1
n
2
）,
则
1
F
~
F
（n
2
n
1
）.
（2）
E（F）
n
2
n
2
2
（n
2
2）,
D（F）
2
2
2n
n（n
12
（n
n
2
（n
2
2）
1
2
2）
4）
（n
2
4）
（3）
设F~F
（n
1
n
2
）,则当n
2
4时,
对任意
x有
FE（F）1
x
limP{x}
nD（F）
12
e
2
t
2
dt
这说明F分布极限分布也是正态分布.
例~（）,~（1,）.
3已知Ttn试证T2Fn
证明因为T~t（n）,由定义有
T
X
Yn
2
其中X~N（0,1）,Y~（n）,且X,Y独立,那么
222
X~
（1）,且X与Y独立,
由定义有
2
X
2
T~F（1,n）
Yn
1
由F分布的性质知~F（n,1）
2
T
定理
设与分别是来自
X,X,,XY,Y,,Y
12n12n
12
22
两个正态总体N（,）,N（,）的样本,且这
1122
nn
11
12
两个样本互相独立,设XX,YY分
ii
nn
i1i1
12
别是这两个样本的均值,
nn11
12
2222
S（XX）,S（YY）
1i2i
n1n1
i1i1
12
分别是这两个样本的样本方差,则有
22
S/
11
22
S/
22
~F（n1,n1）;
12
证明
2
（n1）S
11
2
1
2
~（n1）,
1
2
（n1）S
22
2
2
2
~（n1）,
2
22
由假设S1,S2独立,则由F分布的定义知
22（n1）S（n1）S
1122~F（n1,n1）,
1222
（n1）（n1）
1122
22
S/
即11
~F（n1,n1）.
12
22
S/
22
二、概率分布的分位数
定义对于总体X和给定的（01）,若存在
x,使P{Xx}
则称x为X的分布的上侧分位数.
1.正态分布的上侧分位数
u
设X服从标准正态分布N（0,1）,N（0,1）的上
分位点u满足P{Xu}
2
x
1
edx
2
2π
u
1P{Xu}1（u）
即
（u）1
给定,由附表2可查得u的值.
u
0.05
1.645,
u
0.025
1.96,
根据正态分布的对称性知
uu
1
.
定义对于给定的,0
升级会员 