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1、几个常用统计分布第6.3节 几个常用统计分布一、常见分布二、概率分布的分位数三、小结一、常见分布1.正态分布定理 设 相互独立 且r.vX , X , , X ,1 2 n2 X N( , ) (i 1, 2, ,n)i i i则它们的任一确定的线性函数n n n 2 2C X N( C , C ).i i i i i ii 1 i 1 i 1其中C ,C , ,C 为不全为零的常数.1 2 n证明由于X1, X , ,2X独立且均为正态变量,nn 故他们的线性函数i 1C Xi仍为正态变量,i又n n nE ( i X C E X CC ) ( ) i i i i ii 1 i 1 i 1n

2、 n nD 2 2( i X C D X CC ) ( ) i i i ii 1 i 1 i 12i所以n i 1n nC ( , i X N C C 2i i i ii 1 i 12i)推论12设 X , X , 是来自正态总体, X N( , ) 1 2 n的样本,则样本的任一确定的线 性函数n i 1C X N( i inC i 1i, 2nC i 12i).其中C ,1C , , 2C为不全为零的常数n.推论2设 X , X , ,1 22X 是来自正态总体 N( , )n2 的样本, X 是样本均值 , 则有 X N( , / n).推论3设 与 X , X , , X Y ,Y ,

3、 ,1 2 n 1 21Yn2分别是来自两个独立的正态总体 N2( , ),11N( , 222)的样本, 设 Xn n1 11 2 X ,Y in n i 1 i 1 1 2Yi分别是这两个样本的均值,则有X Y N( 1 ,22 1n1 2 2n2)或(X 21 Y/) n 1 / 2n2) N(0,1)2. 2分布定义 设 , , , 相互独立，均服从 (0, 1)X X X N1 2 n分布,则称统计量 服从自由 X X X2 2 2 2n 1 2 n2 2 2度为 n 的 分布, 记为 (n).n自由度 :指 2n X X X2 21 22n中右端包含独立变量的个数 .定理 分布的概

4、率密度为2 (n) n x1 1 x 2 e 2x 0 n np(x) 2 ( )22 0 其它 1 1 2 分布即为 分布 ) ,证明 因为 (1 ,2 2 又因为 2 2(1),X N(0, 1), 由定义 Xi i即 1 1 2 i nXi , , 1, 2, , .Xi 2 2 因为X1 相互独立, X , , X2 n,所以X1 也相互独立2 , 2 2X , , X2 n,n根据 分布的可加性知2 2 n 1 n X . , i2 2 i 1 ( ) .2 n 分布的概率密度曲线如 图2 分布的性质( 2 分布的可加性 性质1 )设 21 2(n ), 1 22 2(n2),并且2

5、 1, 22独立, 则2 12 22(n1 n2).(此性质可以推广到多个随机变量的情形)设 2i2 (n ), 并且 i2i(i 1, 2, , m )相互独立, 则m i 1 2i2 (n n1 2 nm).( 2分布的数学期望和方差 性质2 )若 ( ), 则 ( ) , ( ) 2 .2 2 n E 2 n D 2 n证明 X N(0, 1), 2 因为 ( ) ( ) 1,所以 E i D XX ii4 2 2D 3 1 2, i 1, 2, , n.(Xi E X E X2 ) ( ) ( )i in n 故 E( E X 2 ) 2 2i i 1 i 1E(X n,2 )in n

6、 2D D X ( 2 )i i 1 i 1D(X 2n.2 )i性质32 2设 (n),则对任意x,有nlimn 2 n12t xP e dtn x 2 2n2 n 2 2证明 由假设和定义, X ,其中X , X , , Xn i 1 2 n i 12 2 2 独立且每个X N(0,1),因而X , X , , X 独立同分布,i 1 2 n且E(Xi2 D X 2 i n) 1, ( ) 2 ( 1, 2, , )i由中心极限定理得limn 2 nP n2n xn2X n 1ix lim P 1 x i n n 2 n 2 e 2t2dt即 2分布的极限分布是正态分布,也即,当n很大时

7、2n n2n近似服从N( 0,1).进而 2n近似N(n,2n).例1设 为来自正态总体 的一组X1 X , X 0 1, , N ( , )2 6样本,求C ,1C使得2Y C (1X X122) C2(X3 X4 X5 X62)服从 2分布.X X解 X1 N X N(0,2),则 1 2 (0,1)22 同理X X X XX3 N X X X N(0,4),则 3 4 5 6 (0,1)4 5 64且X1 X22X 3 X X X与 4 5 6 相互独立4X X X X X X2 2 2所以( ) ( ) (2)1 2 3 4 5 6 2 4则C1 1 C 2, 1 42.关于正态总体

8、N , )的样本均值和( 2样本方差有以下重要定 理.定理设 X , X , , X 是总体 N( , )的样本, X ,S 2 21 2 n分别是样本均值和样本方差, 则有2(n 1)S 1n2 2(1) (X X ) (n 1); i 2 2 i 12(2) X 与 S 独立.t分布 3.2定义 设 X N(0, 1), Y (n),且 X, Y 独立,X则称随机变量T 服从自由度为 n的 tY / n分布, 记为T t(n).t 分布又称学生氏(Student)分布.t(n) 分布的概率密度函数为h(t) n 2 n 1 n2 1 2tn n 12, t t分布的概率密度曲线如 图显然图

9、形是关于t 0对称的. 当n充分大时, 其图形类似于标准正态变量概率密度的图形.因为2t1 lim h(t) e 22n ,所以当n足够大时t分布近似于N( 0,1)分布,但对于较小的 n, t分布与 N ( 0,1)分布相差很大 .t 分布具有下列性质：T n 2 性质1 设 t(n) , 则当 时有E(T ) 0D(T) nn 2T p (t )性质2 设 t(n) ， 是T的分布密度，2 t则1 lim p(t) e22 n 此性质说明，当n 时，T分布的极限分布是标准正态分布。Y2例 设X N( , ), 2 22 (n),且X,Y相互独立,试求T X Y n的概率分布.X 2解 因为

10、X N( , ),所以 N(0,1) Y X Y2又 (n),且X,Y独立,则 与 独立,2 2 由定义得T X Y (X )/ n 2(Y / ) / nt(n)定理设 X , X , , X 是总体 N( , )的 21 2 n2样本, X , S 分别是样本均值和样本方差, 则有X S / n t(n 1).X 证明 N(0,1), / n(n 1)S2 22 (n 1) ,且两者独立, 由 t 分布的定义知2X X (n 1)S 2 (n 1)S / n / n t(n 1).定理设 与 分别是来自X , X , , X Y , Y , , Y1 2 n 1 2 n1 22 2两个正态

11、总体 N ( , ), N ( , )的样本, 且这1 1 2 2n n1 11 2 两个样本互相独立, 设 X X ,Y Y 分i in n i 1 i 1 1 2别是这两个样本的均值,n n 1 11 2 2 2 2 2S (X X ) , S (Y Y )1 i 2 in 1 n 1 i 1 i 1 1 2分别是这两个样本的样本方差, 则有(X Y ) ( )1 2Sw1 1 n n1 2 t(n n 2),1 2其中2 2(n 1)S (n 1)S2 1 1 2 2 2S , S S .w w wn n 21 2证明： 因为 X Y N 1 ,22 n1 2 n2 (X Y ) ( )

12、所以U N( 0,1),1 21 1 n n1 2由2(n 1)S1 12 2 (n 1) ,12(n 1)S2 22 2 (n 1) ,2且它们相互独立 , 2故由 分布的可加性知V2(n 1)S 1 12 2(n 1)S2 22 (2 n n 2 n n 1 22),由于 U 与V 相互独立,按 t 分布的定义UV/(n1 n 22) (X Y ) ( 11 1Sw n n1 2 2)t(n1 n 22).分布 3. F2 2定义 设 X (n ), Y (n ), 且X , Y 独立, 则1 2X / n称随机变量 F 服从自由度为(n , n )的 F 分布, 11 2Y / n2记为

13、F F(n , n ).1 2F(n1, n2)分布的概率密度为 ( y) 0, n n2n22 21 2 n1 1 n1n2 n12yny1n2n1 12n 1 n22, y 0其它F分布的概率密度曲线如 图F分布有以下性质(1)若F F(n1,n2),则1FF(n2,n1).(2)E(F ) n2n2 2, (n 22),D(F ) 222nn (n1 2(n n 2(n 22)1 22)4), (n 24)(3)设F F(n1,n2),则当n 24时,对任意x有F E(F) 1x lim P xn D(F) 1 2e 2t2dt这说明F分布极限分布也是正态分布.例 ( ), (1, ).

14、3 已知T t n 试证 T 2 F n证明 因为T t(n),由定义有T XY n2其中X N(0,1),Y (n),且X ,Y独立,那么2 2 2X (1),且X 与Y独立,由定义有2X2T F(1, n)Y n1由F分布的性质知 F (n,1)2T定理设 与 分别是来自X , X , , X Y , Y , , Y1 2 n 1 2 n1 22 2两个正态总体 N ( , ), N ( , )的样本, 且这1 1 2 2n n1 11 2 两个样本互相独立, 设 X X ,Y Y 分i in n i 1 i 1 1 2别是这两个样本的均值,n n 1 11 2 2 2 2 2S (X X

15、 ) , S (Y Y )1 i 2 in 1 n 1 i 1 i 1 1 2分别是这两个样本的样本方差, 则有2 2S / 1 12 2S / 2 2 F(n 1, n 1);1 2证明2(n 1)S1 12 12 (n 1) ,12(n 1)S2 22 22 (n 1),22 2由假设 S1 , S2 独立, 则由 F 分布的定义知2 2 (n 1)S (n 1)S1 1 2 2 F(n 1, n 1),1 2 2 2(n 1) (n 1) 1 1 2 22 2S / 即 1 1 F(n 1, n 1) . 1 22 2S / 2 2二、概率分布的分位数定义 对于总体X和给定的 (0 1),若存在x ,使 PX x 则称x 为X的分布的上侧 分位数. 1.正态分布的上侧分位数u 设 X 服从标准正态分布 N(0,1), N(0,1)的上 分位点 u 满足 PX u 2x1 e dx22u 1 PX u 1 (u ) 即 (u ) 1 给定 ,由附表2可查得u 的值. u0.05 1.645,u0.025 1.96,根据正态分布的对称性知u u1 .定义对于给定的 , 0