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运筹学习题

第一章习题

1.思考题

（2）线性规划的标准形有哪些限制？

如何把一般的线性规划化为标准形式？

（3）图解法主要步骤是什么？

从中可以看出线性规划最优解有那些特点？

（4）什么是线性规划的可行解，基本解，基可行解？

引入基本解和基可行解有什么作用？

（5）对于任意基可行解，为什么必须把目标函数用非基变量表示出来？

什么是检验数？

它有什么作用？

如何计算检验数？

（6）确定换出变量的法则是什么？

（7）如何进行换基迭代运算？

（10）如何判定线性规划有唯一最优解，无穷多最优解和无最优解？

为什么？

2.建立下列问题的线性规划模型：

（1）某厂生产A，B，C三种产品，每件产品消耗的原料和设备台时如表1-18所示：

表1-18

产品

A

B

C

资源数量

原料单耗

机时单耗

2

2.5

3

3

5

6

2000

2600

利润

10

14

20

另外，要求三种产品总产量不低于65件，A的产量不高于B的产量。

试制定使总利润最大的模型。

（2）某公司打算利用具有下列成分（见表1-19）的合金配制一种新型合金100公斤，新合金含铅，锌，锡的比例为3：

2：

5。

表1-19

合金品种

1

2

3

4

5

含铅%

含锌%

含锡%

30

60

10

10

20

70

50

20

30

10

10

80

50

10

40

单价（元/kg）

8.5

6.0

8.9

5.7

8.8

如何安排配方，使成本最低？

（3）某医院每天各时间段至少需要配备护理人员数量见表1-20。

表1-20

班次

时间

最少人数

1

2

3

4

5

6

6:

00－10:

00

10:

00－14:

00

14:

00－18:

00

18:

00－22:

00

22:

00－2:

00

2:

00－6:

00

60

70

60

50

20

30

假定每人上班后连续工作8小时，试建立使总人数最少的计划安排模型。

能否利用初等数学的视察法，求出它的最优解？

3.用图解法求下列线性规划的最优解：

4.把下列线性规划化为标准形式：

5.判定下列集合是否凸集：

（1）R1=｛（x1,x2）|x12+2x22≤2｝

（2）R2=｛（x1,x2）|x12－2x2+3≥0,x2≥0,|x1|≤1｝

（3）R3=｛（x1,x2）|x1x2≥1,x1≥1,x2≥0｝

7.求下列线性规划的解：

（1）

（2）

9.对于问题

（1）设最优解为X*，当C改为

时，最优解为

，则

。

（2）如果X1，X2均为最优解，则对于α∈[0，1]，αX1+（1－α）X2均为最优解。

11.表1-21是一个求极大值线性规划的单纯形表，其中x4，x5，x6是松弛变量。

表1-21

cj

2

2

CB

XB

b

x1

x2

x3

x4

x5

x6

2

x5

x2

x1

2

1

4

1

-1

2a

2

1

-1

-1

-2

-a+8

σj

-1

（1）把表中缺少的项目填上适当的数或式子。

（2）要使上表成为最优表，a应满足什么条件？

（3）何时有无穷多最优解？

（4）何时无最优解？

（5）何时应以x3替换x1？

第二章习题

1.思考题

（1）如何在以B为基的单纯形表中，找出B－1？

该表是怎样由初始表得到的？

（2）对偶问题的构成要素之间，有哪些对应规律？

（3）如何从原问题最优表中，直接找到对偶最优解？

（4）叙述互补松弛定理及其经济意义。

（5）什么是资源的影子价格？

它在经济管理中有什么作用？

（6）对偶单纯形法有哪些操作要点？

它与单纯形法有哪些相同，哪些地方有区别？

（7）灵敏度分析主要讨论什么问题？

分析的基本思路是什么？

四种基本情况的分析要点是什么？

2.已知某线性规划的初始单纯形表和最终单纯形表如表2-21，请把表中空白处的数字填上，并指出最优基B及B－1。

表2-21

cj

2

-1

1

0

0

0

CB

XB

b

x1

x2

x3

x4

x5

x6

0

0

0

x4

x5

x6

3

1

1

1

-1

1

1

2

-1

1

0

0

0

1

0

0

0

1

σj

2

-1

1

0

0

0

0

2

-1

x4

x1

x2

10

15

5

-1

1/2

-1/2

-2

1/2

1/2

σj

3.某个线性规划的最终表是表2-22：

表2-22

cj

0

1

-2

0

0

CB

XB

b

x1

x2

x3

x4

x5

0

1

-2

x1

x2

x3

13/2

5/2

1/2

1

0

0

0

1

0

0

0

1

-1/2

-1/2

-1/2

5/2

3/2

1/2

σj

0

0

0

-1/2

-1/2

初始基变量是x1，x4，x5。

（1）求最优基B=（P1，P2，P3）；

（2）求初始表。

4.写出下列线性规划的对偶问题：

5.已知线性规划

（1）写出它的对偶问题；

（2）引入松弛变量，化为标准形式，再写出对偶问题；

（3）引入人工变量，把问题化为等价模型：

再写出它的对偶问题。

试说明上面三个对偶问题是完全一致的。

由此，可以得出什么样的一般结论？

6.利用对偶理论说明下列线性规划无最优解：

7.已知表2-23是某线性规划的最优表，其中x4，x5为松弛变量，两个约束条件为≤型。

表2-23

cj

CB

XB

b

x1

x2

x3

x4

x5

x3

x1

5/2

3/2

0

1

1/2

-1/2

1

0

1/2

-1/6

0

1/3

σj

0

-4

0

-4

-2

（1）求价值系数cj和原线性规划；

（2）写出原问题的对偶问题；

（3）由表2-23求对偶最优解。

8.已知线性规划问题

（1）写出对偶问题；

（2）已知原问题的最优解为X*=（1，1，2，0）T，求对偶问题的最优解。

9*.已知线性规划

的最优解为X*=（0，0，4）T。

（1）写出对偶问题；

（2）求对偶问题最优解。

10.用对偶单纯形法解下列各线性规划：

12*.已知线性规划

（1）写出对偶问题，用图解法求最优解；

（2）利用对偶原理求原问题最优解。

13.线性规划

的最优单纯形表如表2-24所示。

表2-24

cj

2

-1

1

0

0

CB

XB

b

x1

x2

x3

x4

x5

2

0

x1

x5

6

10

1

0

1

3

1

1

1

1

0

1

σj

0

-3

-1

-2

0

（1）x2的系数c2在何范围内变化，最优解不变？

若c2=3，求新的最优解；

（2）b1在何范围内变化，最优基不变？

如b1=3，求新的最优解；

（3）增加新约束－x1+2x3≥2，求新的最优解；

（4）增加新变量x6，其系数列向量P6=

，价值系数c6=1，求新的最优解。

14.某厂生产甲、乙、丙三种产品，有关资料如表2-25所示。

表2-25

甲

乙

丙

原料数量

A

B

6

3

3

4

5

5

45

30

产品价格

4

1

5

（1）建立使总产值最大的线性规划模型；

（2）求最优解，并指出原料A，B的影子价格；

（3）产品甲的价格在什么范围内变化，最优解不变？

（4）若有一种新产品，其原料消耗定额为：

A为3单位，B为2单位，价格为2.5单位，求新的最优计划。

；

（5）已知原料B的市场价为0.5单位，可以随时购买，而原料A市场无货。

问该厂是否应购买B，购进多少为宜？

新的最优计划是什么？

（6）由于某种原因，该厂决定暂停甲产品的生产，试重新制定最优生产计划。

第三章习题

1．表3—35和表3—36分别给出了各产地和各销地的产量和销量，以及各产地至各销地的单位运价，试用表上作业法求最优解。

表3—35

销地

产地

B1

B2

B3

B4

产量

A1

A2

A3

3

5

9

6

3

7

2

6

7

6

4

8

55

70

75

销量

40

45

55

60

200

表3-36

销地产地

B1

B2

B3

B4

产量

A1

A2

A3

9

7

8

5

2

3

6

7

4

7

6

8

30

25

45

销量

20

20

25

35

100

2．试求表3-37给出的产销不平衡运输问题的最优解。

表3-37

销地产地

B1

B2

B3

B4

产量

A1

A2

A3

2

10

7

11

3

8

3

5

1

4

9

2

7

5

7

销量

2

3

4

6

第四章习题

1.已知条件如表所示

工序

型号

每周最大加工能力

A

B

Ⅰ（小时/台）

Ⅱ（小时/台）

4

3

6

2

150

70

利润（元/台）

300

450

如果工厂经营目标的期望值和优先等级如下：

p1:

每周总利润不得低于10000元；

p2:

因合同要求，A型机每周至少生产10台，B型机每周至少生产15台；

p3:

希望工序Ⅰ的每周生产时间正好为150小时，工序Ⅱ的生产时间最好用足，甚至可适当加班。

试建立这个问题的目标规划模型。

2.在上题中，如果工序Ⅱ在加班时间内生产出来的产品，每台A型机减少利润10元，每台B型机减少利润25元，并且工序Ⅱ的加班时间每周最多不超过30小时，这是p4级目标，试建立这个问题的目标规划模型。

3.用图解法解下列目标规划模型。

4.用目标规划的单纯形方法解以下目标规划模型。

5.给定目标规划问题：

（a）求该目标规划问题的满意解；

（b）若约束右端项增加Δb=（0，0，5）T，问满意解如何变化？

（c）若目标函数变为

，则满意解如何变化？

（d）若第二个约束右端项改为45，则满意解如何变化？

6.某纺织厂生产两种布料，一种用来做服装，另一种用来做窗帘。

该厂实行两班生产，每周生产时间定为80小时。

这两种布料每小时都生产1000米。

假定每周窗帘布可销售70000米，每米的利润为2.5元；衣料布可销售45000米，每米的利润为1.5元。

该厂在制定生产计划时有以下各级目标：

p1：

每周必须用足80小时的生产时间；

p2：

每周加班时数不超过10小时；

p3：

每周销售窗帘布70000米，衣料布45000米；

p4：

加班时间尽可能减少。

试建立这个问题的目标规划模型。

第五章习题

5.1某钻井队要从以下10个可供选择的井位中确定5个钻井探油，使总的钻井费用最小。

若10个井位的代号为

，相应的钻井费用为

，并且井位选择上要满足下列限制条件：

①或选择

和

，或选择钻探

；

②选择了

或

就不能选

，或反过来也一样；

③在

中最多只能选两个；试建立这个问题的整数规划模型。

5.2某市为方便学生上学，拟在新建的居民小区增设若干所小学。

已知备选校址代号及其能覆盖的居民小区编号如表5–2所示，问为覆盖所有小区至少应建多少所小学，要求建模并求解。

表5–12

备选校址代号

覆盖的居民小区编号

A

1，5，7

B

1，2，5

C

1，3，5

D

2，4，5

E

3，6，

F

4，6，

5.3一货船，有效载重量为24吨，可运输货物重量及运费收入如表5-13所示，现货物2、4中优先运2，货物1、5不能混装，试建立运费收入最多的运输方案。

表5-13

货物

1

2

3

4

5

6

重量（吨）

5

9

8

7

10

23

收入（万元）

1

4

4

3

5

7

5.4用分支定界法求解下列整数规划问题

（1）

（2）

5.5用割平面法求解下列整数规划问题

（1）

（2）

5.7用匈牙利法求解下列指派问题，已知效率矩阵分别如下：

5.8已知下列五名运动员各种泳姿的运动成绩（各为50米）如表5-14所示，请问如何从中选择一个参加200米混合泳的接力队，使预期比赛成绩最好。

表5-14单位：

秒

赵

钱

张

王

周

仰泳

37.7

32.9

33.8

37.0

35.4

蛙泳

43.4

33.1

42.2

34.7

41.8

蝶泳

33.3

28.5

38.9

30.4

33.6

自由泳

29.2

26.4

29.6

28.5

31.1

5.9分配甲、乙、丙、丁四个人去完成五项任务。

每人完成各项任务时间如表5-15所示。

由于任务数多于人数，故规定其中有一个人可兼完成两项任务，其余三人每人完成一项。

试确定总花费时间为最少的指派方案。

表5-15

人任务

A

B

C

D

E

甲

25

29

31

42

37

乙

39

38

26

20

33

丙

34

27

28

40

32

丁

24

42

36

23

45

5.10从甲、乙、丙、丁、戊五个人中挑选四人完成四项工作。

已知每人完成各项工作的时间如表5-16所示。

规定每项工作只能由一个人单独去完成，每个人最多承担一项任务。

又假定对甲必须保证分配一项任务，丁因某种原因决定不同意承担第4项任务，在满足上述条件下，如何分配工作，使完成四项工作总的花费时间最少。

表5–16

工作人

甲

乙

丙

丁

戊

1

10

2

3

15

9

2

5

10

15

2

4

3

15

5

14

7

15

4

20

15

13

6

8

第6章习题

6．用标号法求下面网络的最大流.

9．如图8—35，发点S1，S2分别可供应10和15个单位，收点T1和T2可接收10个和25个单位，求最大流，边上的数为

。