数学分析答案.docx

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数学分析答案

历届美赛赛题（2001-2006）

AMCM2001问题-A:

选择自行车车轮

有不同类型的车轮可以让自行车手们用在自己的自行车上。

两种基本的车轮类型是分别用金属辐条和实体圆盘组装而成（见图1）。

辐条车轮较轻，但实体车轮更符合空气动力学原理。

对于一场公路竞赛，实体车轮从来不会用作自行车的前轮但可以用作后轮。

职业自行车手们审视竞赛路线，并且请一位识文断字的人推断应该使用哪种车轮。

选择决定是根据沿途山丘的数量和陡度，天气，风速，竞赛本身以及其他考虑作出的。

你所喜爱的参赛队的教练希望准备妥当一个较好的系统，并且对于给定的竞赛路线已经向你的参赛队索取有助于确定宜用哪种车轮的信息。

这位教练需要明确的信息来帮助作出决定，而且已经要求你的参赛队完成下面列出的各项任务。

对于每项任务都假定，同样的辐条车轮将总是装在前面，而装在后面的车轮是可以选择的。

任务1.提供一个给出风速的表格，在这种速度下实体后轮所需要的体能少于辐条后轮。

这个表格应当包括相应于从百分之零到百分之十增量为百分之一的不同公路陡度的风速。

（公路陡度定义为一座山丘的总升高除以公路长度。

如果把山丘看作一个三角形，它的陡度是指山脚处倾角的正弦。

）一位骑手以初始速度45kph从山脚出发，他的减速度与公路陡度成正比。

对于百分之五的陡度，骑上100米车速要下降8kph左右。

任务2.提供一个例证，说明这个表格怎样用于一条时间试验路线。

任务3.请判明这个表格是不是一件决定车轮配置的适当工具，并且关于如何作出这个决定提出其他建议。

AMCM2001问题-B逃避飓风怒吼（一场恶风…）

1999年，在Floyd飓风预报登陆之前，撤离南卡罗来纳州沿海地区的行动导致一场永垂青史的交通拥塞。

车水马龙停滞在州际公路I-26上，那是内陆上从Charleston通往该州中心Columbia相对安全处所的主要干线。

正常时轻松的两个小时驱车路要用上18个小时才能开到头。

许多车竟然沿途把汽油消耗净尽。

幸运的是，Floyd飓风掉头长驱北上，这次放过了南卡罗来纳州，但是，公众的喧嚷正在迫使该州官员们寻找各种办法，以求避免这场交通恶梦再度出现。

倾力解决这个问题的主要提议是I-26公路上的车辆转向疏散，因此，包括通往海岸的多条次级公路在内，从两个侧面疏导车流在内陆从Charleston开往Columbia。

把提议付诸实施的计划已经由SouthCarolinaEmergencyPreparednessDivision准备好（而且贴在互联网上）。

从MyrtleBeach和HiltonHead通往内地的主干道上车辆转向疏散的方案也在规划中。

这里有一张南卡罗来纳州的简化地图。

Charleston有近500,000人，MyrtleBeach有200,000人左右，而另一个250,000人分散在沿岸其余地区。

（如果查找，更精确的数据随处可用。

州与州之间有两条车辆往来的次级公路，自然大都市地区除外，那里有三条。

Columbia，又一个500,000人左右的大都市地区，没有充足的旅店空间为撤退者提供食宿（包括沿其他路线来自大北边的一些人），所以，若干车辆继续撤离，沿着I-26公路开往Spartanburg市；沿着I-77公路北上Charlotte市；而且沿着I-20公路东进Atlanta市。

在1999年，从Columbia开往西北方向的车辆行进得非常慢。

对这个问题建立一个模型，调查研究哪种策略可以降低在1999年观察到的拥挤。

这里有一些问题需要加以考虑：

在什么条件下，把I-26的两条开往海岸的次级公路变成开往Columbia的两条次级公路，特别是把整个I-26变成单行道会使撤离交通状况得到重大改善？

在1999年，南卡罗来纳州的整个沿海地区奉命同时撤离。

如果采取另一种策略，逐个郡按某个时间段错开撤离，同时与飓风对沿岸影响的模式相协调，撤离交通状况会改善吗？

在I-26公路旁边有若干较小的高速公路从海岸延伸到内陆。

在什么条件下，把车辆流转向这些道路会改善撤离交通？

在Columbia建立更多临时收容所来减少离开Columbia的车辆，这会对撤离交通状况有什么影响？

在1999年，离开海岸的许多家庭一路上携带他们的船只，露营设备和汽车住宅。

许多家庭驾驶他们的所有汽车。

在什么条件下，应当对携带的车辆类型或车辆数目加以限制以求保证适时撤离？

在1999年，人们还会记得，若干Georgia州andFlorida州的沿岸居民逃避较早预报的Floyd飓风南部登陆，沿着I-95公路北上而加重了南卡罗来纳州交通问题。

他们对于撤离交通的冲击会有多大？

要清楚地指明，为了比较各种策略，使用什么方法对实施状况予以评测。

要求：

预备一篇简短的报刊文章，不超过两页，向公众解释你的研究成果和结论。

AMCM2002问题-A风和喷水池

在一个楼群环绕的宽阔的露天广场上，装饰喷泉把水喷向高空。

刮风的日子，风把水花从喷泉吹向过路行人。

喷泉射出的水流受到一个与风速计（用于测量风的速度和方向）相连的机械装置控制，前者安装在一幢邻近楼房的顶上。

这个控制的实际目标，是要为行人在赏心悦目的景象和淋水浸湿之间提供可以接受的平衡：

风刮得越猛，水量和喷射高度就越低，从而较少的水花落在水池范围以外。

你的任务是设计一个算法，随着风力条件的变化，运用风速计给出的数据来调整由喷泉射出的水流。

AMCM2002问题-B航空公司超员订票

你备好行装准备去旅行，访问NewYork城的一位挚友。

在检票处登记之后，航空公司职员告诉说，你的航班已经超员订票。

乘客们应当马上登记以便确定他们是否还有一个座位。

航空公司一向清楚，预订一个特定航班的乘客们只有一定的百分比将实际乘坐那个航班。

因而，大多数航空公司超员订票?

也就是，他们办理超过飞机定员的订票手续。

而有时，需要乘坐一个航班的乘客是飞机容纳不下的，导致一位或多位乘客被挤出而不能乘坐他们预订的航班。

航空公司安排延误乘客的方式各有不同。

有些得不到任何补偿，有些改订到其他航线的稍后航班，而有些给予某种现金或者机票折扣。

根据当前情况，考虑超员订票问题：

航空公司安排较少的从A地到B地航班

机场及其外围加强安全性

乘客的恐惧

航空公司的收入迄今损失达数千万美元

建立数学模型，用来检验各种超员订票方案对于航空公司收入的影响，以求找到一个最优订票策略，就是说，航空公司对一个特定的航班订票应当超员的人数，使得公司的收入达到最高。

确保你的模型反映上述问题，而且考虑处理“延误”乘客的其他办法。

此外，书写一份简短的备忘录给航空公司的CEO（首席执行官），概述你的发现和分析。

AMCM2003问题-A:

特技演员

影片在拍摄中,一个激动人心的动作场景将要摄入镜头,而你是特技协调员!

一位特技演员驾驶着摩托车跨越一头大象，随后跌落在借以缓冲的一堆纸箱上.你需要保护特技演员,而且,也要使用相对而言较少的纸箱（较低的花费,不能进入镜头,等等）。

你的工作如下：

确定所用纸箱的大小?

确定所用纸箱的数目?

确定纸箱的堆放办法?

还请确定,通过对纸箱的各种调整,是否会有所帮助?

请把你的研究推广到不同组合重量（特技演员&摩托车）和不同跨越高度的情形

留心一下,在影片“明日帝国”中，角色JamesBond驾驶着摩托车飞过一架直升机。

AMCM2003问题-B:

Gamma刀治疗方案

立体定位放射外科,用单一高剂量离子化射束在X光机精确界定下照射颅内的一个小的3D脑瘤,与此同时,并没有处方剂量的任何显著份额伤及周边的脑组织.在这个领域中,一般有三种形式的射束可以采用，分别是Gamma刀单元,带电重粒子射束,以及来自直线加速器的外用高能光子束.

Gamma刀单元具备的单一高剂量离子化射束,是201个钴-60单位源通过厚重的盔状物发射出来的。

所有的201条射束同时交会于一个等中心（最大放射剂量点），从而在有效剂量的水平上形成一个近似球形的剂量分布.照射这个等中心来达到处方剂量称为一个“shot”.

多个shot可以表述为不同的球.四个可以互换的外部校准的盔状物分别具有4，8，14和18mm的射束通道直径,都可以用来照射不同尺寸的体积.对于大于一个“shot”的目标体积，可以用多个shot来覆盖整个目标.实际上,大多数目标体积要用1到15个“shot”加以处理.在这里,目标体积是一个有界的通常包含数百万个点的三维数字图象。

放射外科学的目的是消除肿瘤细胞同时保存正常的结构.由于治疗过程中会涉及物理限制和生物不确定性，一个治疗方案就需要考虑到所有那些限制和不确定性。

一般而言，一个最优的治疗方案需要符合如下的要求：

?

穿过目标体积的剂量梯度最小

为目标体积配置特异性的相同剂量轮廓线?

为目标和关键器官配置特异性的剂量-体积限制条件?

?

对正常组织或器官的整个体积照射要剂量总和最小

对指定的正常组织点的剂量要限制在忍耐剂量以下?

使关键体积所需的最大剂量达到最小?

在Gamma单元治疗方案中，有以下限制：

禁止“shot”伸展到目标以外?

禁止“shot”交迭（避免热点）?

?

用有效的剂量覆盖尽可能多的目标体积，但至少90%目标体积要被“shot”覆盖

用尽可能少的“shot”?

你的任务是用球体填充问题模型来建立最优的Gamma刀治疗方案，并且提出一个求解的算法.在设计算法时你要记住:

它必须是相当有效率的。

AMCM2004问题-A：

指纹是独一无二的吗？

人们普遍认为世界上每一个活人的指纹都是不一样的，请设计一个模型，并且用该模型分析以上说法正确的可能性，比较一下因为指纹相同导致确认身份时产生错误的可能性和因为DNA相同导致产生错误的可能性。

AMCM2004问题-B：

更快的快通系统

现在的快通系统在收费站、娱乐公园和其他的地方，正在被越来越频繁的使用，来减少人们排队等候的时间，现在我们考虑为一个娱乐公园所设计的快通系统，在一次测试当中，这个公园在几个游客比较多的景点旁边都设置了快通系统，这个系统的设计创意是对于那些比较热门的景点，可以到旁边的一个机器，将门票插入后出来一张纸条，上面写着在具体的时间段你可以回来，比如说你把你的门票在1：

15查到机子里，系统就告诉你你可以在3：

30－4：

30回来，这个时候队伍就比较短，你可以凭你的纸条加入这个队伍，很快就可以进入景点，为了防止游客同时在几个景点使用这个系统。

系统的机器只允许你一次在一个景点排队等待。

现在你是几个被公园雇佣的相互竞争的一个，你的职责是改善快通系统的运行。

很多游客都在抱怨测试期间系统的异常现象，比如说有一次系统提供的回到景的时间是4小时以后，但是才过一小会，在相同的景点系统提供的时间只有1小时。

在另外一些时候根据快通系统组织起来的游客的等候队伍，就和普通的队伍一样长一样慢。

现在的问题是要提出并且测试一个模型，这个模型能让快通系统的等候纸条的发放能增加人们在公园的乐趣的目的。

问题的一部分就是首先要决定衡量不同模型的标准，在你提交的报告里还要附带一份非技术性的总结，以便公园的领导，在不同的顾问所提的模型当中选择。

2005A.水灾计划

南卡罗来纳州中部的磨累河是由北部的一个巨大水坝形成的，这是在1930年为了发电而修建的，模拟一起洪水淹没下游的事件，这起事件是由于一次灾难性的地震损毁了水坝造成的。

两个问题：

RawlsCreek是水坝下游流入Saluda河的一条终年流动的河流，则当水坝损毁后在RawlsCreek将会出现多大的洪流，洪水的波及面将有多大？

S.C.国会大厦大楼在一座小山上，在S.C.国会大厦大楼能俯视Congaree河。

洪水能如此巨大顺流以致于水将扩展到S.C.国会大厦大楼吗？

2005B.Tollbooths

收费亭

Heavily-traveledtollroadssuchastheGardenStateParkway,Interstate95,andsoforth,aremulti-lanedividedhighwaysthatareinterruptedatintervalsbytollplazas.

像GardenStateParkway，Interstate95等等这样的长途收费公路，通常是多行道的，被分成几条高速公路，在这些高速公路上每隔一定的间隔会设立一个通行税收费广场。

Becausecollectingtollsisusuallyunpopular,itisdesirabletominimizemotoristannoyancebylimitingtheamountoftrafficdisruptioncausedbythetollplazas.

因为征收通行税通常不受欢迎，所以应该尽量减少通过通行税收费广场引起的交通混乱给汽车司机带来的烦恼。

Commonly,amuchlargernumberoftollboothsisprovidedthanthenumberoftravellanesenteringthetollplaza.

通常，收费亭的数量要多于进入收费广场的道路的数量。

Uponenteringthetollplaza,theflowofvehiclesfansouttothelargernumberoftollbooths,andwhenleavingthetollplaza,theflowofvehiclesisrequiredtosqueezebackdowntoanumberoftravellanesequaltothenumberoftravellanesbeforethetollplaza.

进入通行税收费广场的时候，流到大量收费亭的车辆呈扇形展开，当离开通行税收费广场的时候，车流将只能按照收费广场前行车道路的数量排队按次序通过！

Consequently,whentrafficisheavy,congestionincreasesupondeparturefromthetollplaza.

从而，当交通是拥挤的时，拥挤在违背通行税广场上增加。

Whentrafficisveryheavy,congestionalsobuildsattheentrytothetollplazabecauseofthetimerequiredforeachvehicletopaythetoll.

当交通非常拥挤的时候，因为每车辆付通行费的时间要求，阻塞也会出现在通行税收费广场的入口处。

Makeamodeltohelpyoudeterminetheoptimalnumberoftollboothstodeployinabarrier-tollplaza.

建立一个模型来确定在一个容易造成阻塞的通行税收费广场中应该部署的最优的收费亭的数量。

Explicitlyconsiderthescenariowherethereisexactlyonetollboothperincomingtravellane.

需要保证每一个进入收费广场的交通线路上都仅有一个收费亭。

Underwhatconditionsisthismoreorlesseffectivethanthecurrentpractice?

与当今的实践相比较，在什么条件下这或多或少有效？

Notethatthedefinitionof"optimal"isuptoyoutodetermine.

注意：

"最佳"的定义由你自己决定。

2006问题A:

用于灌溉的自动洒水器的安置和移动调度

有各种各样的技术可以利用在灌溉领域。

技术范围从先进的滴水系统到周期性淹灌系统。

其中有一种常被使用在较小农场的"手移动"灌溉系统：

带着洒水喷头的轻质铝管横贯田地,通过周期性的手动移动来保证整块田地都能得到充足的水分。

这种类型的灌溉系统相对于其它系统来说，价格更加便宜且更容易维护。

特别是它还比较灵活,可以在各种各样的田地或庄稼地中使用。

它的缺点在于,需要很多的时间和精力来移动灌溉设备并且需要按照规则的间隔进行设备的安装。

假设使用这种类型的灌溉系统灌溉一块80X30米的矩形田地,该怎样配置可以使得灌溉时间最少？

为完成这项工作，您需要找到一个灌溉算法使得灌溉时间最少，要求灌溉系统仅有一个农夫来维护。

田地里经常会使用管子组。

您应该确定喷头的数量和喷头之间的间距,并且您应该制定一张管子移动的日程表,其中包括要移动到的具体位置。

管子组是由一些可以连成一条直线的水管组成的。

每个管子内径10cm，带有一些内径0.6cm可转动的喷嘴，管子20米长。

水源地的水压是420千帕斯卡，流速是每分钟150公升。

田地的水量每小时不超过0.75cm,并且每4天至少需2厘米的水。

水应该尽可能被用。

注意里面几根管子连接在一起一共是20米，翻译的时候由于仓卒翻译有问题！

2006问题B:

通过机场的轮椅

在航空旅行中有一件令人头疼的事，那就是旅途中需要通过多个机场,并且每次中转都要求旅客换乘另外一架飞机。

对于一些行走不便的旅客来说走到另一架飞机的候机室是非常困难的。

航空公司解决这种问题的一个简单方法是为那些需要帮助的旅客提供轮椅和一名伴游。

这需要对旅客的情况有所了解,但这一点在旅客在机场登记的时候是做不到的。

很多情况下，航空公司是在飞机在机场着陆的时候才得到通知的。

航空公司一直希望降低费用开销。

轮椅价格昂贵且比较容易破损，需要经常维护。

并且雇用伴游也需要费用。

为了保证有需要的旅客在飞机着陆后能够及时得到服务，伴游和轮椅必须经常在机场附近备用。

在一些大型机场，横穿机场的时间也是相当可观的。

轮椅必须被存放在某处,但在机场空间是非常昂贵且有限的。

并且将轮椅放在高交通区带来的风险如同推着它们到处移动一样。

费用中最大的要数某个旅客由于没有伴游帮助耽误了登机使得飞机无法起飞带来的费用。

后者的费用更加棘手，因为它将直接导致航空公司的平均飞行延迟增加，最终使得一些潜在的顾客放弃选择航空。

Epsilon航空公司要求第三方帮助他们进行对保留和维护轮椅和伴游的问题和费用的一个详细的分析。

航空公司需要制定一个全天使用的、比较经济的轮椅的调度方案。

并且需要短期和长期的费用预算。

Epsilon航空公司对这个问题公开招标解决。

您的标书应该包括对情况的概要和分析。

包括对于伴游和轮椅的全天运动的详细调度算法。

目标是尽可能地降低总成本。

为了确保您能中标。

您必须通过一些有力的实例来说明您的解答是最佳,并且说明它能够适应大机场使用，适应各种各样的环境。

您的标书应该包括算法在大型（至少4个广场）,中型（至少二个广场）,小型（一个广场）机场的使用实例，其中需要包括在人流量高峰和普通时的情况。

您应该说明所有的潜在费用并说明它们各自的关键性比重。

标书中还要涉及当旅客中有很大比例的老人或需要帮助的人的情况,他们通常需要花费更多的时间来换机。

您的报告还应该涉及为了适应未来的发展需要应该出现的潜在费用和投入。

旅客换乘另外一架飞机。

对于一些行走不便的旅客来说走到另一架飞机的候机室是非常困难的。

航空公司解决这种问题的一个简单方法是为那些需要帮助的旅客提供轮椅和一名伴游。

这需要对旅客的情况有所了解,但这一点在旅客在机场登记的时候是做不到的。

很多情况下，航空公司是在飞机在机场着陆的时候才得到通知的。

航空公司一直希望降低费用开销。

轮椅价格昂贵且比较容易破损，需要经常维护。

并且雇用伴游也需要费用。

为了保证有需要的旅客在飞机着陆后能够及时得到服务，伴游和轮椅必须经常在机场附近备用。

在一些大型机场，横穿机场的时间也是相当可观的。

轮椅必须被存放在某处,但在机场空间是非常昂贵且有限的。

并且将轮椅放在高交通区带来的风险如同推着它们到处移动一样。

费用中最大的要数某个旅客由于没有伴游帮助耽误了登机使得飞机无法起飞带来的费用。

后者的费用更加棘手，因为它将直接导致航空公司的平均飞行延迟增加，最终使得一些潜在的顾客放弃选择航空。

Epsilon航空公司要求第三方帮助他们进行对保留和维护轮椅和伴游的问题和费用的一个详细的分析。

航空公司需要制定一个全天使用的、比较经济的轮椅的调度方案。

并且需要短期和长期的费用预算。

Epsilon航空公司对这个问题公开招标解决。

您的标书应该包括对情况的概要和分析。

包括对于伴游和轮椅的全天运动的详细调度算法。

目标是尽可能地降低总成本。

为了确保您能中标。

您必须通过一些有力的实例来说明您的解答是最佳,并且说明它能够适应大机场使用，适应各种各样的环境。

您的标书应该包括算法在大型（至少4个广场）,中型（至少二个广场）,小型（一个广场）机场的使用实例，其中需要包括在人流量高峰和普通时的情况。

您应该说明所有的潜在费用并说明它们各自的关键性比重。

标书中还要涉及当旅客中有很大比例的老人或需要帮助的人的情况,他们通常需要花费更多的时间来换机。

您的报告还应该涉及为了适应未来的发展需要应该出现的潜在费用和投入。