高中数学第一轮复习资料华南师范附中.docx

高中数学第一轮复习资料华南师范附中.docx

《高中数学第一轮复习资料华南师范附中.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第一轮复习资料华南师范附中.docx（129页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

高中数学第一轮复习资料华南师范附中

第一章集合

第一节集合的含义、表示及基本关系

A组

1．已知A＝{1,2}，B＝{x|x∈A}，则集合A与B的关系为________．

　　解析：

由集合B＝{x|x∈A}知，B＝{1,2}．答案：

A＝B

2．若?

{x|x2≤a，a∈R}，则实数a的取值范围是________．

　　解析：

由题意知，x2≤a有解，故a≥0.答案：

a≥0

3．已知集合A＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，集合B＝{x|－2≤x<8}，则集合A与B的关系是________．

　　解析：

y＝x2－2x－1＝（x－1）2－2≥－2，∴A＝{y|y≥－2}，∴BA.

　　答案：

BA

4．（2009年高考广东卷改编）已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的韦恩（Venn）图是________．

　　解析：

由N={x|x2+x=0}，得N={-1,0}，则NM.答案：

②

5．（2010年苏、锡、常、镇四市调查）已知集合A＝{x|x>5}，集合B＝{x|x>a}，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．

　　解析：

命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，∴AB，∴a<5.

　　答案：

a<5

6．（原创题）已知m∈A，n∈B，且集合A＝{x|x＝2a，a∈Z}，B＝{x|x＝2a＋1，a∈Z}，又C＝{x|x＝4a＋1，a∈Z}，判断m＋n属于哪一个集合？

　　解：

∵m∈A，∴设m＝2a1，a1∈Z，又∵n∈B，∴设n＝2a2＋1，a2∈Z，∴m＋n＝2（a1＋a2）＋1，而a1＋a2∈Z，∴m＋n∈B.

B组

1．设a，b都是非零实数，y＝＋＋可能取的值组成的集合是________．

　　解析：

分四种情况：

（1）a>0且b>0；

（2）a>0且b<0；（3）a<0且b>0；（4）a<0且b<0，讨论得y＝3或y＝－1.答案：

{3，－1}

2．已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}．若B?

A，则实数m＝________.

　　解析：

∵B?

A，显然m2≠－1且m2≠3，故m2＝2m－1，即（m－1）2＝0，∴m＝1.答案：

1

3．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数是________个．

　　解析：

依次分别取a＝0,2,5；b＝1,2,6，并分别求和，注意到集合元素的互异性，∴P＋Q＝{1,2,6,3,4,8,7,11}．答案：

8

4．已知集合M＝{x|x2＝1}，集合N＝{x|ax＝1}，若NM，那么a的值是________．

　　解析：

M＝{x|x＝1或x＝－1}，NM，所以N＝?

时，a＝0；当a≠0时，x＝＝1或－1，∴a＝1或－1.答案：

0,1，－1

5．满足{1}A?

{1,2,3}的集合A的个数是________个．

　　解析：

A中一定有元素1，所以A有{1,2}，{1,3}，{1,2,3}．答案：

3

6．已知集合A＝{x|x＝a＋，a∈Z}，B＝{x|x＝－，b∈Z}，C＝{x|x＝＋，c∈Z}，则A、B、C之间的关系是________．

　　解析：

用列举法寻找规律．答案：

AB＝C

7．集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x

B”是“a>5”的________．

　　解析：

结合数轴若A?

B?

a≥4，故“A?

B”是“a>5”的必要但不充分条件．答案：

必要不充分条件

8．（2010年江苏启东模拟）设集合M＝{m|m＝2n，n∈N，且m<500}，则M中所有元素的和为________．

　　解析：

∵2n<500，∴n＝0,1,2,3,4,5,6,7,8.∴M中所有元素的和S＝1＋2＋22＋…＋28＝511.答案：

511

9．（2009年高考北京卷）设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1?

A，且k＋1?

A，那么称k是A的一个“孤立元”．给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．

　　解析：

依题可知，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”，这三个元素一定是相连的三个数．故这样的集合共有6个．答案：

6

10．已知A＝{x，xy，lg（xy）}，B＝{0，|x|，y}，且A＝B，试求x，y的值．

　　解：

由lg（xy）知，xy>0，故x≠0，xy≠0，于是由A＝B得lg（xy）＝0，xy＝1.

　　∴A＝{x,1,0}，B＝{0，|x|，}．

　　于是必有|x|＝1，＝x≠1，故x＝－1，从而y＝－1.

11．已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，

（1）若B?

A，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围；

（2）若A?

B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围；

　　（3）若A＝B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围．

　　解：

由A＝{x|x2－3x－10≤0}，得A＝{x|－2≤x≤5}，

（1）∵B?

A，∴①若B＝?

，则m＋1>2m－1，即m<2，此时满足B?

A.

　　②若B≠?

，则解得2≤m≤3.

　　由①②得，m的取值范围是（－∞，3]．

（2）若A?

B，则依题意应有解得故3≤m≤4，

　　∴m的取值范围是[3,4]．

　　（3）若A＝B，则必有解得m∈?

.，即不存在m值使得A＝B.

12．已知集合A＝{x|x2－3x＋2≤0}，B＝{x|x2－（a＋1）x＋a≤0}．

（1）若A是B的真子集，求a的取值范围；

（2）若B是A的子集，求a的取值范围；

　　（3）若A＝B，求a的取值范围．

　　解：

由x2－3x＋2≤0，即（x－1）（x－2）≤0，得1≤x≤2，故A＝{x|1≤x≤2}，

　　而集合B＝{x|（x－1）（x－a）≤0}，

（1）若A是B的真子集，即AB，则此时B＝{x|1≤x≤a}，故a>2.

（2）若B是A的子集，即B?

A，由数轴可知1≤a≤2.

　　（3）若A=B，则必有a=2

第二节集合的基本运算

A组

1．（2009年高考浙江卷改编）设U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩?

UB＝____.

　　解析：

?

UB＝{x|x≤1}，∴A∩?

UB＝{x|0

{x|0

2．（2009年高考全国卷Ⅰ改编）设集合A＝{4,5,7,9}，B＝{3,4,7,8,9}，全集U＝A∪B，则集合?

U（A∩B）中的元素共有________个．

　　解析：

A∩B＝{4,7,9}，A∪B＝{3,4,5,7,8,9}，?

U（A∩B）＝{3,5,8}．答案：

3

3．已知集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，则集合M∩N＝________.

　　解析：

由题意知，N＝{0,2,4}，故M∩N＝{0,2}．答案：

{0,2}

4．（原创题）设A，B是非空集合，定义A?

B＝{x|x∈A∪B且x?

A∩B}，已知A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y≥0}，则A?

B＝________.

　　解析：

A∪B＝[0，＋∞），A∩B＝[0,2]，所以A?

B＝（2，＋∞）．

　　答案：

（2，＋∞）

5．（2009年高考湖南卷）某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．

　　解析：

设两项运动都喜欢的人数为x，画出韦恩图得到方程15-x+x+10-x+8=30x=3，∴喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15-3=12（人）．答案：

12

　　6．（2010年浙江嘉兴质检）已知集合A＝{x|x>1}，集合B＝{x|m≤x≤m＋3}．

（1）当m＝－1时，求A∩B，A∪B；

（2）若B?

A，求m的取值范围．

　　解：

（1）当m＝－1时，B＝{x|－1≤x≤2}，∴A∩B＝{x|1

（2）若B?

A，则m>1，即m的取值范围为（1，＋∞）

B组

1．若集合M＝{x∈R|－3

　　解析：

因为集合N＝{－1,0,1,2}，所以M∩N＝{－1,0}．答案：

{－1,0}

2．已知全集U＝{－1,0,1,2}，集合A＝{－1,2}，B＝{0,2}，则（?

UA）∩B＝________.

　　解析：

?

UA＝{0,1}，故（?

UA）∩B＝{0}．答案：

{0}

3．（2010年济南市高三模拟）若全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x2－3x≤0}，则M∩（?

UN）＝________.

　　解析：

根据已知得M∩（?

UN）＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x<0或x>3}＝{x|－2≤x<0}．答案：

{x|－2≤x<0}

4．集合A＝{3，log2a}，B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，则A∪B＝________.

　　解析：

由A∩B＝{2}得log2a＝2，∴a＝4，从而b＝2，∴A∪B＝{2,3,4}．

　　答案：

{2,3,4}

5．（2009年高考江西卷改编）已知全集U＝A∪B中有m个元素，（?

UA）∪（?

UB）中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为________．

　　解析：

U＝A∪B中有m个元素，

　　∵（?

UA）∪（?

UB）＝?

U（A∩B）中有n个元素，∴A∩B中有m－n个元素．答案：

m－n

6．（2009年高考重庆卷）设U＝{n|n是小于9的正整数}，A＝{n∈U|n是奇数}，B＝{n∈U|n是3的倍数}，则?

U（A∪B）＝________.

　　解析：

U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{3,6}，∴A∪B＝{1,3,5,6,7}，

　　得?

U（A∪B）＝{2,4,8}．答案：

{2,4,8}

7．定义A?

B＝{z|z＝xy＋，x∈A，y∈B}．设集合A＝{0,2}，B＝{1,2}，C＝{1}，则集合（A?

B）?

C的所有元素之和为________．

　　解析：

由题意可求（A?

B）中所含的元素有0,4,5，则（A?

B）?

C中所含的元素有0,8,10，故所有元素之和为18.答案：

18

8．若集合{（x，y）|x＋y－2＝0且x－2y＋4＝0}{（x，y）|y＝3x＋b}，则b＝________.

　　解析：

由?

点（0,2）在y＝3x＋b上，∴b＝2.

9．设全集I＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{2，|a＋1|}，?

IA＝{5}，M＝{x|x＝log2|a|}，则集合M的所有子集是________．

　　解析：

∵A∪（?

IA）＝I，∴{2,3，a2＋2a－3}＝{2,5，|a＋1|}，∴|a＋1|＝3，且a2＋2a－3＝5，解得a＝－4或a＝2，∴M＝{log22，log2|－4|}＝{1,2}．

　　答案：

?

，{1}，{2}，{1,2}

10．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2（a＋1）x＋（a2－5）＝0}．

（1）若A∩B＝{2}，求实数a的值；

（2）若A∪B＝A，求实数a的取值范围．

　　解：

由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，故集合A＝{1,2}．

（1）∵A∩B＝{2}，∴2∈B，代入B中的方程，得a2＋4a＋3＝0?

a＝－1或a＝－3；当a＝－1时，B＝{x|x2－4＝0}＝{－2,2}，满足条件；当a＝－3时，B＝{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}，满足条件；综上，a的值为－1或－3.

（2）对于集合B，Δ＝4（a＋1）2－4（a2－5）＝8（a＋3）．∵A∪B＝A，∴B?

A，

　　①当Δ<0，即a<－3时，B＝?

满足条件；②当Δ＝0，即a＝－3时，B＝{2}满足条件；③当Δ>0，即a>－3时，B＝A＝{1,2}才能满足条件，则由根与系数的关系得

　　?

矛盾.综上，a的取值范围是a≤－3.

11．已知函数f（x）＝的定义域为集合A，函数g（x）＝lg（－x2＋2x＋m）的定义域为集合B.

（1）当m＝3时，求A∩（?

RB）；

（2）若A∩B＝{x|－1

　　解：

A＝{x|－1

（1）当m＝3时，B＝{x|－1

RB＝{x|x≤－1或x≥3}，

　　∴A∩（?

RB）＝{x|3≤x≤5}．

（2）∵A＝{x|－1

　　∴有－42＋2×4＋m＝0，解得m＝8，此时B＝{x|－2

12．已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}．

（1）若A＝?

，求实数a的取值范围；

（2）若A是单元素集，求a的值及集合A；

　　（3）求集合M＝{a∈R|A≠?

}．

　　解：

（1）A是空集，即方程ax2－3x＋2＝0无解．

　　若a＝0，方程有一解x＝，不合题意．

　　若a≠0，要方程ax2－3x＋2＝0无解，则Δ＝9－8a<0，则a>.

　　综上可知，若A＝?

，则a的取值范围应为a>.

（2）当a＝0时，方程ax2－3x＋2＝0只有一根x＝，A＝{}符合题意．

　　当a≠0时，则Δ＝9－8a＝0，即a＝时，

　　方程有两个相等的实数根x＝，则A＝{}．

　　综上可知，当a＝0时，A＝{}；当a＝时，A＝{}．

　　（3）当a＝0时，A＝{}≠?

.当a≠0时，要使方程有实数根，

　　则Δ＝9－8a≥0，即a≤.

　　综上可知，a的取值范围是a≤，即M＝{a∈R|A≠?

}＝{a|a≤}

第二章函数

第一节对函数的进一步认识

A组

1．（2009年高考江西卷改编）函数y＝的定义域为________．

　　解析：

?

x∈[－4,0）∪（0,1]

　　答案：

[－4,0）∪（0,1]

2．（2010年绍兴第一次质检）如图，函数f（x）的图象是曲线段OAB，其中点O，A，B的坐标分别为（0,0），（1,2），（3,1），则f（）的值等于________．

　　解析：

由图象知f（3）＝1，f（）＝f

（1）＝2.答案：

2

3．（2009年高考北京卷）已知函数f（x）＝若f（x）＝2，则x＝________.

　　解析：

依题意得x≤1时，3x＝2，∴x＝log32；

　　当x>1时，－x＝2，x＝－2（舍去）．故x＝log32.答案：

log32

4．（2010年黄冈市高三质检）函数f：

{1，}→{1，}满足f[f（x）]>1的这样的函数个数有________个．

　　解析：

如图．答案：

1

5．（原创题）由等式x3＋a1x2＋a2x＋a3＝（x＋1）3＋b1（x＋1）2＋b2（x＋1）＋b3定义一个映射f（a1，a2，a3）＝（b1，b2，b3），则f（2,1，－1）＝________.

　　解析：

由题意知x3＋2x2＋x－1＝（x＋1）3＋b1（x＋1）2＋b2（x＋1）＋b3，

　　令x＝－1得：

－1＝b3；

　　再令x＝0与x＝1得，

　　解得b1＝－1，b2＝0.

　　答案：

（－1,0，－1）

6．已知函数f（x）＝

（1）求f（1－），f{f[f（－2）]}的值；

（2）求f（3x－1）；（3）若f（a）＝，求a.

　　解：

f（x）为分段函数，应分段求解．

（1）∵1－＝1－（＋1）＝－<－1，∴f（－）＝－2＋3，

　　又∵f（－2）＝－1，f[f（－2）]＝f（－1）＝2，∴f{f[f（－2）]}＝1＋＝.

（2）若3x－1>1，即x>，f（3x－1）＝1＋＝；

　　若－1≤3x－1≤1，即0≤x≤，f（3x－1）＝（3x－1）2＋1＝9x2－6x＋2；

　　若3x－1<－1，即x<0，f（3x－1）＝2（3x－1）＋3＝6x＋1.

　　∴f（3x－1）＝

　　（3）∵f（a）＝，∴a>1或－1≤a≤1.

　　当a>1时，有1＋＝，∴a＝2；

　　当－1≤a≤1时，a2＋1＝，∴a＝±.

　　∴a＝2或±.

B组

1．（2010年广东江门质检）函数y＝＋lg（2x－1）的定义域是________．

　　解析：

由3x－2>0,2x－1>0，得x>.答案：

{x|x>}

2．（2010年山东枣庄模拟）函数f（x）＝则f（f（f（）＋5））＝_.

　　解析：

∵－1≤≤2，∴f（）＋5＝－3＋5＝2，∵－1≤2≤2，∴f

（2）＝－3，

　　∴f（－3）＝（－2）×（－3）＋1＝7.答案：

7

3．定义在区间（－1,1）上的函数f（x）满足2f（x）－f（－x）＝lg（x＋1），则f（x）的解析式为________．

　　解析：

∵对任意的x∈（－1,1），有－x∈（－1,1），

　　由2f（x）－f（－x）＝lg（x＋1），①

　　由2f（－x）－f（x）＝lg（－x＋1），②

　　①×2＋②消去f（－x），得3f（x）＝2lg（x＋1）＋lg（－x＋1），

　　∴f（x）＝lg（x＋1）＋lg（1－x），（－1

　　答案：

f（x）＝lg（x＋1）＋lg（1－x），（－1

4．设函数y＝f（x）满足f（x＋1）＝f（x）＋1，则函数y＝f（x）与y＝x图象交点的个数可能是________个．

　　解析：

由f（x＋1）＝f（x）＋1可得f

（1）＝f（0）＋1，f

（2）＝f（0）＋2，f（3）＝f（0）＋3，…本题中如果f（0）＝0，那么y＝f（x）和y＝x有无数个交点；若f（0）≠0，则y＝f（x）和y＝x有零个交点．答案：

0或无数

5．设函数f（x）＝，若f（－4）＝f（0），f（－2）＝－2，则f（x）的解析式为f（x）＝________，关于x的方程f（x）＝x的解的个数为________个．

　　解析：

由题意得

　　，

　　∴f（x）＝.

　　由数形结合得f（x）＝x的解的个数有3个．

　　答案：

　3

6．设函数f（x）＝logax（a＞0，a≠1），函数g（x）＝－x2＋bx＋c，若f（2＋）－f（＋1）＝，g（x）的图象过点A（4，－5）及B（－2，－5），则a＝__________，函数f[g（x）]的定义域为__________．

　　答案：

2　（－1,3）

7．（2009年高考天津卷改编）设函数f（x）＝，则不等式f（x）>f

（1）的解集是________．

　　解析：

由已知，函数先增后减再增，当x≥0，f（x）>f

（1）＝3时，令f（x）＝3，

　　解得x＝1，x＝3.故f（x）>f

（1）的解集为0≤x<1或x>3.

　　当x<0，x＋6＝3时，x＝－3，故f（x）>f

（1）＝3，解得－33.

　　综上，f（x）>f

（1）的解集为{x|－33}．答案：

{x|－33}

8．（2009年高考山东卷）定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝则f（3）的值为________．

　　解析：

∵f（3）＝f

（2）－f

（1），又f

（2）＝f

（1）－f（0），∴f（3）＝－f（0），∵f（0）＝log24＝2，∴f（3）＝－2.答案：

－2

9．有一个有进水管和出水管的容器，每单位时间进水量是一定的，设从某时刻开始，5分钟内只进水，不出水，在随后的15分钟内既进水，又出水，得到时间x与容器中的水量y之间关系如图．再随后，只放水不进水，水放完为止，则这段时间内（即x≥20），y与x之间函数的函数关系是________．

　　解析：

设进水速度为a1升/分钟，出水速度为a2升/分钟，则由题意得，得，则y＝35－3（x－20），得y＝－3x＋95，又因为水放完为止，所以时间为x≤，又知x≥20，故解析式为y＝－3x＋95（20≤x≤）．答案：

y＝－3x＋95（20≤x≤）

10．函数f（x）＝.

（1）若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围；

（2）若f（x）的定义域为[－2,1]，求实数a的值．

　　解：

（1）①若1－a2＝0，即a＝±1，

　　（ⅰ）若a＝1时，f（x）＝，定义域为R，符合题意；

　　（ⅱ）当a＝－1时，f（x）＝，定义域为[－1，＋∞），不合题意．

　　②若1－a2≠0，则g（x）＝（1－a2）x2＋3（1－a）x＋6为二次函数．

　　由题意知g（x）≥0对x∈R恒成立，

　　∴∴

　　∴－≤a<1.由①②可得－≤a≤1.

（2）由题意知，不等式（1－a2）x2＋3（1－a）x＋6≥0的解集为[－2,1]，显然1－a2≠0且－2,1是方程（1－a2）x2＋3（1－a）x＋6＝0的两个根．

　　∴∴∴a＝2.

11．已知f（x＋2）＝f（x）（x∈R），并且当x∈[－1,1]时，f（x）＝－x2＋1，求当x∈[2k－1,2k＋1]（k∈Z）时、f（x）的解析式．

　　解：

由f（x＋2）＝f（x），可推知f（x）是以2为周期的周期函数．当x∈[2k－1,2k＋1]时，2k－1≤x≤2k＋1，－1≤x－2k≤1.∴f（x－2k）＝－（x－2k）2＋1.

　　又f（x）＝f（x－2）＝f（x－4）＝…＝f（x－2k），

　　∴f（x）＝－（x－2k）2＋1，x∈[2k－1,2k＋1]，k∈Z.

12．在2008年11月4日珠海航展上，中国自主研制的ARJ21支线客机备受关注，接到了包括美国在内的多国订单．某工厂有216名工人接受了生产1000件该支线客机某零部件的总任务，已知每件零件由4个C型装置和3个H型装置配套组成，每个工人每小时能加工6个C型装置或3个H型装置．现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，设加工C型装置的工人有x位，他们加工完C型装置所需时间为g（x），其余工人加工完H型装置所需时间为h（x）．（单位：

h，时间可不为整数）

（1）写出g（x），h（x）的解析式；

（2）写出这216名工人完成总任务的时间f（x）的解析式；

　　（3）应怎样分组，才能使完成总任务的时间最少？

　　解：

（1）g（x）＝（0

（2）f（x）＝（3）分别为86、130或87、129.

第二节函数的单调性

A组

1．（2009年高考福建卷改编）下列函数f（x）中，满足“对任意x1，x2∈（0，＋∞），当x1f（x2）”的是________．

　　①f（x）＝　②f（x）＝（x－1）2③f（x）＝ex　④f（x）＝ln（x＋1）

　　解析：

∵对任意的x1，x2∈（0，＋∞），当x1f（x2），∴f（x）在（0，＋∞）上为减函数．答案：

①

2．函数f（x）（x∈R）的图象如右图所示，则函数g（x）＝f（logax）（0

　　解析：

∵0

　　由0≤logax≤≤x≤1.答案：

[，1]（或（，1））

3．函数y＝＋的值域是________．

　　解析：

令x＝4＋sin2α，α∈[0，]，y＝sinα＋cosα＝2sin（α＋），∴1≤y≤2.

　　答案：

[1,2]

4．已知函数f（x）＝|ex＋|（a∈R）在区间[0,1]上单调递增，则实数a的取值范围__．

　　解析：

当a<0，且ex＋≥0时，只需满足e0＋≥0即可，则－1≤a<0；当a＝0时，f（x）＝|ex|＝ex符合题意；当a>0时，f（x）＝ex＋，则满足f′（x）＝ex－≥0在x∈[0,1]上恒成立．只需满足a≤（e2x）min成立即可，故a≤1，综上－1≤a≤1.

　　答案：

－1≤a