ACM超级经典算法大集合w.docx
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ACM超级经典算法大集合w
超级经典算法大集合：
老掉牙
河内塔
费式数列
巴斯卡三角形
三色棋
老鼠走迷官
（一）
老鼠走迷官
（二）
骑士走棋盘
八个皇后
八枚银币
生命游戏
字串核对
双色、三色河内塔
背包问题（KnapsackProblem）
数、运算
蒙地卡罗法求PI
Eratosthenes筛选求质数
超长整数运算（大数运算）
长PI
最大公因数、最小公倍数、因式分解
完美数
阿姆斯壮数
最大访客数
中序式转后序式（前序式）
后序式的运算
关于赌博
洗扑克牌（乱数排列）
Craps赌博游戏
约瑟夫问题（JosephusProblem）
集合问题
排列组合
格雷码（GrayCode）
产生可能的集合
m元素集合的n个元素子集
数字拆解
排序
得分排行
选择、插入、气泡排序
Shell排序法-改良的插入排序
Shaker排序法-改良的气泡排序
Heap排序法-改良的选择排序
快速排序法
（一）
快速排序法
（二）
快速排序法（三）
合并排序法
基数排序法
搜寻
循序搜寻法（使用卫兵）
二分搜寻法（搜寻原则的代表）
插补搜寻法
费氏搜寻法
矩阵
稀疏矩阵
多维矩阵转一维矩阵
上三角、下三角、对称矩阵
奇数魔方阵
4N魔方阵
2（2N+1）魔方阵
1.河内之塔
说明河内之塔（TowersofHanoi）是法国人M.Claus（Lucas）于1883年从泰国带至法国的，河内为越战时北越的首都，即现在的胡志明市；1883年法国数学家EdouardLucas曾提及这个故事，据说创世纪时Benares有一座波罗教塔，是由三支钻石棒（Pag）所支撑，开始时神在第一根棒上放置64个由上至下依由小至大排列的金盘（Disc），并命令僧侣将所有的金盘从第一根石棒移至第三根石棒，且搬运过程中遵守大盘子在小盘子之下的原则，若每日仅搬一个盘子，则当盘子全数搬运完毕之时，此塔将毁损，而也就是世界末日来临之时。
解法如果柱子标为ABC，要由A搬至C，在只有一个盘子时，就将它直接搬至C，当有两个盘子，就将B当作辅助柱。
如果盘数超过2个，将第三个以下的盘子遮起来，就很简单了，每次处理两个盘子，也就是：
A->B、A->C、B->C这三个步骤，而被遮住的部份，其实就是进入程式的递回处理。
事实上，若有n个盘子，则移动完毕所需之次数为2^n-1，所以当盘数为64时，则所需次数为：
264-1=184********709551615为5.05390248594782e+16年，也就是约5000世纪，如果对这数字没什幺概念，就假设每秒钟搬一个盘子好了，也要约5850亿年左右。
#include
voidhanoi（intn,charA,charB,charC）{
if（n==1）
printf（"Movesheet%dfrom%cto%c\n",n,A,C）;
else{
hanoi（n-1,A,C,B）;
printf（"Movesheet%dfrom%cto%c\n",n,A,C）;
hanoi（n-1,B,A,C）;
}
}
intmain（）{
intn;
printf（"请输入盘数：
"）;
scanf（"%d",&n）;
hanoi（n,'A','B','C'）;
return0;
}
2.AlgorithmGossip:
费式数列
说明
Fibonacci为1200年代的欧洲数学家，在他的着作中曾经提到：
「若有一只免子每个月生一只小免子，一个月后小免子也开始生产。
起初只有一只免子，一个月后就有两只免子，二个月后有三只免子，三个月后有五只免子（小免子投入生产）......。
如果不太理解这个例子的话，举个图就知道了，注意新生的小免子需一个月成长期才会投入生产，类似的道理也可以用于植物的生长，这就是Fibonacci数列，一般习惯称之为费氏数列，例如以下：
1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89......
解法
依说明，我们可以将费氏数列定义为以下：
fn=fn-1+fn-2 ifn>1
fn=n ifn=0,1
#include
#include
#defineN20
intmain（void）{
intFib[N]={0};
inti;
Fib[0]=0;
Fib[1]=1;
for（i=2;iFib[i]=Fib[i-1]+Fib[i-2];
for（i=0;iprintf（"%d",Fib[i]）;
printf（"\n"）;
return0;
}
3.巴斯卡三角形
#include
#defineN12
longcombi（intn,intr）{
inti;
longp=1;
for（i=1;i<=r;i++）
p=p*（n-i+1）/i;
returnp;
}
voidpaint（）{
intn,r,t;
for（n=0;n<=N;n++）{
for（r=0;r<=n;r++）{
inti;/*排版设定开始*/
if（r==0）{
for（i=0;i<=（N-n）;i++）
printf（""）;
}else{
printf（""）;
}/*排版设定结束*/
printf（"%3d",combi（n,r））;
}
printf（"\n"）;
}
}
4.AlgorithmGossip:
三色棋
说明
三色旗的问题最早由E.W.Dijkstra所提出，他所使用的用语为DutchNationFlag（Dijkstra为荷兰人），而多数的作者则使用Three-ColorFlag来称之。
假设有一条绳子，上面有红、白、蓝三种颜色的旗子，起初绳子上的旗子颜色并没有顺序，您希望将之分类，并排列为蓝、白、红的顺序，要如何移动次数才会最少，注意您只能在绳子上进行这个动作，而且一次只能调换两个旗子。
解法
在一条绳子上移动，在程式中也就意味只能使用一个阵列，而不使用其它的阵列来作辅助，问题的解法很简单，您可以自己想像一下在移动旗子，从绳子开头进行，遇到蓝色往前移，遇到白色留在中间，遇到红色往后移，如下所示：
只是要让移动次数最少的话，就要有些技巧：
如果图中W所在的位置为白色，则W+1，表示未处理的部份移至至白色群组。
如果W部份为蓝色，则B与W的元素对调，而B与W必须各+1，表示两个群组都多了一个元素。
如果W所在的位置是红色，则将W与R交换，但R要减1，表示未处理的部份减1。
注意B、W、R并不是三色旗的个数，它们只是一个移动的指标；什幺时候移动结束呢？
一开始时未处理的R指标会是等于旗子的总数，当R的索引数减至少于W的索引数时，表示接下来的旗子就都是红色了，此时就可以结束移动，如下所示：
#include
#include
#include
#defineBLUE'b'
#defineWHITE'w'
#defineRED'r'
#defineSWAP（x,y）{chartemp;\
temp=color[x];\
color[x]=color[y];\
color[y]=temp;}
intmain（）{
charcolor[]={'r','w','b','w','w',
'b','r','b','w','r','\0'};
intwFlag=0;
intbFlag=0;
intrFlag=strlen（color）-1;
inti;
for（i=0;iprintf（"%c",color[i]）;
printf（"\n"）;
while（wFlag<=rFlag）{
if（color[wFlag]==WHITE）
wFlag++;
elseif（color[wFlag]==BLUE）{
SWAP（bFlag,wFlag）;
bFlag++;wFlag++;
}
else{
while（wFlagrFlag--;
SWAP（rFlag,wFlag）;
rFlag--;
}
}
for（i=0;iprintf（"%c",color[i]）;
printf（"\n"）;
return0;
}
5.AlgorithmGossip:
老鼠走迷官
（一）
说明老鼠走迷宫是递回求解的基本题型，我们在二维阵列中使用2表示迷宫墙壁，使用1来表示老鼠的行走路径，试以程式求出由入口至出口的路径。
解法老鼠的走法有上、左、下、右四个方向，在每前进一格之后就选一个方向前进，无法前进时退回选择下一个可前进方向，如此在阵列中依序测试四个方向，直到走到出口为止，这是递回的基本题，请直接看程式应就可以理解。
#include
#include
intvisit（int,int）;
intmaze[7][7]={{2,2,2,2,2,2,2},
{2,0,0,0,0,0,2},
{2,0,2,0,2,0,2},
{2,0,0,2,0,2,2},
{2,2,0,2,0,2,2},
{2,0,0,0,0,0,2},
{2,2,2,2,2,2,2}};
intstartI=1,startJ=1;//入口
intendI=5,endJ=5;//出口
intsuccess=0;
intmain（void）{
inti,j;
printf（"显示迷宫：
\n"）;
for（i=0;i<7;i++）{
for（j=0;j<7;j++）
if（maze[i][j]==2）
printf（"█"）;
else
printf（""）;
printf（"\n"）;
}
if（visit（startI,startJ）==0）
printf（"\n没有找到出口！
\n"）;
else{
printf（"\n显示路径：
\n"）;
for（i=0;i<7;i++）{
for（j=0;j<7;j++）{
if（maze[i][j]==2）
printf（"█"）;
elseif（maze[i][j]==1）
printf（"◇"）;
else
printf（""）;
}
printf（"\n"）;
}
}
return0;
}
intvisit（inti,intj）{
maze[i][j]=1;
if（i==endI&&j==endJ）
success=1;
if（success!
=1&&maze[i][j+1]==0）visit（i,j+1）;
if（success!
=1&&maze[i+1][j]==0）visit（i+1,j）;
if（success!
=1&&maze[i][j-1]==0）visit（i,j-1）;
if（success!
=1&&maze[i-1][j]==0）visit（i-1,j）;
if（success!
=1）
maze[i][j]=0;
returnsuccess;
}
6.AlgorithmGossip:
老鼠走迷官
（二）
说明由于迷宫的设计，老鼠走迷宫的入口至出口路径可能不只一条，如何求出所有的路径呢？
解法求所有路径看起来复杂但其实更简单，只要在老鼠走至出口时显示经过的路径，然后退回上一格重新选择下一个位置继续递回就可以了，比求出单一路径还简单，我们的程式只要作一点修改就可以了。
#include
#include
voidvisit（int,int）;
intmaze[9][9]={{2,2,2,2,2,2,2,2,2},
{2,0,0,0,0,0,0,0,2},
{2,0,2,2,0,2,2,0,2},
{2,0,2,0,0,2,0,0,2},
{2,0,2,0,2,0,2,0,2},
{2,0,0,0,0,0,2,0,2},
{2,2,0,2,2,0,2,2,2},
{2,0,0,0,0,0,0,0,2},
{2,2,2,2,2,2,2,2,2}};
intstartI=1,startJ=1;//入口
intendI=7,endJ=7;//出口
intmain（void）{
inti,j;
printf（"显示迷宫：
\n"）;
for（i=0;i<7;i++）{
for（j=0;j<7;j++）
if（maze[i][j]==2）printf（"█"）;
elseprintf（""）;
printf（"\n"）;
}
visit（startI,startJ）;
return0;
}
voidvisit（inti,intj）{
intm,n;
maze[i][j]=1;
if（i==endI&&j==endJ）{
printf（"\n显示路径：
\n"）;
for（m=0;m<9;m++）{
for（n=0;n<9;n++）
if（maze[m][n]==2）
printf（"█"）;
elseif（maze[m][n]==1）
printf（"◇"）;
else
printf（""）;
printf（"\n"）;
}
}
if（maze[i][j+1]==0）visit（i,j+1）;
if（maze[i+1][j]==0）visit（i+1,j）;
if（maze[i][j-1]==0）visit（i,j-1）;
if（maze[i-1][j]==0）visit（i-1,j）;
maze[i][j]=0;
}
7.AlgorithmGossip:
骑士走棋盘
说明骑士旅游（Knighttour）在十八世纪初倍受数学家与拼图迷的注意，它什么时候被提出已不可考，骑士的走法为西洋棋的走法，骑士可以由任一个位置出发，它要如何走完[所有的位置？
解法骑士的走法，基本上可以使用递回来解决，但是纯綷的递回在维度大时相当没有效率，一个聪明的解法由J.C.Warnsdorff在1823年提出，简单的说，先将最难的位置走完，接下来的路就宽广了，骑士所要走的下一步，「为下一步再选择时，所能走的步数最少的一步。
」，使用这个方法，在不使用递回的情况下，可以有较高的机率找出走法（找不到走法的机会也是有的）。
#include
intboard[8][8]={0};
intmain（void）{
intstartx,starty;
inti,j;
printf（"输入起始点：
"）;
scanf（"%d%d",&startx,&starty）;
if（travel（startx,starty））{
printf（"游历完成！
\n"）;
}
else{
printf（"游历失败！
\n"）;
}
for（i=0;i<8;i++）{
for（j=0;j<8;j++）{
printf（"%2d",board[i][j]）;
}
putchar（'\n'）;
}
return0;
}
inttravel（intx,inty）{
//对应骑士可走的八个方向
intktmove1[8]={-2,-1,1,2,2,1,-1,-2};
intktmove2[8]={1,2,2,1,-1,-2,-2,-1};
//测试下一步的出路
intnexti[8]={0};
intnextj[8]={0};
//记录出路的个数
intexists[8]={0};
inti,j,k,m,l;
inttmpi,tmpj;
intcount,min,tmp;
i=x;
j=y;
board[i][j]=1;
for（m=2;m<=64;m++）{
for（l=0;l<8;l++）
exists[l]=0;
l=0;
//试探八个方向
for（k=0;k<8;k++）{
tmpi=i+ktmove1[k];
tmpj=j+ktmove2[k];
//如果是边界了，不可走
if（tmpi<0||tmpj<0||tmpi>7||tmpj>7）
continue;
//如果这个方向可走，记录下来
if（board[tmpi][tmpj]==0）{
nexti[l]=tmpi;
nextj[l]=tmpj;
//可走的方向加一个
l++;
}
}
count=l;
//如果可走的方向为0个，返回
if（count==0）{
return0;
}
elseif（count==1）{
//只有一个可走的方向
//所以直接是最少出路的方向
min=0;
}
else{
//找出下一个位置的出路数
for（l=0;lfor（k=0;k<8;k++）{
tmpi=nexti[l]+ktmove1[k];
tmpj=nextj[l]+ktmove2[k];
if（tmpi<0||tmpj<0||
tmpi>7||tmpj>7）{
continue;
}
if（board[tmpi][tmpj]==0）
exists[l]++;
}
}
tmp=exists[0];
min=0;
//从可走的方向中寻找最少出路的方向
for（l=1;lif（exists[l]tmp=exists[l];
min=l;
}
}
}
//走最少出路的方向
i=nexti[min];
j=nextj[min];
board[i][j]=m;
}
return1;
}
8.AlgorithmGossip:
八皇后
说明西洋棋中的皇后可以直线前进，吃掉遇到的所有棋子，如果棋盘上有八个皇后，则这八个皇后如何相安无事的放置在棋盘上，1970年与1971年，E.W.Dijkstra与N.Wirth曾经用这个问题来讲解程式设计之技巧。
解法关于棋盘的问题，都可以用递回求解，然而如何减少递回的次数？
在八个皇后的问题中，不必要所有的格子都检查过，例如若某列检查过，该该列的其它格子就不用再检查了，这个方法称为分支修剪。
#include
#include
#defineN8
intcolumn[N+1];//同栏是否有皇后，1表示有
intrup[2*N+1];//右上至左下是否有皇后
intlup[2*N+1];//左上至右下是否有皇后
intqueen[N+1]={0};
intnum;//解答编号
voidbacktrack（int）;//递回求解
intmain（void）{
inti;
num=0;
for（i=1;i<=N;i++）
column[i]=1;
for（i=1;i<=2*N;i++）
rup[i]=lup[i]=1;
backtrack
（1）;
return0;
}
voidshowAnswer（）{
intx,y;
printf（"\n解答%d\n",++num）;
for（y=1;y<=N;y++）{
for（x=1;x<=N;x++）{
if（queen[y]==x）{
printf（"Q"）;
}
else{
printf（"."）;
}
}
printf（"\n"）;
}
}
voidbacktrack（inti）{
intj;
if（i>N）{
showAnswer（）;
}
else{
for（j=1;j<=N;j++）{
if（column[j]==1&&
rup[i+j]==1&&lup[i-j+N]==1）{
queen[i]=j;
//设定为占用
column[j]=rup[i+j]=lup[i-j+N]=0;
backtrack（i+1）;
column[j]=rup[i+j]=lup[i-j+N]=1;
}
}
}
}
9.AlgorithmGossip:
八枚银币
说明现有八枚银币abcdefgh，已知其中一枚是假币，其重量不同于真币，但不知是较轻或较重，如何使用天平以最少的比较次数，决定出哪枚是假币，并得知假币比真币较轻或较重。
解法单就求假币的问题是不难，但问题限制使用最少的比较次数，所以我们不能以单纯的回圈比较来求解，我们可以使用决策树（decisiontree），使用分析与树状图来协助求解。
一个简单的状况是这样的，我们比较a+b+c与d+e+f，如果相等，则假币必是g或h，我们先比较g或h哪个较重，如果g较重，再与a比较（a是真币），如果g等于a，则g为真币，
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