线面的位置关系.docx

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线面的位置关系

线面的位置关系

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二.知识总结：

直线与平面的位置关系

1.直线在平面内——直线与平面有无数个公共点

2.直线在平面外

（1）直线与平面相交——直线与平面有且仅有一个公共点

①直线与平面直交（垂直）

②直线与平面斜交（不垂直）

（2）直线与平面平行——直线与平面没有公共点

（一）直线与平面平行的判定和性质

1.判定依据

（1）线面平行的定义

（2）线面平行的判定定理（又称线线平行则线面平行）

（3）面面平行的性质：

如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面

2.判定方法

（1）证明这直线与这平面没有公共点

（2）证明这直线与这平面内的某条直线平行

（3）证明这直线所在平面与这平面平行

（4）证明这直线上有在平面同旁的两点到这个平面距离相等

3.性质

（二）直线和平面垂直的判定和性质

1.知识提要

（1）直线和平面垂直的定义

如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，就称这条直线和这个平面互相垂直。

（2）直线和平面垂直的判定定理

如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

（3）两两平面垂直的性质定理

如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

2.方法提要：

判定直线垂直平面的方法

（1）证明这直线与平面内两条相交直线都垂直

（2）证明这直线与平面的一条垂线平行

（3）证明这直线所在平面垂直该平面，并且这直线垂直于两平面的交线

（4）证明这直线垂直于另一个平面，而这个平面与已知平面互相平行

（5）证明直线是这平面的两个相交垂面的交线

【典型例题】

[例1]已知：

正方形ABCD与正方形ADEF所在平面相交，M、N分别是BD、AE内的动点，且BM=AN，求证：

MN//平面CED。

证明：

连结AM并延长交CD于G，连结GE

由AB//CD

[例2]设S是平行四边形ABCD所在平面外一点，P、Q、R分别是SC、SB、SD上的点，且，求证：

SA//平面PQR。

证：

如图，设，则O为AC的中点，连结SO

设，由

取SC中点M，连结OM、KP

由

[例3]正三棱柱中，。

D、F分别为CC1­，A1B中点

（1）证明：

DF//平面ABC；

（2）证明：

AF⊥BD；

（3）求平面A1BD与ABC所成的锐二面角

（1）证明：

取AB中点M，连FM、CM

（2）证明：

（3）法1：

法2：

延长AC交A1D延长线于G，连BG，由CG=AC=BC

又AA1⊥面ABC为所求二面角平面角

[例4]如图，在正三棱柱中，，求证：

，。

证法1：

如图，延长B1C1到，使，连结，则

在中，由

同理

证法2：

（利用三垂线Th及其逆Th）

如图，取AB的中点为D，A1B1的中点为D1，则BD1//A1D

同理面A1B1BA

，同理A1C⊥BC1

[例5]如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面，且PA=AB，C是圆周上一点（异于A、B），E是PB的中点，F是PC上的点，且AF⊥PC，求证：

PB平面AEF。

证：

[例6]已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，作AE⊥SB交SB于E，过E作EF⊥SC于F。

（1）求证：

AF⊥SC；

（2）若平面AEF交SD于G，求证：

AG⊥SD。

证明：

（1）由已知，SA⊥平面AC

（2）证明：

[例7]斜三棱柱中，底面是边长为的正三角形，一条侧棱AA1与底面相邻两边AB、AC都成角，求异面直线与BC的距离。

解：

由在面ABC上的射影H在的平分线上

连AH延长交BC于D，则AD是的平分线

作DE⊥AA1于E，则DE即异面直线AA1与BC的公垂线段

又由

∴

∴在中，

即与BC的距离为

[例8]已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC=2，求点B到平面EFG距离。

解：

如图，连结EG、FG、EF、BD、AC

设，

到面EFG的距离与点B到面EFG距离相等点O到面EFG的距离与B到面EFG的距离相等由

由GC=2，

，则

另法（体积变换）

解法2：

设点B到面EFG的距离为，则为三棱锥B－EFG的高，由三棱锥与三棱锥为同一四面体，故它们体积相等，即：

而

故

所以，点B到平面EFG的距离为

小结：

点到面的距离有直接和间接两类方法，直接法即作出点面垂线段并求它的长；而间接法是把点面距离看成一个几何体的高，再利用体积变换方法求出这个高的值，通常情况下，由于间接法无需确定垂足的位置，因此较为简便。

[例9]如图，四棱锥中，PD⊥底面ABCD，ABCD为正方形，且PD=AB=1，G为重心，则PG与底面所成角为（）

A.B.C.D.

解：

如图，由G为的重心，则为所求，，，，则，即，选B。

[例10]已知异面直线与所成的角为，P为空间一定点，则过点P且与所成的角都是的直线有且仅有（）

A.1条B.2条C.3条D.4条

解：

把直线分别平移至经过点P，即：

过点P分别作直线，，如果，则取；如果，则取。

这时，与相交于点P所成的两组对顶角分别等于和，记与所确定的平面为，那么，在平面内，过点P不存在与都成的直线。

过点P且与都成角的直线，必在面外且在内的射影必然平分所成的对顶角，这样的直线有且仅有2条，它们关于对称，所以，过点P与都成角的直线有且仅有2条，故选B。

若不变，将改为则答案A；若不变，将改为度，则答案为C；若不变，将改为，则答案为D。

[例11]如图，斜三棱柱的底面为一等腰直角三角形，直角边AB=AC=，侧棱与底面成，，求与底面所成的角。

解：

由AC⊥AB，AC⊥面面面ABC，故在底面ABC上的射影即AB所在直线。

过作交AB延长线于点O，连CO，则分别是与底面所成的角

∴，令，则，在中，

在中，由，

即

（舍）与底面所成角为

注：

线面角取值范围，关键找到直线在面上的射影，一般先找斜足，再找线上非斜足一点P在该平面内射影，连转化为平面角。

[例12]三棱锥中底面ABC为边长为的正三角形，PA、PB与底面均成角，PC与底面成角，求其体积。

解：

设M是AB中点，由PA与PB与底面均成角，故PA=PB

面PCM面ABC⊥PCM

作PH⊥CM于H，则PH⊥底面ABC

则，，设，则

又

∴

∴或

当时，H=M，

当时，，PH=，V=

【模拟试题】

一.选择题

1.两条直线与平面所成的角相等，则的位置关系（）

A.平行B.相交C.异面D.以上都有可能

2.空间两条直线平行的充分条件是（）

A.平行于同一平面B.垂直于同一条直线

C.与同一平面所成的角相等D.分别垂直于两个平行平面

3.如果AP、BP、CP两两垂直，则P在平面ABC内的射影一定是△ABC的（）

A.垂心B.内心C.外心D.重心

4.下列命题中不正确命题的个数是（）

（1）如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直；

（2）过平面外一点，可作无数条直线和这个平面垂直；

（3）过一点有且仅有一个平面和一条定直线垂直；

（4）若异面，过一定可作一个平面与b垂直。

（5）若异面，过不在上的点M，一定可以作一个平面与a、b都垂直

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.若直线与平面所成的角为，直线在平面内，且与直线异面，则直线与直线所成的角的取值范围是（）

A.B.C.D.

6.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1、AB上的点，且∠NMC1=90°，则∠NMB1的大小是（）

A.大于90°B.小于90°C.90°D.不能确定

7.已知PA、PB、PC是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，则直线PC与平面PAB所成角的余弦值为（）

A.B.C.D.

8.已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、BB1的中点，则EF与对角面ACC1A1所成角为（）

A.30°B.45°C.60°D.150°

9.设a、b是两条异面直线，在下列命题中，正确的是（）

A.有且仅有一条直线与a、b都垂直；

B.有一个平面与a、b都垂直；

C.过直线有且仅有一个平面与b平行；

D.过空间任意一点必可作一条直线与a、b都相交。

10.已知直线不在平面内，那么下列命题正确的个数为（）

（1）若不平行于，则不平行于内的任何直线；

（2）若平行于，则平行于内的所有直线；

（3）若平行于，则与垂直的任何直线与平面垂直；

（4）若垂直于内无数条直线，则必有⊥。

A.0B.1C.2D.3

11.在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，D是EF的中点，现沿AE、AF和EF把这个正方形折成一个四面体，使得B、C、D三点重合，重合后变为G点，则四面体A—EFG中必有（）

A.AG⊥平面EFGB.AD⊥平面EFG

C.GF⊥平面AEFD.GD⊥平面AEF

12.在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，D是BC边的中点，AC=2，DE⊥平面ABC且DE=1，则点E到AC边的距离为（）

A.B.C.D.

二.填空题

13.已知P是△ABC所在平面外一点，O是P在平面ABC内的射影。

若PA=PB=PC，则点O是△ABC的。

14.已知直线是平面的斜线，，与b所成的角为60°，b与在内的射影所成的角为45°，则与所成的角为。

15.在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，且PA⊥平面ABC，则点P到BC的距离为。

16.已知A、B、C、D四点不共面，则与这四个点距离都相等的平面有个。

17.长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱AA1=5，AB=12，则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是。

18.直角三角形的斜边AB在平面内，AC和BC与所成角分别为30°，45°，CD是斜边AB上的高，则CD与所成的角为。

19.已知正方形ABCD—A1B1C1D1棱长为，E是CC1中点，则BE与平面B1BD所成的角的余弦值是。

20.Rt△ABC，∠ACB=90°，CD⊥，梯形ACDE，AC//DE，BE⊥AE，且AC=2，DE=1，则异面直线AE和BC的距离是。

【试题答案】

一.选择题

1.D

2.D

提示：

利用线面垂直的判定定理和性质定理。

3.A

4.D

提示：

从

（1）—（5）命题中，只有（3）为真命题，其余均为假命题。

5.B

提示：

利用最小角定理和直线与平面所成角的范围为可得。

6.C

提示：

利用三垂线定理的逆定理。

7.D

提示：

如答图1，作CO⊥面PAB于O，连结PO

由∠CPA=∠CPB=60°，则PO为∠APB的平分线，∠APO=30°，∠CPO为所求线面角，由例4给出的关系式，有

图1

8.A

提示：

如答图2，作FG//BD交AC于G，由BD⊥面ACC1A1，则FG⊥面ACC1A1，连结GE，则∠FEG为EF与对角面ACC1A1所成的角。

设正方体棱长为，则，，在Rt△FGE中，，故∠FEG=30°，选择A。

图2

9.C

提示：

在上任取一点P，过P作，设与所确定的平面为，由，，则，可以证明这样的平面是惟一的。

事实上，假设过有平面满足，则根据例2的结论，直线b平行于与的交线，即，这与异面矛盾。

10.B

提示：

只有

（1）是正确的。

由不平行于，又不在内，则与相交，因此不平行于内的任何直线。

11.A

提示：

AG⊥GF，且AG⊥GE，则AG⊥平面EFG。

12.D

提示：

如答图3，作DF⊥AC于F，连结EF，则EF⊥AC，即EF为E到AC的距离。

由Rt△CFD～Rt△CBA，

图3

二.

13.外心

提示：

利用射影长Th

14.45°

提示：

利用例4已证的公式，设与所成的角为，则，因此

15.

提示：

取BC中点M，连AM、PM，则由

，故PM为P到BC的距离

16.7

提示：

当平面的一侧有一点而另一侧有三点时，满足条件的平面有4个；当平面的两侧各有两个点时，满足条件的平面有3个。

因此，与A、B、C、D四点距离都相等的平面共有4+3=7个。

17.

提示：

作B1E⊥A1B于E，则B1E⊥平面A1BCD1，即B1E为直线B1C1­与平面A1BCD1的距离。

在

18.60°

提示：

如答图4，作CO⊥于O，∠CAO=30°，∠CBO=45°，∠CDO为CD与所成的角，设CO=x，则AC=2x，BC=，在Rt△ACB中

在Rt△COD中，，即∠CDO=60°

图4

19.

提示：

如答图5，取F为AA1的中点，连结EF

设EF交OO1于M，则M为OO1中点，则∠EBM1为BE与平面B1BD所成的角

在Rt△EBM中，，则

图5

20.

提示：

如答图6

故CE为异面直线BC与AE的公垂线段

由DE=1，AC=2，∠DCA=90°，∠CEA=90°，则

图6