中考数学复习教材回归知识讲解+例题解析变量与函数.docx
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中考数学复习教材回归知识讲解+例题解析变量与函数
2009年中考数学复习教材回归知识讲解+例题解析+强化训练
变量与函数
◆知识讲解
①在某一变化过程中，可以取不同数值的值叫做变量．数值保持不变的量叫常量．常量和变量是相对的，判断常量和变量的前提是“在某一变化的过程中”，同一量在不同的变化过程中可以为常量也可以为变量，这是根据问题的条件而定的．常量和变量并一定都是量，也可以是常数或变数．②在某一变化的过程中有两个变量x与y，如果对于x在取值范围内取的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么说x是自变量，y是x的函数，函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系．③自变量的取值必须使含自变量的代数式有意义．自变量的取值范围可以是无限的也可以是有限的．可以是几个数，也可以是单独的一个数，表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义．④对于自变量在取值范围内取一个确定的值，函数都有唯一确定的值与之对应，这个对应值叫做函数的一个函数值．函数由一个解析式表示时，求函数的值，就是求代数式的值，函数的值是唯一确定的，但对应的自变量的值可以是多个．函数值的取值范围是随自变量的取值范围的变化而变化的．⑤函数的三种表示法：
解析法、列表法、图像法．这三种表示法各具特色，在应用时，通常将这三种方法结合在一起运用，其中画函数图像的一般步骤为：
列表、描点、连线．
◆例题解析
例1观察右图，回答下列问题：
（1）自变量x的取值范围；
（2）函数y的取值范围；
（3）当x取何值时，
y的值最小，并写出这个最小值；
（4）当x取何值时，y的值最大，
并写出这个最大值；
（5）当x=0或－5时，y的值；
（6）当y=0和2时，x的值；
（7）当y随x的增大而增大时，x的取值范围；
（8）当y随x的增大而减小时，x的取值范围．
【分析】由于函数图像与自变量x、函数y的取值有关，因此图像能反映出x、y的取值范围，从左到右，x的值逐渐增大，因此，观察图像应从左到右，这时若图像逐渐升高，则y的值逐渐增大，若图像逐渐下降，则y的值逐渐变小．
【解答】
（1）由图像可知：
图像左端端点横坐标为－5，右端端点横坐标为5，且5用了空心点，所以自变量x的取值范围为－5≤x<5；
（2）由于图像最低点的纵坐标为－3，最高点的纵坐标4，所以－3≤y<4；
（3）由于图像最低点坐标为（－3，－3），所以当x=－3时，y有最小值为－3；
（4）由于图像最高点坐标为（2，4），所以当x=2时，y有最大值为4；\
（5）因为图像过点（0，2）与点（－5，0），所以当x=0时，y=2；当x=－5时，y=0；
（6）由图像可知，图像与x轴有两个交点，它们的横坐标为－5和－1，
故当y=0时，x=－5或－1；同理当y=2时，x=0或4；
（7）图像从点（－3，－3）到点（2，4）是逐渐升高的，
因此当－3≤x≤2时，y随x的增大而增大；
（8）图像从点（－5，0）到点（－3，－3）及从点（2，4）到点（5，0）是逐渐降低的，因此当－5≤x≤－3或2≤x<5时，y随x的增大而减少．
【点评】虽然图像法表示函数形象直观，但有时却不精细，所以利用图像观察得出的数值往往有时精确，有时近似，这因题而异．根据函数的图像求函数的某些值，探讨函数y随自变量x变化的规律，是数形结合的具体表现．
例2如图所示表示玲玲骑自行车离家的距离与时间的关系，她9点离开家，15点回到家，请根据图像回答下列问题：
（1）玲玲到达离家最远的地方是什么时间？
离家多远？
（2）她何时开始第一次休息？
休息多长时间？
（3）第一次休息时，离家多远？
（4）11：
00到12：
00她骑了多少千米？
（5）她在9：
00～10：
00和10：
00～10：
30的平均速度各是多少？
（6）她在何时至何时停止前进并休息用午餐？
（7）她在停止前进后返回，骑了多少千米？
（8）返回时的平均速度是多少？
【分析】小玲骑自行车离家的距离是时间的函数，从图像中线段CD和EF与横轴平行，表明这两段时间她在休息，通过读图可分别求解各问题．
【解答】
（1）由图像知，玲玲到达离家最远的地方是12点，离家30km；
（2）由线段CD平行于横轴知，10：
30开始休息，休息半个小时；
（3）第一次休息时离家17km；
（4）从纵坐标看出，11：
00到12：
00，她骑了13km（30－17=13）；
（5）由图像知，9：
00～10：
00共走了10km，速度为10km/h，10：
00～10：
30共走了7km，速度为14km/h；
（6）她在12：
00～13：
00时停止前进并休息用午餐；
（7）她在停止前进后返回，骑了30km回到家（离家0km）；
（8）返回时的路程为30km，时间为2h，故返回时的平均速度为15km/h．
【点评】如图a所示，表示速度v与时间t的函数图像中，①表示物体从0开始加速运动，②代表物体匀速运动，③代表物体减速运动到停止．如图b所示，表示路程s与时间t的函数图像中，①代表物体匀速运动，②代表物体停止，③代表物体反向运动直至回到原地．
（a）（b）
◆强化训练
一、填空题
1．如果水的流速是am/min（一定量），那么每分钟的进水量Q（m3）与所选择的水管直径D（m）之间的函数关系式是________，其自变量是_______．
2．（2006，南通）在函数y=
中，自变量x的取值范围是________．
3．三角形的面积是12，三角形底边长y是高x的函数，在平面直角坐标系中，它的图像只能在第______象限．
4．设点P（3，m），Q（n，2）在函数y=x+b的图像上，则m+n=______．
5．若点（
，－
）在反比例函数y=
（k≠0）的图像上，则k=______．
6．某地铁自行车存车处在某星期日的车量为4000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.30元，普通车存车费是每辆一次0.20元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入y（元）与x的函数关系式是___________________．
7．题目中的图是用棋子摆成的“上”字：
如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察发现：
第n个“上”字的棋子数S与n之间的关系式为_______________．
8．（2006，苏州）下列函数中，自变量x的取值范围是x>2的函数是（）
A．y=
B．y=
C．y=
D．y=
二、选择题
9．（2006，泰州）在物理实验课上，小明用弹簧秤将铁块A悬于盛有水的水槽中（右图），然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则能反映弹簧秤的读数y（N）与铁块被提起的高度x（cm）之间的函数关系的大致图像是（）
ABCD
10．汽车由北京驶往相距120km的天津，平均速度是30km/h，则汽车距天津的路程s（km）与行驶时间t（h）的函数关系式及自变量t的取值范围是（）
A．s=120－30t（0≤t≤4）B．s=30t（0≤t≤4）
C．s=120－30t（t>0）D．s=30t（t=4）
11．下列关于变量x，y的关系式中：
①5x－2y=1；②y=│3x│；③x－y=2，其中表示y是x的函数的是（）
A．②B．②③C．①②D．①②③
12．（2008，金华）三军受命，我解放军各部奋力抗战在货物救灾一线，现有甲，乙两支解放军小分队将救灾货物送往重灾小镇，甲队先出发，从部队基地到该小镇只有唯一通道，且路程为24km，下图是他们行走的路程关于时间的函数图像，四位同学观察此函数图像得到有关信息，其中正确的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
13．某班同学在探究弹簧的长度跟外力的变化关系时，实验记录得到的数据如下表：
砝码的质量x/g
0
50
100
150
200
250
300
400
500
指针位置y/cm
2
3
4
5
6
7
7.5
7.5
7.5
则y关于x的函数图像是（）
14．小明根据邻居家的故事写了一首小诗：
“儿子学成今日返，老父早早到车站，儿子到后细端详，父子高兴把家还．”如果用纵轴y表示父亲与儿子行进中离家的距离，用横轴x表示父亲离家的时间，那么下面的图像与上述诗的含义大致吻合的是（）
15．某人骑车外出所行的路程s（km）与时间t（h）的函数关系如图所示，现有下列四种说法：
①第3h中的速度比第1h中的速度快；
②第3h中的速度比第1h中的速度慢；
③第3h后已停止前进；④第3h后保持匀速前进．
其中说法正确的是（）
A．②③B．①③C．①④D．②④
16．（2008，盐城）如图所示，A，B，C，D为⊙O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿O─C─D─O路线做匀速运动，设运动时间为t（s），∠APB=y（°），则下列图像中表示y与t之间函数关系最恰当的是（）
三、解答题
17．如图所示，周长为24的凸五边形ABCDE被对角线BE分为等腰△ABE及矩形BCDE，且AE=DE，设AB的长为x，CD的长为y，求y与x之间的函数关系式，写出自变量的取值范围．
18．（2008，长沙）在平面直角坐标系中，一动点P（x，y）从M（1，0）出发，沿由A（－1，1），B（－1，－1），C（1，－1），D（1，1）四点组成的正方形边线（图①）按一定方向运动．图②是P点运动的路程s（个单位）与运动时间t（秒）之间的函数图像，图③是P点的纵坐标y与P点运动的路程s之间的函数图像的一部分．
（1）s与t之间的函数关系式是________；
（2）与图5－26③相对应的P点的运动路径是：
______；P点出发____秒首次到达点B；
（3）写出当3≤s≤8时，y与s之间的函数关系式，并在图③中补全函数图像．
19．（2006，枣庄）如图所示，在△ABC中，AB=AC=1，点D，E在直线BC上运动．设BD=x，CE=y．
（1）如果∠BAC=30°，∠DAE=105°，试确定y与x之间的函数关系式；
（2）如果∠BAC=
，∠DAE=
，当
、
满足怎样的关系时，
（1）中的y与x之间的函数关系式还成立？
试说明理由．
20．A市和B市有两条路可走，一辆最多可载19人的依维柯汽车在这条公路行驶时的有关数据如下表所示：
路程/km
耗油量（L/100km）
票价/（元/人）
过路费/（元/辆）
油价/（元/L）
第一条路
60
14
16
20
2.9
第二条路
64
10
12
5
2.9
如果用y1（元），y2（元）表示从A市到B市分别走两条路时司机的收入，仅就其中数据求出y1，y2与载客人数x（人）之间的函数表示式．
21．（2005，吉林省）小明受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量筒和体积相同的小球进行了如下操作：
请根据图中给出的信息，解答下列问题：
（1）放入一个小球量筒中水面升高_______cm；
（2）求放入小球后量筒中水面的高度y（cm）与小球个数x（个）之间的一次函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）
（3）量筒中至少放入几个小球时有水溢出？
22．观察图中小黑点的摆入规律，并按照这样的规律继续摆放，记第n个图中小黑点的个数为y．
解答下列问题：
（1）填表：
n
1
2
3
4
5
6
7
…
y
1
3
7
13
…
（2）当n=8时，y=_______；
（3）根据上表中的数据，把n作为横坐标，把y作为纵坐标，在图5－30的平面直角坐标系中描出相应的各点（n，y），其中1≤n≤5；
（4）请你猜一猜上述各点会在某一函数的图象上吗？
如果在某一函数的图像上，请写出该函数的解析式．
答案:
1．Q=
a
D2，D2．x>53．一4．55．－3
6．y=－0.10x+1200（0≤x≤4000）
7．S=4n+2（n>0且为整数）
8．C9．C10．A11．C12．D13．B14．C15．A16．C
17．y=24－4x，418．
（1）设s=kt，知（2，1）在图像上，把（2，1）代入解析式得k=
，
∴s与t的函数关系式为s=
t（t≥0）．
（2）M→D→A→N10
（3）当3≤s<5，即P从A到B时，y=4－s；
当5≤s<7，即P从B到C时，y=－1；
当7≤s≤8，即P从C到M时，y=s－8．
补全图像如图所示．
19．
（1）在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=30°
∵∠ABC=∠ACB=75°
∴∠ABD=∠ACE=105°．
∵∠DAE=105°，∴∠DAB+∠CAE=75°
又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°
∴∠CAE=∠ADB，∴△ADB∽△EAC
∴
即
，∴y=
．
（2）当
、
满足关系式
－
=90°时，函数关系式y=
成立．
理由如下：
要使y=
即
成立，则需且只需△ADB∽△EAC，
由于∠ABD=∠ECA，故只需∠ADB=∠EAC，
又∠ADB+∠BAD=∠ABC=90°－
，∠EAC+∠BAD=
－
，
只需90°－
=
－
，∴
－
=90°．
20．由题意可知：
司机收入=客人付票款－耗油费－过路费．耗油费=油价×耗油量，
则y1=16x－20－2.9×
×60，即y=16x－44.36，同理y2=12x－23.56（021．
（1）2．
（2）设y=kx+b，把（0，30），（3，36）代入得：
解得
即y=2x+30．
（3）由2x+30>49，得x>9.5．
即至少放入10个小球时有水溢出．
22．
（1）n=5时y=21，n=6时y=31，n=7时y=43．
（2）n=8时y=57．
（3）根据题设要求可把点（1，1），（2，3），（3，7），（4，13），（5，21）五个点在图中直观地表示出来．
（4）在y=n2－n+1上．
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