合速度垂直于河岸时，航程最短，s短＝d.船头指向上游与河岸夹角为α，cosα＝
.
③过河路径最短（v2>v1时）：
合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河．确定方法如下：
如图5所示，以v2矢量末端为圆心，以v1矢量的大小为半径画弧，从v2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短．由图可知：
cosα＝
，最短航程：
s短＝
＝
d.
图5
[思维深化]
分析小船渡河问题时主要是利用了合运动与分运动的哪些关系？
答案 等效性、等时性和分运动独立性．
8．[小船渡河的轨迹分析]（多选）小船横渡一条两岸平行的河流，船本身提供的速度（即静水速度）大小不变、船身方向垂直于河岸，水流速度与河岸平行，已知小船的运动轨迹如图6所示，则（ ）
图6
A．越接近河岸水流速度越小
B．越接近河岸水流速度越大
C．无论水流速度是否变化，这种渡河方式耗时最短
D．该船渡河的时间会受水流速度变化的影响
答案 AC
解析 从轨迹曲线的弯曲形状上可以知道，小船先具有向下游的加速度，小船后具有向上游的加速度，故水流是先加速后减速，即越接近河岸水流速度越小，故A正确，B错误；由于船身方向垂直于河岸，无论水流速度是否变化，这种渡河方式耗时最短，故C正确，D错误．
9．[小船渡河情景分析]船在静水中的速度为3.0m/s，它要渡过宽度为30m的河，河水的流速为2.0m/s，则下列说法中正确的是（ ）
A．船不能渡过河
B．船渡河的速度一定为5.0m/s
C．船不能垂直到达对岸
D．船到达对岸所需的最短时间为10s
答案 D
10．[运动情景综合分析]（2014·四川·4）有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河．小明驾着小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直．去程与回程所用时间的比值为k，船在静水中的速度大小相同，则小船在静水中的速度大小为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 设大河宽度为d，小船在静水中的速度为v0，则去程渡河所用时间t1＝
，回程渡河所用时间t2＝
.由题知
＝k，联立以上各式得v0＝
，选项B正确，选项A、C、D错误．
求解小船渡河问题的方法
求解小船渡河问题有两类：
一是求最短渡河时间，二是求最短渡河位移，无论哪类都必须明确以下四点：
（1）解决这类问题的关键是：
正确区分分运动和合运动，船的航行方向也就是船头所指方向的运动，是分运动，船的运动也就是船的实际运动，是合运动，一般情况下与船头指向不共线．
（2）运动分解的基本方法，按实际效果分解，一般用平行四边形定则沿水流方向和船头指向分解．
（3）渡河时间只与垂直河岸的船的分速度有关，与水流速度无关．
（4）求最短渡河位移时，根据船速v船与水流速度v水的大小情况用三角形定则求极限的方法处理．
考点四 绳（杆）端速度分解模型
1．模型特点
沿绳（或杆）方向的速度分量大小相等．
2．思路与方法
合速度→绳拉物体的实际运动速度v
分速度→
方法：
v1与v2的合成遵循平行四边形定则．
3．解题的原则
把物体的实际速度分解为垂直于绳（杆）和平行于绳（杆）两个分量，根据沿绳（杆）方向的分速度大小相等求解．常见的模型如图7所示．
图7
11．[绳牵连物体运动问题]如图8所示，一铁球用细线悬挂于天花板上，静止垂在桌子的边缘，悬线穿过一光盘的中间孔，手推光盘在桌面上平移，光盘带动悬线紧贴着桌子的边缘以水平速度v匀速运动，当光盘由A位置运动到图中虚线所示的B位置时，悬线与竖直方向的夹角为θ，此时铁球（ ）
图8
A．竖直方向速度大小为vcosθ
B．竖直方向速度大小为vsinθ
C．竖直方向速度大小为vtanθ
D．相对于地面速度大小为v
答案 B
解析
光盘的速度是水平向右的，将该速度沿绳和垂直于绳的方向分解，如图所示，沿绳方向的分量v′＝vsinθ，这就是桌面以上绳子变长的速度，也等于铁球上升的速度，B正确；由题意可知铁球在水平方向上速度与光盘相同，竖直方向速度为vsinθ，可得铁球相对于地面速度大小为v
，D错误．
12．[杆牵连物体运动问题]两根光滑的杆互相垂直地固定在一起，上面分别穿有一个小球，小球a、b间用一细直棒相连，如图9所示．当细直棒与竖直杆夹角为θ时，求两小球实际速度大小之比．
图9
答案 tanθ
解析
根据速度的分解特点，可作出两小球的速度关系如图所示．由图中几何关系可得，a、b沿杆方向的分速度分别为vacosθ和vbsinθ，根据“关联速度”的特点可知，两小球沿杆的分速度大小相等，即有vacosθ＝vbsinθ，解得：
＝tanθ.
绳（杆）牵连物体的分析技巧
1．解题关键：
找出合速度与分速度的关系是求解关联问题的关键．
2．基本思路：
（1）先确定合速度的方向（物体实际运动方向）．
（2）分析合运动所产生的实际效果：
一方面使绳或杆伸缩；另一方面使绳或杆转动．
（3）确定两个分速度的方向：
沿绳或杆方向的分速度和垂直绳或杆方向的分速度，而沿绳或杆方向的分速度大小相同．
1．篮球是深受广大人民群众喜爱的体育运动，某电视台为宣传全民健身运动，举办了一期趣味投篮比赛，运动员站在一个旋转较快的大平台边缘上，向大平台圆心处的球筐内投篮球．如果运动员相对平台静止，则下面各俯视图中哪幅图中的篮球可能被投入球筐（图中箭头指向表示投篮方向）（ ）
答案 C
解析 当沿圆周切线方向的速度和出手速度的合速度沿篮筐方向，球就会被投入篮筐，故C正确，A、B、D错误．
2.（多选）如图10所示，A、B两球分别套在两光滑的水平直杆上，两球通过一轻绳绕过一定滑轮相连，现在将A球以速度v向左匀速移动，某时刻连接两球的轻绳与水平方向的夹角分别为α、β，下列说法正确的是（ ）
图10
A．此时B球的速度为
v
B．此时B球的速度为
v
C．在β增大到90°的过程中，B球做匀速运动
D．在β增大到90°的过程中，B球做加速运动
答案 AD
解析 由于绳连接体沿绳方向的速度大小一定，因此vcosα＝vBcosβ，解得vB＝
v，A项正确，B项错误；在β增大到90°的过程中，α在减小，因此B球的速度在增大，B球在做加速运动，C项错误，D项正确．
3．（多选）如图11所示，有一个沿水平方向做匀速直线运动的半径为R的半圆柱体，半圆柱面上搁着一个只能沿竖直方向运动的竖直杆，在竖直杆未达到半圆柱体的最高点之前（ ）
图11
A．半圆柱体向右匀速运动时，竖直杆向上做匀减速直线运动
B．半圆柱体向右匀速运动时，竖直杆向上做减速直线运动
C．半圆柱体以速度v向右匀速运动，杆同半圆柱体接触点和柱心的连线与竖直方向的夹角为θ时，竖直杆向上的运动速度为vtanθ
D．半圆柱体以速度v向右匀速运动，杆同半圆柱体接触点和柱心的连线与竖直方向的夹角为θ时，竖直杆向上的运动速度为vsinθ
答案 BC
解析 O点向右运动，O点的运动使杆OA绕A点（定点）逆时针转动的同时，沿杆OA方向向上推动A点；竖直杆的实际速度（A点的速度）方向竖直向上，使A点绕O点（重新定义定点）逆时针转动的同时，沿OA方向（弹力方向）与OA具有相同速度．速度分解如图乙所示，对于O点，v1＝vsinθ，对于A点，vA＝
，解得vA＝vtanθ.O点（半圆柱体）向右匀速运动时，杆向上运动，θ角减小，tanθ减小，vA减小，但杆不做匀减速直线运动，A错误，B正确；由vA＝vtanθ可知C正确，D错误．
4.如图12所示，一艘轮船正在以4m/s的速度沿垂直于河岸方向匀速渡河，河中各处水流速度都相同，其大小为v1＝3m/s，行驶中，轮船发动机的牵引力与船头朝向的方向相同．某时刻发动机突然熄火，轮船牵引力随之消失，轮船相对于水的速度逐渐减小，但船头方向始终未发生变化．求：
图12
（1）发动机未熄火时，轮船相对于静水行驶的速度大小；
（2）发动机熄火后，轮船相对于河岸速度的最小值．
答案
（1）5m/s
（2）2.4m/s
解析
（1）发动机未熄火时，轮船运动速度v与水流速度v1方向垂直，如图所示，故此时船相对于静水的速度v2的大小：
v2＝
＝
m/s＝5m/s，设v与v2的夹角为θ，则cosθ＝
＝0.8.
（2）熄火前，船的牵引力沿v2的方向，水的阻力与v2的方向相反，熄火后，牵引力消失，在阻力作用下，v2逐渐减小，但其方向不变，当v2与v1的矢量和与v2垂直时，轮船的合速度最小，则vmin＝v1cosθ＝3×0.8m/s＝2.4m/s.
练出高分
基础巩固
1．如图1所示，水平桌面上一小铁球沿直线运动．若在铁球运动的正前方A处或旁边B处放一块磁铁，下列关于小球运动的说法正确的是（ ）
图1
A．磁铁放在A处时，小铁球做匀速直线运动
B．磁铁放在A处时，小铁球做匀加速直线运动
C．磁铁放在B处时，小铁球做匀速圆周运动
D．磁铁放在B处时，小铁球做变加速曲线运动
答案 D
解析 磁铁放在A处时，小铁球做变加速直线运动，选项A、B错误；磁铁放在B处时，小铁球做变加速曲线运动，选项C错误，选项D正确．
2．塔式起重机模型如图2所示，小车P沿吊臂向末端M水平匀速运动，同时将物体Q从地面竖直向上匀加速吊起，下列选项中能大致反映Q运动轨迹的是（ ）
图2
答案 B
解析 水平方向做匀速直线运动，水平方向的合力为零，竖直方向做匀加速运动，竖直方向的合力不为零，做曲线运动的物体受到的合力指向曲线的内侧，可得选项B正确．
3.如图3所示，某登陆舰船头垂直海岸从A点出发，分别沿路径AB、AC在演练岛屿的BC两点登陆．已知登陆舰在静水中速度恒定且大于水速，则下列说法正确的是（ ）
图3
A．沿AC航行所用时间较长
B．沿AC航行时水速较大
C．实际航速两次大小相等
D．无论船头方向如何，登陆舰都无法在A点正对岸登陆
答案 A
解析 根据沿着水流方向的位移，因沿路径AC航行的方向位移长，则所用时间较长，故A正确；不论沿哪种路径航行，水速不变，故B错误；根据速度的合成可知，实际航速两次大小不相等，故C错误；当船头偏向上游时，可以在A点正对岸登陆，故D错误．
4．一小船渡河，已知河水的流速与距河岸的距离的变化关系如图4甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示，则（ ）
图4
A．船渡河的最短时间75s
B．要使船以最短时间渡河，船在河水中航行的轨迹是一条直线
C．要使船以最短路程渡河，船在行驶过程中，船头必须始终与河岸垂直
D．要使船以最短时间渡河，船在河水中的速度是5m/s
答案 A
解析 当船的速度与河岸垂直时，渡河时间最短，t＝
＝
s＝75s，故A正确；船在沿河岸方向上做变速运动，在垂直于河岸方向上做匀速直线运动，两运动的合运动是曲线运动，故B错误；要使船以最短时间渡河，船在行驶过程中，船头必须始终与河岸垂直，故C错误；要使船以最短时间渡河，船在航行中与河岸垂直，根据速度的合成可知，船在河水中的最大速度是5m/s，故D错误．
5．如图5所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当小车匀速向左运动时，物体M的受力和运动情况是（ ）
图5
A．绳的拉力等于M的重力
B．绳的拉力大于M的重力
C．物体M向上做匀速运动
D．物体M向上做匀加速运动
答案 B
解析 当小车匀速向左运动时，沿绳子方向的速度vcosθ增大，物体M向上做变加速运动，绳的拉力大于M的重力，选项B正确．
6．（多选）质量为m的物体，在F1、F2、F3三个共点力的作用下做匀速直线运动，保持F1、F2不变，仅将F3的方向改变90°（大小不变）后，物体可能做（ ）
A．加速度大小为
的匀变速直线运动
B．加速度大小为
的匀变速直线运动
C．加速度大小为
的匀变速曲线运动
D．匀速直线运动
答案 BC
解析 物体在F1、F2、F3三个共点力作用下做匀速直线运动，必有F3与F1、F2的合力等大反向，当F3大小不变、方向改变90°时，F1、F2的合力大小仍为F3，方向与改变方向后的F3夹角为90°，故F合＝
F3，加速度a＝
＝
.若初速度方向与F合方向共线，则物体做匀变速直线运动；若初速度方向与F合方向不共线，则物体做匀变速曲线运动，综上所述本题选B、C.
7．（多选）如图6所示，在灭火抢险的过程中，消防队员有时要借助消防车上的梯子爬到高处进行救人或灭火作业．为了节省救援时间，在消防车向前前进的过程中，人同时相对梯子（与消防车的角度固定不变）匀速向上运动．在地面上看消防队员的运动，下列说法中正确的是（ ）
图6
A．当消防车匀速前进时，消防队员一定做匀加速直线运动
B．当消防车匀速前进时，消防队员一定做匀速直线运动
C．当消防车匀加速前进时，消防队员一定做匀变速曲线运动
D．当消防车匀加速前进时，消防队员一定做匀变速直线运动
答案 BC
解析 消防队员相对梯子匀速向上运动，当消防车匀速前进时，由两个匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动可知，消防队员一定做匀速直线运动，选项A错误，B正确；当消防车匀加速前进时，由不在同一直线上的匀速直线运动和匀变速直线运动的合运动一定是匀变速曲线运动可知，消防队员一定做匀变速曲线运动，选项C正确，D错误．
8．（多选）如图7甲、乙所示，民族运动会上有一个骑射项目，运动员骑在奔驰的马背上沿跑道AB运动，且向他左侧的固定目标拉弓放箭．假设运动员骑马奔驰的速度为v1，运动员静止时射出的箭的速度为v2，跑道离固定目标的最近距离OC＝d.若不计空气阻力的影响，要想命中目标且射出的箭在空中飞行时间最短，则（ ）
图7
A．运动员放箭处离目标的距离为
d
B．运动员放箭处离目标的距离为
d
C．箭射到固定目标的最短时间为
D．箭射到固定目标的最短时间为
答案 BC
解析 联系“小船渡河模型”可知，射出的箭同时参与了v1、v2两个运动，要想命中目标且射出的箭在空中飞行时间最短，箭射出的方向应与马运动的方向垂直，故箭射到固定目标的最短时间为t＝
，箭的速度v＝
，所以运动员放箭处离固定目标的距离为x＝vt＝
d，B、C正确．
综合应用
9.汽车静止时，车内的人从矩形车窗ABCD看到窗外雨滴的运动方向如图8图线①所示．在汽车从静止开始匀加速启动阶段的t1、t2两个时刻，看到雨滴的运动方向分别如图线②③所示．E是AB的中点．则（ ）
图8
A．t2＝2t1B．t2＝
t1
C．t2＝
t1D．t2＝
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