高考数学同步专题突破及解析 7.docx

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高考数学同步专题突破及解析7

§2.3　等比数列

2.3.1　等比数列

第1课时　等比数列的概念及通项公式

学习目标

　1.通过实例，理解等比数列的概念.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程．

知识点一　等比数列的概念

等比数列的概念和特点．

1．文字定义：

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．

2．递推公式形式的定义：

＝q（n≥2）.

3．等比数列各项均不能为0.

知识点二　等比中项的概念

等比中项与等差中项的异同，对比如下表：

对比项

等差中项

等比中项

定义

若x，A，y成等差数列，则A叫做x与y的等差中项

若x，G，y成等比数列，则G叫做x与y的等比中项

定义式

A－x＝y－A

＝

公式

A＝

G＝±

个数

x与y的等差中项唯一

x与y的等比中项有两个，且互为相反数

备注

任意两个数x与y都有等差中项

只有当xy＞0时，x与y才有等比中项

知识点三　等比数列的通项公式

若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1（n∈N＋）．

1．若an＋1＝qan，n∈N＋，且q≠0，则{an}是等比数列．（　×　）

2．任何两个数都有等比中项．（　×　）

3．等比数列1，，，，…中，第10项为.（　√　）

4．常数列既是等差数列，又是等比数列．（　×　）

题型一　等比数列的判定

命题角度1　已知数列前若干项判断是否为等比数列

例1　判断下列数列是否为等比数列．

（1）1,3,32,33，…，3n-1，…；

（2）－1,1,2,4,8，…；

（3）a1，a2，a3，…，an，….

解　

（1）记数列为{an}，显然a1＝1，a2＝3，…，an＝3n-1，….

∵＝＝3（n≥2，n∈N＋），

∴数列为等比数列，且公比为3.

（2）记数列为{an}，显然a1＝－1，a2＝1，a3＝2，…，

∵＝－1≠＝2，∴此数列不是等比数列．

（3）当a＝0时，数列为0,0,0，…是常数列，不是等比数列；

当a≠0时，数列为a1，a2，a3，a4，…，an，…，显然此数列为等比数列，且公比为a.

反思感悟　判定等比数列，要抓住3个要点：

①从第二项起．②要判定每一项，不能有例外．③每一项与前一项的比是同一个常数，且不能为0.

跟踪训练1　下列各组数成等比数列的是（　　）

①1，－2,4，－8；②－，2，－2，4；③x，x2，x3，x4；④a－1，a－2，a－3，a－4.

A．①②B．①②③

C．①②④D．①②③④

答案　C

解析　①②显然是等比数列；由于x可能为0，③不是；

a不能为0，④符合等比数列定义，故④是．

命题角度2　已知递推公式判断是否为等比数列

例2　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.

（1）证明：

数列{an＋1}是等比数列；

（2）求数列{an}的通项公式．

（1）证明　∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2（an＋1）．

由a1＝1，知a1＋1≠0，从而an＋1≠0.

∴＝2（n∈N＋）．

∴数列{an＋1}是等比数列．

（2）解　由

（1）知{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列．

∴an＋1＝2·2n－1＝2n.即an＝2n－1.

反思感悟　等比数列的判定方法

（1）定义法：

＝q（n≥2，q是不为0的常数）⇔{an}是公比为q的等比数列．

（2）等比中项法：

a＝an－1·an＋1（n≥2，an，an－1，an＋1均不为0）⇔{an}是等比数列．

跟踪训练2　数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3（n＝2,3，…）．

（1）求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列；

（2）求数列{an}的通项公式．

解　

（1）a2＝3a1－2×2＋3＝－4，

a3＝3a2－2×3＋3＝－15.

＝＝＝3（n＝1,2,3，…）．

又a1－1＝－2，∴数列{an－n}是以－2为首项，3为公比的等比数列．

（2）由

（1）知an－n＝－2·3n-1，∴an＝n－2·3n-1.

题型二　等比数列基本量的计算

例3　在等比数列{an}中．

（1）已知a2＝4，a5＝－，求an；

（2）已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝，求n.

解　

（1）设等比数列的公比为q，

则解得

∴an＝a1qn-1＝（－8）n-1＝n-4.

（2）设等比数列{an}的公比为q.

∵a4＋a7＝a3q＋a6q＝（a3＋a6）q，∴q＝＝.

∵a4＋a7＝18，∴a4（1＋q3）＝18.

∴a4＝16，an＝a4·qn-4＝16·n-4.

由16·n-4＝，得n－4＝5，∴n＝9.

反思感悟　已知等比数列{an}的某两项的值，求该数列的其他项或求该数列的通项常用方程思想，通过已知可以得到关于a1和q的两个方程，从而解出a1和q，再求其他项或通项．

跟踪训练3　在等比数列{an}中：

（1）已知a1＝3，q＝－2，求a6；

（2）已知a3＝20，a6＝160，求an.

解　

（1）由等比数列的通项公式得a6＝3×（－2）6-1＝－96.

（2）设等比数列的公比为q，

那么解得

所以an＝a1qn-1＝5×2n-1，n∈N＋.

方程的思想在等比数列中的应用

典例1　有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．

解　方法一　设这四个数依次为a－d，a，a＋d，，

由条件得解得或

所以当a＝4，d＝4时，所求的四个数为0，4，8，16；

当a＝9，d＝－6时，所求的四个数为15，9，3，1.

故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.

方法二　设这四个数依次为－a，，a，aq（q≠0），

由条件得解得或

当a＝8，q＝2时，所求的四个数为0,4,8,16；

当a＝3，q＝时，所求的四个数为15,9,3,1.

故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.

典例2　设四个实数依次成等比数列，其积为210，中间两项的和是4，则这四个数为多少？

解　设这四个数依次为，a，aq，aq2（q≠0），

根据题意得解得q＝－2或－，

当q＝－2时，a＝－4，

所求四个数依次为2，－4，8，－16.

当q＝－时，a＝8，

所求四个数依次为－16，8，－4，2，

综上，这四个数依次为2，－4，8，－16或－16，8，－4，2.

[素养评析]　

（1）解决这类题目通常用方程的思想，列方程首先应引入未知数，三个数或四个数成等比数列的设元技巧：

①若三个数成等比数列，可设三个数为，a，aq或a，aq，aq2（q≠0）．

②若四个数成等比数列，可设为，a，aq，aq2或，，aq，aq3（q≠0）．

（2）像本例，明确运算对象，选择运算方法，求得运算结果充分体现数学运算的数学核心素养.

1．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为（　　）

A．4B．8C．6D．32

答案　C

解析　由等比数列的通项公式得，128＝4×2n-1，2n-1＝32，所以n＝6.

2．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于（　　）

A．64B．81C．128D．243

答案　A

解析　∵{an}为等比数列，∴＝q＝2.

又a1＋a2＝3，∴a1＝1，故a7＝1·26＝64.

3．设a1＝2，数列{1＋2an}是公比为3的等比数列，则a6等于（　　）

A．607.5B．608C．607D．159

答案　C

解析　∵1＋2an＝（1＋2a1）×3n-1，

∴1＋2a6＝5×35，∴a6＝＝607.

4．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第4项等于（　　）

A．－24B．0C．12D．24

答案　A

解析　由题意知（3x＋3）2＝x（6x＋6），即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1（舍去），所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第4项为－24.

5．45和80的等比中项为________．

答案　－60或60

解析　设45和80的等比中项为G，

则G2＝45×80，∴G＝±60.

6．一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项．

解　设这个等比数列的第1项是a1，公比是q，那么

②÷①，得q＝，

将q＝代入①，得a1＝.

因此，a2＝a1q＝×＝8.

综上，这个数列的第1项与第2项分别是与8.

1．等比数列的判断或证明

（1）利用定义：

＝q（与n无关的常数）．

（2）利用等比中项：

a＝anan＋2（n∈N＋，且数列各项均不为零）．

2．两个同号的实数a，b才有等比中项，而且它们的等比中项有两个（±），而不是一个（），这是容易忽视的地方．

3．等比数列的通项公式an＝a1qn－1共涉及a1，q，n，an四个量，已知其中三个量可求得第四个量.

一、选择题

1．2＋和2－的等比中项是（　　）

A．1B．－1C．±1D．2

答案　C

解析　设2＋和2－的等比中项为G，则G2＝（2＋）（2－）＝1，∴G＝±1.

2．（2018·四川广安中学高一月考）有下列四个说法：

①等比数列中的某一项可以为0；

②等比数列中公比的取值范围是（－∞，＋∞）；

③若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为1；

④若b2＝ac，则a，b，c成等比数列．

其中正确说法的个数为（　　）

A．0B．1C．2D．3

答案　B

解析　只有③正确．

3．公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a2a12＝16，则a5等于（　　）

A．1B．2C．4D．8

答案　A

解析　∵a2a12＝a1q·a1q11＝a·q12＝a·212＝16，

∴a＝2-8，又an＞0，∴a1＝2-4，

∴a5＝a1q4＝2-4·24＝1.

4．在等比数列{an}中，an>0，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，则a4＋a5的值为（　　）

A．16B．27C．36D．81

答案　B

解析　∵a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，∴q2＝9.

∴q＝3（q＝－3舍去），∴a4＋a5＝（a3＋a4）q＝27.

5．已知a，b，c∈R，如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么（　　）

A．b＝3，ac＝9B．b＝－3，ac＝9

C．b＝3，ac＝－9D．b＝－3，ac＝－9

答案　B

解析　∵b2＝（－1）×（－9）＝9且b与首项－1同号，

∴b＝－3，且a，c必同号．∴ac＝b2＝9.

6．在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1.若am＝a1a2a3a4a5，则m等于（　　）

A．9B．10C．11D．12

答案　C

解析　在等比数列{an}中，∵a1＝1，∴am＝a1a2a3a4a5＝aq10＝q10.∵am＝a1qm-1＝qm-1，∴m－1＝10，∴m＝11.

7．已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点是（b，c），则ad等于（　　）

A．3B．2C．1D．－2

答案　B

解析　∵y＝（x－1）2＋2，∴b＝1，c＝2.

又∵a，b，c，d成等比数列，∴ad＝bc＝2.

二、填空题

8．在等比数列{an}中，若a3＝3，a10＝384，则公比q＝________.

答案　2

解析　a3＝a1q2＝3，a10＝a1q9＝384，两式相除得，q7＝128，所以q＝2.

9．在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为________________．

答案　80,40,20,10

解析　设这6个数所成等比数列的公比为q，则5＝160q5，∴q5＝，∴q＝.

∴这4个数依次为80,40,20,10.

10．数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝________.

答案　1

解析　设等差数列的公差为d，则a3＝a1＋2d，a5＝a1＋4d，

∴（a1＋2d＋3）2＝（a1＋1）（a1＋4d＋5），解得d＝－1，

∴q＝＝＝1.

11．在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思．今共有粮98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，则衰分比例为________．

答案　

解析　设衰分比例为q，则甲、乙、丙各分得，28,28q石，

∴＋28＋28q＝98，∴q＝2或.

又0＜q＜1，∴q＝.

三、解答题

12．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求证：

{an}是等比数列，并求出通项公式．

解　∵Sn＝2an＋1，∴Sn＋1＝2an＋1＋1.

∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝（2an＋1＋1）－（2an＋1）＝2an＋1－2an.

∴an＋1＝2an，

又∵S1＝2a1＋1＝a1，∴a1＝－1≠0，

又由an＋1＝2an知an≠0，

∴＝2，∴{an}是首项为－1，公比为2的等比数列．

∴an＝－1×2n－1＝－2n－1.

13．已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a－（2an＋1－1）an－2an＋1＝0.

（1）求a2，a3；

（2）求{an}的通项公式．

解　

（1）由题意可得a2＝，a3＝.

（2）由a－（2an＋1－1）an－2an＋1＝0，得2an＋1（an＋1）＝an（an＋1）．

因为{an}的各项都为正数，所以＝.

故{an}是首项为1，公比为的等比数列，

因此an＝，n∈N＋.

14．如图给出了一个“三角形数阵”，已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i行第j列的数为aij（i，j∈N＋），则a53的值为（　　）

A.B.C.D.

答案　C

解析　第一列构成首项为，公差为的等差数列，所以a51＝＋（5－1）×＝.又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，所以第5行构成首项为，公比为的等比数列，所以a53＝×2＝.

15．在各项均为负数的数列{an}中，已知2an＝3an＋1，且a2a5＝.

（1）求证：

{an}是等比数列，并求出其通项公式；

（2）试问－是这个等比数列中的项吗？

如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理由．

解　

（1）∵2an＝3an＋1，∴＝.

又∵数列{an}的各项均为负数，∴a1＜0，

∴数列{an}是以为公比的等比数列．

∴an＝a1·qn-1＝a1·n-1，

∴a2＝a1·2-1＝a1，

a5＝a1·5-1＝a1，

又∵a2·a5＝a1·a1＝，

∴a＝.又∵a1<0，∴a1＝－.

∴an＝×n-1＝－n-2（n∈N＋）．

（2）令an＝－n-2＝－，

则n－2＝4，n＝6∈N＋，

∴－是这个等比数列中的项，且是第6项．