15同余法解题.docx

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15同余法解题

第十五讲同余法解题

一、知识要点

在平时解题中，我们经常会遇到把着眼点放在余数上的问题。

如：

现在时刻是7时30分，再过52小时是几时几分？

我们知道一天是24小时，52÷24=2……4，也就是说52小时里包含两个整天再加上4小时，这样就在7时30分的基础上加上4小时，就是11时30分。

很明显这个问题的着眼点是放在余数上了。

1、同余的表达式和特殊符号:

37和44同除以7，余数都是2，把除数7称作“模7”，37、44对于模7同余。

记作：

37≡44（mod7）,“≡”读作同余。

一般地，两个整数A和B，除以大于1的自然数M所得的余数相同，就称A、B对于模M同余，记作：

A≡B（modM）

2、同余的性质

（1）A≡A（modM）（每个整数都与自身同余，称为同余的反身性。

）

（2）若A≡B（modM），那么B≡A（modM）（这称作同余的对称性）

（3）若A≡B（modM），B≡C（modM），则A≡C（modM）（这称为同余的传递性）

（4）若A≡B（modM），C≡D（modM），则A±C≡B±D（modM）（这称为同余的可加性、可减性）则A×C≡B×D（modM）（称为同余的可乘性）

（5）若A≡B（modM），则A

≡B

（modM），n为正整数，同余还有一个非常有趣的现象：

如果A≡B（modM）,那么M｜（A－B）（A－B的差一定能被M整除）,这是为什么呢？

3、同余口诀：

“差同减差，和同加和，余同取余，最小公倍加”这是同余问题的口诀。

1）、差同减差：

用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的差相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，减去这个相同的差数，称为：

“差同减差”。

例：

“一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3”，因为4-1=5-2=6-3=3，所以取-3，表示为60n-3。

2）、和同加和：

用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的和相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的和数，称为：

“和同加和”。

例：

“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，因为4+3=5+2=6+1=7，所以取+7，表示为60n+7。

3）、余同取余：

用一个数除以几个不同的数，得到的余数相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的余数，称为：

“余同取余”。

例：

“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1”，因为余数都是1，所以取+1，表示为60n+1。

4）、最小公倍加：

所选取的数加上除数的最小公倍数的任意整数倍（即上面1、2、3中的60n）都满足条件，称为：

“最小公倍加”，也称为：

“公倍数作周期”。

  二、精典例题

例1：

有8只盒子，每只盒子内放有同一种笔。

8只盒子所装笔的支数分别为17、23、33、36、38、42、49、51支。

在这些笔中，圆珠笔的支数是钢笔的支数的2倍，钢笔的支数是铅笔支数的

，只有一只盒子里放的是水彩笔。

这盒水彩笔共有多少支？

【解析】“钢笔的支数是铅笔支数的

”可换为“铅笔的支数是钢笔的支数的3倍”，那么圆珠笔、铅笔、钢笔的总和一定是6的倍数，8盒一共有289支，因为289÷6＝48……1，所以水彩笔的支数除以6一定余1，故只能是49支。

例2、用412、133和257除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个自然数最大是几？

【解析】假设这个自然数是a，因为412、133和257除以a所得的余数相同，所以a｜（412－133）,a｜（412－257）,a｜（257－133）,说明a是以上三个数中任意两数差的约数，要求最大是几，就是求这三个差的最大公约数。

（155,124,279）=31,所以a最大是31。

例3、249×388×234除以19，余数是几？

【解析】如果把三个数相乘的积求出来再除以19，就太麻烦了，利用同余思想解决就容易了。

因为249≡2（mdo19）,388≡8（mdo19）,234≡6（mdo19）,

所以249×388×234≡2×8×6≡1（mdo19）

此题应用了同余的可乘性，同余的传递性。

例4、有一个1997位数，它的每个数位都是2，

这个数除以13，商的第100位是几？

最后余数是几？

【解析】

这个数除以13，商是有规律的。

   商是170940六个数循环，那么

，即

，我们从左向右数“170940”的第4个数就是我们找的那个数“9”，所以商的第100位是9。

   余数是几呢？

   则

   所以商的个位数字应是“170940”中的第4个，商应是9，相应的余数是5。

三、练习题

1.求下列算式中的余数。

（1）

（2）

 （3）

      （4）

2.6254与37的积除以7，余数是几？

3.如果某数除482，992，1094都余74，这个数是几？

4、300、262、205被同一个整数除，得到相同的余数，这个整数是几？

5、一个自然数被247除余63，被248除余63，求这个自然数被26除的余数。

6、一个自然数N被10除余9，被9除余8，被8除余7，被7除余6，被6除余5，被5除余4，被4除余3，被3除余2，被2除余1，求N的最小值。

7、两个数除以11分别余9和10，这两个数的和除以11余几？

8、甲、乙、丙三个数之和是100，甲数除以乙数，或丙数除以甲数，得数都商5余1，乙数是多少？

9、求下列各式的余数。

（1）2

÷6

（2）48

÷5

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