1、15同余法解题第十五讲 同余法解题一、知识要点在平时解题中,我们经常会遇到把着眼点放在余数上的问题。如:现在时刻是7时30分,再过52小时是几时几分?我们知道一天是24小时,5224=24,也就是说52小时里包含两个整天再加上4小时,这样就在7时30分的基础上加上4小时,就是11时30分。很明显这个问题的着眼点是放在余数上了。1、 同余的表达式和特殊符号:37和44同除以7,余数都是2,把除数7称作“模7”,37、44对于模7同余。 记作:3744(mod7),“”读作同余。一般地,两个整数A和B,除以大于1的自然数M所得的余数相同,就称A、B对于模M同余,记作:AB(modM)2、同余的性质
2、(1)AA(modM)(每个整数都与自身同余,称为同余的反身性。)(2)若AB(modM),那么BA(modM)(这称作同余的对称性)(3)若AB(modM),BC(modM),则AC(modM)(这称为同余的传递性)(4)若AB(modM),CD(modM),则ACBD(modM)(这称为同余的可加性、可减性)则ACBD(modM)(称为同余的可乘性)(5)若AB(modM),则AB (modM),n为正整数,同余还有一个非常有趣的现象:如果AB(modM),那么M(AB)(AB的差一定能被M整除),这是为什么呢?3、同余口诀:“差同减差,和同加和,余同取余,最小公倍加”这是同余问题的口诀。
3、1)、差同减差:用一个数除以几个不同的数,得到的余数,与除数的差相同,此时反求的这个数,可以选除数的最小公倍数,减去这个相同的差数,称为:“差同减差”。例:“一个数除以4余1,除以5余2,除以6余3”,因为4-1=5-2=6-3=3,所以取-3,表示为60n-3。2)、和同加和:用一个数除以几个不同的数,得到的余数,与除数的和相同,此时反求的这个数,可以选除数的最小公倍数,加上这个相同的和数,称为:“和同加和”。例:“一个数除以4余3,除以5余2,除以6余1”,因为4+3=5+2=6+1=7,所以取+7,表示为60n+7。3)、余同取余:用一个数除以几个不同的数,得到的余数相同,此时反求的这个
4、数,可以选除数的最小公倍数,加上这个相同的余数,称为:“余同取余”。例:“一个数除以4余1,除以5余1,除以6余1”,因为余数都是1,所以取+1,表示为60n+1。4)、最小公倍加:所选取的数加上除数的最小公倍数的任意整数倍(即上面1、2、3中的60n)都满足条件,称为:“最小公倍加”,也称为:“公倍数作周期”。二、精典例题例1:有8只盒子,每只盒子内放有同一种笔。8只盒子所装笔的支数分别为17、23、33、36、38、42、49、51支。在这些笔中,圆珠笔的支数是钢笔的支数的2倍,钢笔的支数是铅笔支数的,只有一只盒子里放的是水彩笔。这盒水彩笔共有多少支?【解析】“钢笔的支数是铅笔支数的”可换
5、为“铅笔的支数是钢笔的支数的3倍”,那么圆珠笔、铅笔、钢笔的总和一定是6的倍数,8盒一共有289支,因为2896481,所以水彩笔的支数除以6一定余1,故只能是49支。例2、 用412、133和257除以一个相同的自然数,所得的余数相同,这个自然数最大是几?【解析】假设这个自然数是a,因为412、133和257除以a所得的余数相同,所以a(412133),a(412257),a(257133),说明a是以上三个数中任意两数差的约数,要求最大是几,就是求这三个差的最大公约数。(155,124,279)=31,所以a最大是31。例3、 249388234除以19,余数是几?【解析】如果把三个数相乘
6、的积求出来再除以19,就太麻烦了,利用同余思想解决就容易了。因为2492(mdo19), 3888(mdo19),2346(mdo19), 所以2493882342861(mdo19)此题应用了同余的可乘性,同余的传递性。例4、 有一个1997位数,它的每个数位都是2,这个数除以13,商的第100位是几?最后余数是几?【解析】这个数除以13,商是有规律的。 商是170940六个数循环,那么,即,我们从左向右数“170940”的第4个数就是我们找的那个数“9”,所以商的第100位是9。 余数是几呢? 则 所以商的个位数字应是“170940”中的第4个,商应是9,相应的余数是5。三、练习题1. 求
7、下列算式中的余数。 (1) (2)(3)(4)2. 6254与37的积除以7,余数是几?3. 如果某数除482,992,1094都余74,这个数是几?4、300、262、205被同一个整数除,得到相同的余数,这个整数是几?5、一个自然数被247除余 63,被248除余63,求这个自然数被26除的余数。6、一个自然数N被10除余9,被9除余8,被8除余7,被7除余6,被6除余5,被5除余4,被4除余3,被3除余2,被2除余1,求N的最小值。7、两个数除以11分别余9和10,这两个数的和除以11余几?8、甲、乙、丙三个数之和是100,甲数除以乙数,或丙数除以甲数,得数都商5余1,乙数是多少?9、求下列各式的余数。(1) 26 (2)485论文网 AN2z5gGAlvQk
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