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实验指导书
《数学模型》实验指导书
实验项目与学时分配表
序号
实验项目名称
学时
实验类型
实验主要仪器设备
备注
1
预测利润问题
4
综合性
电脑
必做
2
梯子长度问题
3
综合性
电脑
必做
3
绕拐角问题
3
综合性
电脑
必做
4
鱼的游动技巧
4
综合性
电脑
必做
5
数学规划问题
4
综合性
电脑
必做
6
融雪问题
3
综合性
电脑
必做
7
饿狼追兔问题
4
综合性
电脑
必做
8
贷款问题
3
综合性
电脑
必做
9
岗位选择问题
4
综合性
电脑
必做
实验项目一：
预测利润问题
一、实验目的和要求：
熟悉科学计算软件MATLAB的图形功能，会用软件画图，并进行数据模拟。
依照人口增长模型，掌握数据预测方法。
二、实验内容：
某乡镇企业2001-2007年的生产利润如下表；
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
利润（万元）
70
122
144
152
174
196
202
试预测2008年和2009年的利润。
三、过程：
１．利用MATLAB软件或其它绘图软件，对所给数据画出散点图；
２．根据散点图，分析合适的函数，并试探（画图作对比）；
３．确定函数类型，作数据拟合，确定函数中的参数；
４．作误差分析．
实验项目二：
梯子长度问题
一、实验目的和要求：
掌握求一元函数极值的驻点法，并会用它解决一些实际问题；熟悉科学计算软件MATLAB求极小值的命令。
二、实验内容：
一栋楼房的后面是一个很大的花园。
在花园中紧靠着楼房有一个温室，温室伸入花园宽2m，高3m，温室正上方是楼房的窗台。
清洁工打扫窗台周围，他得用梯子越过温室，一头放在花园中，一头靠在楼房的墙上。
因为温室是不能承受梯子压力的，所以梯子太短是不行的。
现清洁工只有一架7m长的梯子，你认为它能达到要求吗？
能满足要求的梯子的最小长度为多少？
三、过程：
1、设温室宽为a，高为b，梯子倾斜的角度为x，当梯子与温室顶端A处恰
好接触时，梯子的长度L只与x有关。
试写出函数L（x）及其定义域。
3、在Matlab环境，先用命令clearx清除x的值，再定义函数L（x），并求导。
4、将a、b赋值，画出L（x）的图形。
注意自变量x的范围选取。
5、求驻点，即求方程
的根，有什么命令求根？
并计算函数在驻点的值。
驻点唯一吗？
6、观测图形，选取初始点，用fminbnd直接求L（x）的极小值。
并与（5）的结果比较。
7、取a=2,b=2.8,重新运行程序，结果如何？
实验项目三：
绕拐角问题
一、实验目的和要求：
学习函数极值的相关知识，熟悉科学计算软件MATLAB求极值的方法。
二、实验内容：
在某医院走廊拐角处，垂直相交的两通道宽度分别是1m与1.5m,病床宽为0.80m，问病床至多为多长才能被推过此拐角？
三、过程
1建立数学模型；
2求解θ，使函数L（θ）达到最小；
3改动模型中一些数据，再求解，观测结果。
某建筑物内一个水平直角型过道如图所示，两过道的宽度均为3米，有一个水平截面为矩形的设备需要水平移进直角型过道，若该设备水平截面矩形的宽为1米，长为7米.问：
该设备能否水平移进拐角过道？
解由题设，我们以直线OB,OA分别为x轴，y轴建立直角坐标系，问题可转化为：
求以M（3,3）点为圆心，半径为1的圆的切线被x的正半轴和y的正半轴所截的线段AB长的最小值。
设直线AB的方程为
，∵它与圆
相切，
∴
。
。
。
。
。
。
（1），又∵原点O（0,0）与点M（3,3）在直线
的异侧，∴
，∴
（1）式可化为
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
（2）
下面求
（a>0,b>0）的最小值。
设
代入
（2）得
，。
。
。
。
。
。
（3）再设t=sinθ+cosθ,
.
代入（3）
得
，
记
这里f
（1）=-4<0,
在
内有解
。
这时
这说明能水平移过的宽1米的矩形的长至多为
，
故该设备不能水平移进过道。
另解
∴r（t）在
上是减函数，
。
实验项目四：
鱼的游动技巧
一、实验目的和要求：
学习能耗最小的优化模型
二、实验内容：
观察鱼在水中的运动发现,它不是水平游动,而是锯齿状地向上游动和向下滑行交替进行.可以认为这是在长期进化过程中鱼类选择的消耗能量最小的运动方式.
（1）设鱼总是以常速v运动，鱼在水中净重w，向下滑行时的阻力是w在运动方向的分力；向上游动时所需的力是w在运动方向分力与游动所受阻力之和，而游动的阻力是滑行阻力的k倍，水平方向游动时阻力也是滑行阻力的k倍，写出这些力。
（2）证明当鱼要从A点到达处于同一水平线上的B点时（见下图），沿折线ACB运动消耗的能量与沿水平线AB运动消耗的能量之比为（向下滑行不消耗能量）
。
一般取k=3.
（3）根据实际观察
，试对不
同的k值（1.5，2，3），根据消耗能量最小
的准则估计最佳的
值。
过程：
1． 导出二元函数p
2． 作出二元函数p的曲面图，
3． 如果α=11o20’，k=3，作此时一元函数p的曲线图，
4． 确定P的最小值。
实验项目五：
数学规划问题
一、实验目的和要求：
熟悉数学规划软件LINDO的运用，理解数学规划模型及其应用，掌握0-1规划模型的建模过程和求解方法。
重点是模型的约束条件的建立和结果的分析。
二、实验内容：
美佳公司计划制造Ⅰ、Ⅱ两种家电产品，已知各制造一件时分别占用设备A、B的台时，调试时间及A、B设备和调试工序每天可用于这两种家电的能力，每售出一件时的获利情况如表所示。
问该公司应制造Ⅰ、Ⅱ两种家电各多少件，使获取的利润为最大。
Ⅰ
Ⅱ
每天可用能力
设备A（h）
0
5
15
设备B（h）
6
2
24
调试工序（h）
1
1
5
利润（元）
2
1
1用线性规划建立以上数学模型。
2用数学软件求解以上数学模型。
3假设你是一位策划人员，试结合生产、预算、销售等环节的实际情况分析以上线性规划模型可能存在哪些不足。
三、过程：
1．构建线性规划模型：
分析目标函数（利润最大），约束条件：
设备约束，工时约束，非负约束。
2．模型求解：
熟悉LINDO软件的使用方法；目标函数中不能有常数项，只写表达式，不要函数符号；约束符号＂ｓ．ｔ．＂，式中只能有小于或等于号和等号，所有变量均非负；取整约束用＂ginn＂，n指变量个数．
３．模型分析：
根据个人认识，结合生产、预算、销售等环节的实际情况，提出建议．
实验项目六：
融雪问题
一、实验目的和要求：
理解一阶微分法在建模过程中的应用，熟悉利用MATLAB软件求解微分方程的方法。
注意模型的普遍性和模型的广泛性。
二、实验内容：
一个半球体状的雪堆，其体积V的融化速率与半球面面积S成正比，比例系数K>0.假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知初始半径为r0的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其原体积的7/8，问该雪堆全部融化需要多少时间？
三、过程：
１．分析雪堆的融化过程；
２．建立雪堆融化的微分方程模型；
３．利用所给数据，确定参数；
４．确定初始条件，求解方程（模型）．
５．扩展讨论：
雪堆形状不同时的建模和求解方法（供参考，不作要求）
实验项目七：
饿狼追兔问题
一、实验目的和要求：
理解二阶微分法在建模过程中的应用，熟悉利用MATLAB软件求解微分方程的方法。
注意模型的普遍性和模型的广泛性。
二、实验内容：
现有一只兔子、一匹狼，兔子位于狼的正西100米处，假设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的巢穴跑，而狼在追兔子。
已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度是兔子的两倍。
问兔子能否安全回到巢穴？
要求：
（1）建立狼的运动轨迹微分模型。
（2）画出兔子与狼的运动轨迹图形。
（3）用解析方法求解，问兔子能否安全回到巢穴？
（4）用数值方法求解，问兔子能否安全回到巢穴？
解首先建立坐标系，兔子在O处，
狼在A处。
由于狼要盯着兔子追，所以
狼行走的是一条曲线，且在同一时刻，
曲线上狼的位置与兔子的位置的连线为
曲线上该点处的切线。
设狼的行走轨迹
是y=f（x），
则有
，
又因狼的速度是兔子的两倍，所以
在相同时间内狼走的距离为兔子走的距离的两倍。
假设在某一时刻，兔子跑到
（0,h）处，而狼在（x,y）处，则有
整理得到下述模型
这属于可降阶的二阶微分方程，解得狼的行走轨迹
因
，所以狼追不上兔子。
functionf=odefun（x,y）
f（1,1）=y
（2）;
f（2,1）=sqrt（1+y
（2）.^2）./（2.*x）;
t=100:
-0.1:
0.1;
y0=[00];
[T,Y]=ode45（'odefun',t,y0）;
n=size（Y,1）;
Y（n,1）
t=100:
-0.1:
0.1;
y0=[00];
[T,Y]=ode45（'odefun',t,y0）;
plot（T,Y（:
1）,'-'）
x1=[00];
y1=[060];
plot（T,Y（:
1）,'-',x1,y1,'r'）
y=dsolve（'t*D2y=sqrt（1+Dy^2）/2','y（100）=0','Dy（100）=0'）
x=linspace（0,100,500）;
y=sqrt（x）.*（x-300）/30+200/3;
z=0.75*（25-x）+20.833;
plot（x,y,'o',x,z,'c'）
实验项目八：
贷款问题
一、实验目的和要求：
理解差分法在建模过程中的应用，熟悉利用MATLAB软件求解差分方程的方法。
注意模型的普遍性和模型的广泛性。
二、实验内容：
作为房产公司的代理人，你要迅速准确地回答客房各方面的问题。
现有人看中了贵公司一套建筑面积为S（m2），单价为P（元/m2）的房子。
他计划首付30%，其余70%用20年按揭贷款（贷款年利率r）。
请你提供下列信息：
房屋总价格、首付款额、月付还款额。
当S=120m2，P=5200元/m2，r=5.58%时上述三个值。
要求：
先求出房屋总价格、首付款额、月付还款额三者的符号解；再求出当S=120m2，P=5200元/m2，r=5.58%时三者的数值解。
实验项目九：
岗位选择问题
一、实验目的和要求：
理解层次分析法，熟悉层次分析法在实际问题中的应用。
注意层次分析法建模的几个基本步骤，重点是成对比较矩阵的建立和一致性检验。
二、实验内容：
假设你是一位应届毕业生，现有P1、P2、P3等三个就业单位可供你选择。
结合你的实际情况，建立一个优选模型，作出你的最优选择。
P1：
广东某计算机软件公司，从事软件编程工作；
P2：
上海某国际贸易公司，从事报关工作；
P3：
武汉某机械制造公司，从事生产管理工作。
三、过程：
１．分析自己选择就业岗位所要考虑的因素；
２．构建目标层、准则层、方案层的层次结构模型；
３．利用１－９尺度，依据个人的认同，构造各成对比较矩阵；
４．对各成对比较矩阵进行一致性检验，不通过，应作修改，直到全部通过；
５．求权向量和组合权向量，并作组合权向量的一致性检验，不通过，应作修改（主要是对一致性比率较大的成对比较矩阵作调整），直到全部通过．
６．根据组合权向量，选取权向量最大的方案，作为决策方案．
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