九年级数学上册 242 相似三角形的判定一说课稿 沪科版.docx

九年级数学上册 242 相似三角形的判定一说课稿 沪科版.docx

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九年级数学上册242相似三角形的判定一说课稿沪科版

2019-2020年九年级数学上册24.2相似三角形的判定

（一）说课稿沪科版

一、说教材

1、教材地位和作用

本节内容是上科版《新时代数学》九上第24章《相似形》第二节《相似三角形判定》的第一节课．是在学习了第一节相似多边形的概念、比例线段的有关概念及性质，并具备了有关三角形中位线和平行四边形知识后,研究三角形一边的平行线的判定定理．本节课是判定三角形相似的起始课，是本章的重点之一．一方面，该定理是前面知识的延伸和全等三角形性质的拓展；另一方面，不仅可以直接用来证明有关三角形相似的问题，而且还是证明其他三种判定定理的主要根据，这三个判定定理都需要借助它来完成，所以有时也把它叫做相似三角形判定定理的“预备定理”．通过本节课的学习，还可培养学生实验、猜想、证明、探索等能力，对掌握观察、比较、类比、转化等思想有重要作用．因此，这节课在本章中有着举足轻重的地位．

2、教育教学目标

根据上述教材分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，制定如下教学目标：

知识与技能目标：

（1）、理解相似三角形的概念，能正确地找出相似三角形的对应边和对应边角．

（2）、掌握相似三角形判定定理的“预备定理”．

过程与方法目标：

（1）、通过探索相似三角形判定定理的“预备定理”的过程，培养学生的动手操作能力，观察、分析、猜想和归纳能力，渗透类比、转化的数学思想方法．

（2）、利用相似三角形的判定定理的“预备定理”进行有关判断及计算，训练学生的灵活运用能力，提高表达能力和逻辑推理能力．

情感与态度目标：

（1）、通过实物演示和电化教学手段，把抽象问题直观化，激发学生学习的求知欲，感悟数学知识的奇妙无穷．

（2）、通过主动探究、合作交流，在学习活动中体验获得成功的喜悦．

3、教学重点、难点

依据课程标准，在把握教材的基础上，确立如下的教学重点、难点：

（1）教学重点：

相似三角形判定定理的预备定理的探索

（2）教学难点：

相似三角形判定定理的预备定理的有关证明

突破重难点的方法是充分运用多媒体教学手段，设置问题、合作交流、猜想论证、课后小结直至布置作业，突出主线，层层深入，逐一突破重难点．

二、说教学方法

1、教法分析

根据本节课的教学目标、教材内容以及学生的认知特点，教学上采用以探究法的教学模式．设计“实验——观察——讨论”的教学方法，以引导发现法为主，并以讨论法、演示法相结合，意在帮助学生通过直观情景观察和自己动手实验，从自己的实践中获取知识，并通过讨论来深化对知识的理解．本节课采用了多媒体辅助教学，一方面能够直观、生动地反映图形，增加课堂的容量，同时有利于突出重点、分散难点，增强教学条理性，形象性，更好地提高课堂效率．

2、学法指导

《数学新课程标准纲要》指出：

有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学习数学的重要方式．为了充分体现《数学课程标准》的要求，培养学生的动手实践能力、逻辑推理能力，积累丰富的数学活动经验，这节课课前让学生允分的预习，课堂上主要采用动手实践、自主探索与合作交流的学习方法，使学生积极参与教学全过程，在教学过程展开思维，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，进一步理解类比、转化、数形结合等数学思想方法．

三、说教学过程

（一）、课前准备

1、全等三角形的基础知识

2、三角形中位线定理及其证明方法

3、平行四边形的判定和性质

4、相似多边形的定义

5、比例的性质

（二）、复习引入

Ⅰ、复习1、相似图形指的是什么？

2、什么叫做相似三角形？

Ⅱ、引入如图1，△ABC与△A’B’C’相似．图1

记作“△ABC∽△A’B’C’”，读作“△ABC相似于△A’B’C’”．

[注意]：

两个三角形相似，用字母表示时，与全等一样，应把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样便于找出相似三角形的对应边和对应边角．

[问题]：

将△ABC与△A’B’C’相似比记为k1,△A’B’C’与△ABC相似比记为k2,那么k1与k2有什么关系?

k1＝k2能成立吗?

（三）、探索交流

Ⅰ、［探究］1、在△ABC中，D为AB的中点，如图2，过D点作DB∥BC交AC于点E，那么△ADE与△ABC相似吗？

（1）“角”∠BAC＝∠DAE．∵DB∥BC,∴∠ADE＝∠B,∠AED＝∠C．

（2）“边”要证明对应边的比相等，有哪些方法？

直接运用三角形中位线定理及其逆定理

图2图3

利用全等三角形和平行四边形知识过点D作DF∥AC交BC于点F，如图3．

2、当D1、D2为AB的三等分点，如图4．过点D1、D2分别作BC的平行线，交AC于点E1、E2，那么△AD1E1、△AD2E2与△ABC相似吗？

由

（1）知△AD1E1∽△AD2E2，下面只要证明△AD1E1与△ABC相似，关键是证对应边的比相等．

过点D1、D2分别作AC的平行线，交BC于点F1、F2，设D1F1与D2F2相交于G点．则△AD1E1≌△D1D2G≌D2BF2,易证明△AD1E1∽△ABC．

∴△AD1E1∽△AD2E2∽△ABC．

[思考]：

上述证明过程较复杂，有较简单的证明方法吗？

过点D2分别作AC的平行线，交BC于点F2，如图5．

则四边形D2F2CE2为平行四边形，

且△AD1E1≌D2BF2,（ASA）∴D2E2＝F2C，D1E1＝BF2．

易证△AD1E1∽△ABC．∴△AD1E1∽△AD2E2∽△ABC．

Ⅱ、［猜想］3、通过上面两个特例，可以猜测：

当D为AB上任一点时，如图6，过D点作DE∥BC交AC于点E，都有△ADE与△ABC．

图6

Ⅲ、［归纳］定理平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似．

这个定理可以证明，这里从略．

（四）、应用迁移

[操作]：

课本第53～54页练习1、3

练习1、如图案，点D在△ABC的边AB上，DB∥BC交AC于点E．

写出所有可能成立的比例式．

练习3、在第1题中，如果＝，AC＝8cm．求AE长．

（五）、整理反思图7

（一）小结内容总结思想归纳

（二）反思

（六）、布置作业

课本第53～54页练习2．

《数学基础训练》第41～42页练习2、3．

思考题：

如图8、过△ABC的边AB上任意一点D，作DE∥BC交AC于点E，

那么＝．图8

四、说教学评价：

为了实现教学目标，优化教学过程，提高课堂效率，在教学上采用以探究法的教学模式．组织学生参与“创设情境——探索交流——应用迁移——整理反思”教学全过程，这符合现代教学理论的观点，把素质教育落到实处．另一方面对学生暴露思维过程，先特殊再一般，由边上到延长线，实验、猜想、探索、证明，培养了学生的动手操作能力、直觉思维能力和发散思维能力，

渗透类比、转化的数学思想方法．通过实物演示和电化教学手段，把抽象问题直观化，激发学生学习的求知欲，感悟数学知识的奇妙无穷．

从学生课堂上的反映来看，学生参与意识很强，回答问题踊跃，特别是数学成绩一般的学生发言也很积极，很想表现自己，希望得到教师和同学们的认可，看来，如果平时经常多关心他们，多给他们成功的机会，调动他们的学习积极性，那么他们一定会愿意学数学的，并且也一定会学好数学的．从课后反馈情况看，发现有少数较差的学生，虽然能用“预备定理”进行有关判断及计算,但对定理证明过程的难以理解，看来，教师的备课不仅着眼于如何教，还要着眼于引导学生如何学，努力寻找教师与学生的契合点，从而真正把教和学结合起来．

新课程提出，学习目标应由“关注知识”转向“关注学生”，课堂设计应由“给出知识”转向“引起活动”得到“经历体验”．在课堂中，教师也积极地创设出有利于学生主动参与的教学情境，激发学生的学习兴趣，充分地调动学生学习积极性，给学生留有思考和探索的余地，让学生能在独立思考与合作交流中解决学习中的问题．这节课的教学中，教师的角色由过去的那种课堂教学的主宰者转变为学生学习活动的组织者、引导者和合作者，让学生充当数学学习的主人．

2019-2020年九年级数学上册24.3相似三角形的性质教案沪科版

学习目标要求

1、掌握相似三角形的性质。

2、能应用相似三角形的性质解决问题。

教材内容点拨

知识点：

相似三角形性质

1、相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

2、相似三角形周长的比等于相似比。

3、相似三角形面积的比等于相似比的平方。

典型例题点拨

例1、两个相似三角形对应中线的比是，大三角形的面积是小三角形面积的________倍。

点拨：

根据相似三角形对应中线之比可得相似比，近而得出这两个三角形的面积比。

解答：

∵两个相似三角形对应中线的比是，∴这两个相似三角形的相似比为，∴大三角形的面积是小三角形面积的倍。

例2、△ABC中，AB＝12cm，BC＝18cm，AC＝24cm，若△A′B′C′∽△ABC，且△A′B′C′的周长为81cm，求△A′B′C′各边的长。

点拨：

此题根据相似三角形性质2：

相似三角形周长的比等于相似比，可知相似比为，由此根据△ABC各边长可求出△A′B′C′的各边长。

解答：

∵△ABC中，AB＝12cm，BC＝18cm，AC＝24cm，∴△ABC的周长为54cm，∴△ABC与△A′B′C′的相似比为，∴，∴，，。

例3、为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：

根据《科学》中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：

把一面很小的镜子放在离树底（B）8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝2.4米，观察者目高CD＝1.6米，则树（AB）的高度约为________米（精确到0.1米）。

点拨：

注意到光线的反射定律：

入射角等于反射角，可知△CDE∽△ABE。

解答：

∵△CDE∽△ABE，∴，∵CD＝1.6，DE＝2.4，BE＝8.4，∴AB＝5.6米。

例4、例、已知：

如图△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，，

（1）求证：

△ABD∽△ACB；

（2）求△ABD与△ACB的周长的比，△ABD与△ACB的面积的比。

点拨：

根据题中提供的两个与角相关的条件，要证明两个三角形相似，可联想到“AA”，证明两个三角形相似后，条件“”的作用在于提供了相似三角形的相似比，由此可求相似三角形的周长比和面积比。

解答：

（1）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC，∵∠ABC＝2∠C，∴∠ABD＝∠C，∵∠A是公共角，∴△ABD∽△ACB。

（2）∵△ABD∽△ACB，且，∴△ABD与△ACB的相似比为，∴△ABD与△ACB的周长的比为，△ABD与△ACB的面积的比为。

例５、如图，△ABC的底边BC＝a，高AD＝h，矩形EFGH内接于△ABC，其中E，F分别在边AC，AB上，G，H都在BC上，且EF＝2FG，求矩形EFGH的周长。

点拨：

由题目条件中EF=2FG得要想求出矩形的周长，必须求出EF与高AD=h的关系，由EF∥BC得△AFE∽△ABC，则EF与高h即可联系上。

此题还可以进一步求出矩形的面积，若对题目再加一个条件：

AB⊥AC，那么还可以证出FG2=BG·CH，通过这些联想，就会对题目的内在联系有更深的理解，也会提高自己的数学解题能力。

解答：

设FG＝x，

∵EF＝2FG，∴EF＝2x，

∵EF//BC，∴△AFE∽△ABC，

又AD⊥BC，设AD交EF于M，则AM⊥EF，

∴

即（AD-DM）/AD＝2x/a

∴（h-x）/h＝2x/a

解之，得x＝

∴矩形EFGH的周长为6x＝。

考点考题点拨

1、中考导航

会应用相似三角形性质解决生活中的实际问题，有利用所学内容解决身边的问题的意识，例如会利用自己的步长和身高求出一棵大树或大厦的高度。

2、经典考题追踪

例1、（06遂宁）已知△ABC的三边长分别为20cm,50cm,60cm,现要利用长度分别为30cm和60cm的细木条各一根,做一个三角形木架与△ABC相似,要求以其中一根为一边,将另一根截成两段（允许有余料）作为另外两边,那么另外两边的长度（单位:

cm）分别为（）

A、10,25B、10,36或12,36C、12,36D、10,25或12,36

点拨：

本题看起来有很多种情况，比较复杂，但可以用整体观点来考察，由于这两个三角形相似，∴它们的周长之比等于相似比，∴△ABC与所作三角形的相似比大于1，即所作三角形应该比△ABC小，∴在选择作边的木料时，只有选长为30cm的细木料，而将长为60cm的细木料分成两段，而且由于△ABC与所作三角形的相似比大于1，△ABC中只有长为50cm或60cm的边与30cm长的边对应，即相似比分别为或2，解得答案有两种。

解答：

∵△ABC的三边长分别为20cm,50cm,60cm，∴△ABC的周长为130cm，而两根细木料的长度分别为30cm和60cm，和最大只有90cm，∴所作三角形应比△ABC小，∴只能选长为30cm的木料为所作三角形的一边，且其只能与△ABC中的长为50cm或60cm的边相对应，即△ABC与所作三角形的相似比应为或2，当相似比为时，解得所作三角形的两边分别为12和36cm，当相似比为2时，解得所作三角形的两边分别为10cm和25cm，这两种情况下，所作三角形的两边长之和都小于60cm，∴答案有两种情况，分别为10cm,25cm或12cm,36cm，选D。

G

例2、（06广西柳州）如图，一天早上，小张正向着教学楼AB走去，他发现教学楼后面有一水塔DC，可过了一会抬头一看：

“怎么看不到水塔了？

”心里很是纳闷，经过了解，教学楼、水塔的高分别是20m和30m，它们之间的距离为30m，小张身高为1.6m，小张要想看到水塔，他与教学楼之间的距离至少应有多少米？

点拨：

光线是沿直线传播的，之所以看不见水塔，是因为小张的眼睛、教学楼顶、水塔顶位于一条直线上，∴△EFG∽△AFB∽△DFC，根据相似三角形的性质可求BG。

解答：

由图可知，△EFG∽△AFB∽△DFC，∴，，即，，∴，，∴BC＝FC－FB＝6.25FG＝30，解得FG＝4.8m，FB＝60m，∴小张要想看到水塔，他与教学楼之间的距离至少应有60m。

例3、（06海南）如图7，在同一时刻，小明测得他的影长为1米，距他不远处的一棵槟榔树的影长为5米，已知小明的身高为1.5米，则这棵槟榔树的高是米。

点拨：

同一时刻，光线是一组平行线，∴△ABC∽△DEF，∴，由此可求出DE。

解答：

∵同一时刻，光线是一组平行线，∴△ABC∽△DEF，∴，

即，解得DE＝7.5米。

易错点点拨

易错点1、审题不严，粗心大意，把握细节的能力不强。

易错点导析：

在处理问题时，粗心大意，对一些关键词语没有仔细体会，表现为细节上的失误，而这一旦形成习惯后，将对数学学习形成巨大的障碍。

例1、若把各边分别扩大为原来的5倍，得到，下面结论不可能成立的是（）

A．∽B．与的相似比为

C．与的各对应角相等D．与的相似比为

错解：

B

错解点拨：

对扩大为和扩大了这两句话理解不清，扩大为原来的5倍意即扩大到原来的5倍，而扩大了5倍则意即扩大到原来的6倍。

正解：

B

拓展与创新

1、如图，分别取等边三角形ABC各边的中点D、E、F，得△DEF。

若△ABC的边长为a。

（1）△DEF与△ABC相似吗？

如果相似，相似比是多少？

（2）分别求出这两个三角形的面积。

点拨：

D、E、F分别为等边三角形ABC各边的中点，∴DE、EF、DF都是△ABC的中位线，∴DE、EF、DF分别平行且等于△ABC三边的一半，根据相似三角形性质：

三边对应成比例的两个三角形相似，可知△DEF与△ABC相似，且相似比为1︰2，在求出△ABC的面积后，根据相似三角形性质：

相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求△DEF的面积。

解答：

（1）∵D、E、F是等边三角形ABC各边的中点，∴DE、EF、DF都是△ABC的中位线，∴△DEF与△ABC相似，且相似比为1︰2。

G

（2）∵△ABC的边长为a，∴△ABC的面积为，△DEF的面积为。

2、如示意图，小华家（点A处）和公路（）之间竖立着一块35m长且平行于公

F

路的巨型广告牌（DE），广告牌挡住了小华的视线，请在图中画出视点A的盲区，

并将盲区内的那段公路记为BC，一辆以60km/h匀速行驶的汽车经过公路BC段的

时间是3s，已知广告牌和公路的距离是40m，求小华家到公路的距离（精确到1

m）。

点拨：

所谓视点A的盲区，即在视点A处看不到的公路区域，如图所示，在视点

A处看不到公路区域为BC段，由于光线的直线传播性，BC和DE与光线组成的两

个三角形相似，通过相似三角形性质可求出点A到公路的距离。

解答：

由图可知△ABC∽△ADE，∴，又∵一辆以60km/h匀速行驶的汽车经过公路BC段的

时间是3s，∴BC＝50m，DE＝35m，GF＝40m，∴，解得AF＝93m，∴小华家到公路的距离AG＝AF＋FG＝133m。

学习方法点拨

通过制作几何模型，加强对相似三角形性质的理解，特别是相似三角形的第一个性质的理解。

加强对相似三角形性质的应用训练，从而加深对相似三角形性质的认识。

要学会在生活中应用相似三角形的性质，提高利用相似三角形性质解决实际问题的能力。

随堂演练

1、如果两个三角形的相似比为1，那么这两个三角形________。

2、如图，已知△ADE∽△ABC，且∠ADE＝∠B，则对应角为_____，对应边为__。

3、若△ABC与△A′B′C′相似，一组对应边的长为AB＝3cm，A′B′＝4cm，那么△A′B′C′与△ABC的相似比是________。

4、已知△ABC∽△A′B′C′，A和A′，B和B′分别是对应点，若AB=5cm，A′B′=8cm，AC=4cm，B′C′=6cm，则△A′B′C′与△ABC的相似比为________，A′C′＝________，BC＝________。

5、如图，已知DE∥BC，△ADE∽△ABC，则＝________＝________。

6、若△ABC的三条边长的比为3∶5∶6，与其相似的另一个△A′B′C′的最小边长为12cm，那么△A′B′C′的最大边长是________。

7、已知△ABC的三条边长分别为3cm,4cm,5cm,△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的形状是______，又知△A′B′C′的最大边长为20cm，那么△A′B′C′的面积为________。

8、如果Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，∠C＝∠C′＝90°，AB＝3，BC＝2，A′B′＝12，则A′C′＝________。

9、下列命题错误的是（）

A.两个全等的三角形一定相似

B.两个直角三角形一定相似

C.两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例

D.相似的两个三角形不一定全等

10、把△ABC的各边分别扩大为原来的3倍，得到△A′B′C′，下列结论不能成立的是（）

A.△ABC∽△A′B′C′B.△ABC与△A′B′C′的各对应角相等

C.△ABC与△A′B′C′的相似比为D.△ABC与△A′B′C′的相似比为

11、若△ABC∽△A′B′C′，∠A＝55°,∠B＝100°，那么∠C′的度数是（）

A.55°B.100°C.25°D.不能确定

12、如果△ABC∽△A′B′C′，BC＝3，B′C′=1.8，则△A′B′C′与△ABC的相似比为（）

A.5∶3B.3∶2C.2∶3D.3∶5

13、若△ABC∽△A′B′C′，AB＝2，BC＝3，A′B′＝1，则B′C′等于（）

A.1.5B.3C.2D.1

14、如图，△ADE∽△ACB，∠AED＝∠B，那么下列比例式成立的是（）

A.B.

C.D.

15、△ABC的三边长分别为、、2，△A′B′C′的两边长分别为1和，如果△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的第三边的长应等于（）

A.B.2C.D.2

16、若△ABC∽△DEF,它们的周长分别为6cm和8cm，那么下式中一定成立的是（）

A.3AB＝4DEB.4AC＝3DE

C.3∠A＝4∠DD.4（AB+BC+AC）＝3（DE+EF+DF）

17、已知△ABC中，AB＝15cm，BC＝20cm，AC＝30cm，另一个与它相似的△A′B′C′的最长边为40cm，求△A′B′C′的其余两边的长。

18、已知：

△ABC三边的比为1∶2∶3，△A′B′C′∽△ABC，且△A′B′C′的最大边长为15cm，求△A′B′C′的周长。

19、古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：

如图，为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒，比较棒子的影长与金字塔的影长AB，即可近似地算出金字塔的高度OB。

如果，，

，你能求出金字塔的高度吗？

20、如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使，然后再选点E，使，确定BC与AE的交点为D，测得米，米，米，你能求出两岸之间AB的大致距离吗？

21、如图，已知AB∥CD，AD、BC相交于E，F为EC上一点，且∠EAF=∠C。

求证：

AF2=FE·FB。

22、如图，为了求出海岛上的山峰AB的高度，在D和F处树立标杆DC和FE，标杆的高都是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），并且AB、CD和EF在同一平面内，从标杆DC退后123步的G处，可看到山峰A和标杆顶端C在一直线上，从标杆FE退后127步的H处，可看到山峰A和标杆顶端E在一直线上．求山峰的高度AB及它和标杆CD的水平距离BD各是多少？

随堂演练答案

1、全等

2、对应角：

∠ADE与∠B、∠AED与∠C、∠A与∠A，对应边：

AE与AC、AD与AB、DE与BC。

3、4∶3

4、8∶5，6.4，3.75

5、

6、24cm

7、直角三角形，96cm2

8、

9、B

10、C

11、C

12、D

13、A

14、A

15、C

16、D

17、∵△ABC中最长边为AC＝30cm，△A′B′C′的最长边为40cm，∴△A′B′C′与△ABC的相似比为4∶3，∴，即，解得A′B′＝20cm，B′C′＝cm。

18、∵△ABC三边的比为1∶2∶3，△A′B′C′∽△ABC，∴△A′B′C′的三边之比为1∶2∶3，又∵△A′B′C′的最大边长为15cm，∴△A′B′C′的三边分别为5cm、10cm，∴△A′B′C′的周长为30cm。

19、∵△O′A′B′∽△OAB，∴，即，解得OB＝137。

20、∵△ABD∽△ECD，∴，即，解得AB＝100米。

21、证明：

∵AB∥CD，∠EAF=∠C，∴∠EAF=∠B，∴△EAF∽△ABF，∴，即AF2＝EF·BF。

22、由图可知△GCD∽△GAB、△HEF∽△HAB，∴，，∵DC＝FE，∴，即

，解得步，∴，解得AB＝7530步。