MathCAD手册.docx
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MathCAD手册
1.MathCAD2000的基础知识
MathCAD是由美国Mathsoft公司于1986年推出的优秀数学软件，它集科学计算、图形和文本二维排版编辑功能于一身，是数学、物理、力学和机械工程等学科强有力的二次开发软件。
MathCAD的科学计算包括：
三角与代数、级数与极限、微分与积分、矢量与矩阵、复变函数、数理统计、插值拟合、求解非线性方程组和微积分方程、最优化技术以及常用工程变换等。
图形功能包括：
根据表达式绘制函数的直角坐标或极坐标线图、曲面图和等值线图、柱面图和散点图以及制作动画、图形文件和矩阵之间的数字化读写以及编辑。
科学计算可以是数值计算或者在可能的条件下给出解析结果（称为“符号运算”）。
MathCAD的突出特点是：
（1）与人类的思维方式相贴近，可读性强、易于理解和查错，高效易用。
例如二次方程一个根的解析表达式，在程序语言、Excel工作表和MathCAD工作表里的书写格式分别为：
在一个程序语言中的书写格式为：
x=（-B+SQRT（B**2-4*A*C））/（2*A），
在Excel工作表中的书写格式为：
=（-B1+SQRT（B1*B1-4*A1*C1））/（2*A1），
在Mathcad2000工作表中的书写格式为：
。
（2）在MathCAD里编写的数学公式几乎完全采用“数学”形式，不仅与出版要求十分一致，并且可给出计算结果（也即：
公式是“活的Live”）。
例如：
如果原始结果为
，
将2改为3后立即得
。
（3）能轻易地用图形和动画显示运算结果和过程的形象。
（4）具有符号推导功能。
例如级数求和与积分的符号推导结果分别为：
。
（5）集成了动画、超文本、多媒体和网络功能。
（6）其配备的结构化语言M++，是一种“活的（Live）”流程图。
如：
（7）配备有数据翻译平台MathConnex，使Matlab，Excel和MathCAD等不同格式的数据能在该平台上交互引用和流动。
（8）在MathCAD里，几乎所有的操作都可以借助于“工具栏（Toolbar）”来实现，一学就会。
可以说：
只要懂得了数学，就能掌握MathCAD2000。
。
1.1MathCAD的启动和界面
1.1.1MathCAD的启动
启动MathCAD2000软件的方法有：
（1）调用【开始】【程序（P）】【MathsoftApps】【
】；
（2）在“资源管理器（Explorer）”文件夹的D:
\Mcad2000里，双击
或它的启动程序
；
1.1.2MathCAD的界面
MathCAD2000的程序窗口如图11所示，其界面结构从上到下依次为：
标题栏（Titlebar
，用于显示程序名“MathcadProfessional”和当前工作表名，如“Untitled:
1”）、菜单栏（Menubar）、常用工具栏（Standardbar）和格式工具栏（FormattingBar）。
大块地区称为“工作区（WorkArea）”。
与其他程序窗口一样，MathCAD2000允许同时打开多个mcd文档（所不同的是：
“Untitled:
1”窗口仍存在）。
mcd文档又称为“Worksheet（工作表）”。
工作表就是通常的“文档窗口”。
在工作表中，有多条（数量不限）浅灰色铅垂“边界线”
。
第一条边界线的右侧，还存在一条隐藏了的“纸边”分隔线（在MathCAD7.0中，是一条土黄色虚线）。
纸边将工作表划分成左右两部分：
左面部分称为“工作表主区”，右面部分称为“工作表副区”，其范围不受限制。
边界线标志出右“页边距Margin”。
“数学”工具栏（MathPalette）通常处于浮动状态（参见右图），它是极为重要的工具。
程序窗口的最下部是“状态栏（Statusbar）”
。
状态栏又称为“信息栏”，用于发布信息，以指明当前所处的操作状态，并给出进一步操作的提示。
当程序窗口处于极大化状态时，标题栏上可能还会附着有MSOffice工具栏（Office97工具栏
）。
图11MathCAD2000的程序窗口
1.1.3MathCAD的菜单
MathCAD2000的操作手段有：
下拉式菜单、快捷菜单、工具钮（Button）、鼠标（Mouse）和键盘等多种。
本书以“下拉菜单”为主。
为了简化书写，调用菜单和命令时，将表示成如下的格式：
调用【File】【OpenCtrl+O】。
菜单或命令一律用全称（即包括“热字母”，如果有的话还将包括快捷键、对话框“”和子菜单提示符“”等）并用实心方括号【】括起；主菜单、下拉菜单、子菜单和命令一个接着一个写，其间不隔任何符号。
对于英文版，名字术语还是以英文为主比较恰当，必要时才辅以中文。
在MathCAD2000的菜单栏中，共有九个主菜单。
这九个主菜单的下拉式菜单
及其所辖命令的功能分别列于下述各小节中。
1.1.4常用工具栏
在本书中，“按钮”一律用空心方括号〖〗括起；对话框名用双引号“”括起；首次出现的专用名词或易混淆的名词也以“双引号”括起。
图12“常用工具栏”
1.1.5格式工具栏
1.1.6数学工具栏
数学工具栏（MathToolbar）
图13矢量矩阵工具栏
图14微积分工具栏
图15计算器工具栏
1、数值计算工具栏
。
图16数值计算工具栏
图17逻辑运算工具栏
图18函数图形工具栏
图19编程工具栏
2、逻辑运算工具栏
。
3、函数图形工具栏
。
4、编程工具栏
。
5、希腊字母工具栏
。
图110希腊字母工具栏
图111符号运算工具栏
6、符号运算工具栏
。
2.MathCAD基本操作方法
本章介绍MathCAD2000区域的类型和编辑、公式和文本内容的编辑、静态图形和动画的创建、对象的格式化、文件存取和打印。
其中，区域编辑、图形和动画的创建以及对象的格式化叙述得比较完备。
本章介绍的这些内容虽然尚未涉及数学的主要问题，但却是最基本的操作技能并密切地关系到用户的工作质量和效率。
2.1区域的组成
在MathCAD2000程序窗口的工作表里，可以任意设置三种区域（区域又称为“对象”）：
2.1.1数学区域
数学区域（MathRegion，简称“数学区”）用于键入数学公式。
2.1.2图形区域
图形区域（GraphicsRegion，简称“图形区”）用于显示数学公式所体现的二维、三维静态图形或动态图形。
2.1.3文本区域
文本区域（TextRegion，简称“文本区”）用于编辑文本内容以给出必要的文字说明。
为了创建文本区域，必须调用【Insert】【TextRegion"】。
2.2公式的输入和编辑
众所周知，所谓“公式（Formula）”，就是将“表达式（Expression）”的值赋予一个“变量”或“函数”。
可见，公式由下述三部分组成：
左部的变量名或函数名；右部的表达式；起连接作用的“赋值号”。
变量或函数的赋值，也就是对该变量或函数进行“定义（Definition）”。
2.2.1基本概念
为了正确掌握数学区的编辑技巧，必须了解与“公式”有关的一些基本概念。
2.2.1.1常量
常量（Constant）可区分为：
算术常量、字符串常量和逻辑常量三种类型。
所谓“常量”就是直接列写的不变内容。
机器能识别常量并将其用于表达式参与运算。
常量不占用内存。
算术常量是用数字直接表示的“数”，有：
常标量（如：
4，5.6，2+3i等）；常矢量、常矩阵（如：
[45.6]T，[2+3j6j]T等）。
字符串常量是用半角双引号括起的一串字符，如：
"abc"，"d+c/7"，"字符串常量"等。
逻辑常量又称为Boolean常量，它只有两个：
true（或1），false（或0）。
2.2.1.2变量
机器将为变量分配内存单元。
通常，变量（Variable）都有一个命名，机器以变量名搜索其单元地址并进行读取（引用）或存储（赋值）。
同理，变量也可区分为：
算术变量、字符串变量和逻辑变量三种类型。
这主要取决于赋值给变量的右端表达式的类型。
对变量的赋值又称为对变量的“定义（Definition）”。
2.2.1.3函数
函数（Function）与变量有很多共同点，其主要差别在于：
函数规定有一套明确的运算法则（自定义函数是通过表达式或程序体现运算法则的）；函数名的后面应跟随一个用半角圆括号括起的“参数表”，用于列出该函数的全部形式参数。
如：
f（x,y）。
所谓“形式参数”就是出现在函数定义表达式中，但其自身尚未被定义过的变量（或函数）名。
2.2.1.4运算符
运算符（Operator）是可执行的运算规则的一种符号代码。
在MathCAD2000中，运算符只有：
算术运算符和逻辑运算符两类（没有字符串运算符，字符串运算是通过函数实现的）。
2.2.2变量或函数的赋值
本节主要介绍赋值号（DefinitionOperator）。
为了弄清赋值（AssigningValues）的效果，应对变量和函数的类型有一点初步认识。
有关变量、函数的详细内容，请参阅“3.1变量和函数”。
在此，仅简述如下：
2.2.2.1单值变量和区域变量
只取一个值的变量，称为“单值变量”。
区域变量（RangeVariable）又称为“范围变量”或简称“域变量”，用于获取一系列值；区域变量也有整型和实型两种。
2.2.2.2计算结果的显示
要显示表达式的“数值结果（NumericalResult）”，应采用普通等号“=”；要显示表达式的“解析结果”，应采用解析等号“”。
上述两种符号可以理解为：
将左部表达式赋予右部（相当于显示器）。
“逻辑等号
”（俗称“粗体等号”）的作用不在于“赋值”，而是确保左右两个表达式“等值”。
2.3函数静态图形的创建
函数图形分静态和动态两种，最主要的特征是：
动态图形受控于内置变量FRAME（称为“帧变量”）。
需要强调指出的是：
在MathCAD2000中，所谓创建图形，主要是绘制图形上的若干“点”；至于点的形状以及点与点之间的连线（包括线型和颜色等）属于“图形格式”的内容。
有了“图形格式”手段，使作图大大简化了。
2.3.1创建X-Y线图的方法与步骤
现以正弦曲线的绘制作为例子，具体说明上述两种绘图方法的步骤。
公式参见图212。
图212正弦曲线的计算公式
绘图步骤为：
单击工作表上某一点，以确定线图区域的原始锚位；键入纵坐标域变量yi；单击函数作图工具钮
或调用【Insert】【Graph】【X-YPlot@】，创建线图区域；跳出该图形区域。
图213正弦曲线图
2.3.2快速创建函数图形的方法
在创建图形时，如果用户未指明自变量的范围，则机器会自动设置该范围（通常为：
-10..10，参见图214）。
图214自动设置自变量范围的X-Y图
2.4动画的创建和播放
相对于“静态”图形而言，“动画”是一系列静态图形的“集合”。
所谓“播放动画”，就是将上述静态图形的集合逐帧展示在屏幕上。
在MathCAD2000中，动画是借助“帧变量”FRAME来实现的。
FRAME是MathCAD2000内置的区域变量，它包含有：
起始帧（From）、终止帧（To）和播放速率（At，帧/秒）。
2.4.1动画的创建
动画（Animate）实际上是函数的动态图形。
由函数静态图形都可以构筑出动画，例如：
每一瞬时只显示一个点元素或一条线元素（体现图形的产生过程）；图形虽全部显示，但各点的位置随FRAME变化；颜色的对应值随FRAME变化。
今以正弦曲线（谐波）为例，具体说明创建动画的步骤：
引入帧变量FRAME并列写相关的变量和函数（参见图215）；利用快捷键或命令（参阅上一节），建立一个图形区；调用【View】【Animate】以弹出“Animate”对话框（参见图216，其上有进一步操作的说明）；选定图区（这是很关键的一步，被框定的内容便是“Playback”播放窗口中将要显示的内容，为了观察数值的变化，最好同时选定若干帧变量所在的数学区）；在“Animate”对话框中设定起始帧、终止帧和播放速率，单击〖Animate〗按钮
，在“Animate”对话框的预览框中可以看到动画雏形（参见图216）；待帧变量达到终止值时，机器会弹出“Playback”窗口（参见图217）。
半径、周期、圆频率和初相位
圆方程
帧变量（FRAME=0~90）
圆上一点
正弦曲线上一点
摆动的水平线
转动半径
图215正弦曲线（谐波）图形
图216“Animate”对话框
幀变量看起来很像间隔为1的域变量，但幀变量绝不能按域变量加以定义（只能在“Animate”对话框设定其初值和终值），否则将失去幀变量的动画功能（播放动画时恒显示第一幀）。
不过，为了在印刷品中展示动画的某一幀，有必要临时地自定义幀变量。
2.4.2动画的播放
“Playback”窗口（参见图217）是播放动画用的。
图217“Playback”窗口
2.4.3动画的保存
完成了动画制作后，“Animate”对话框（图216）中的〖SaveAs〗按钮
变为可用的了（呈亮显）。
此时，单击该对话框的〖SaveAs〗按钮，用于将动画保存为Windows的avi电影文件。
对于同一内容，avi电影文件的尺寸比mcd文件的尺寸大出许多倍（avi电影文件的尺寸还与总帧数密切相关）。
2.4.4动画实例
（1）转动的五角星。
（2）曲柄连杆机构。
3.数学计算
本章介绍MathCAD2000内置函数的使用方法和可视化图形，内容涉及变量和函数、超越函数、截断函数、条件函数、复数运算、矢量和矩阵、微积分、统计分析、插值拟合、特殊函数等的数值计算。
这些内容是MathCAD2000的主干，需要切实掌握。
3.1变量和函数
3.1.1变量和函数的定义
3.1.1.1变量
在MathCAD2000文件中，可取得不同值的量称为变量（Variable）。
凡变量都有一个名字，变量名与函数名统称为“标识符（Identifier）”。
3.1.1.2函数
函数（Function）用于规定变量（包括常量）的运算法则。
3.1.2数学变量
数学变量和系统变量统称为“内置变量”。
3.1.3MathCAD的内置函数概要
MathCAD7.0专业版共有241个内置函数。
MathCAD2000专业版增加了79个内置函数并增强了原有函数的一些功能。
使MathCAD2000的内置函数达到315个，这些函数构成一个“函数库”。
单击〖InsertFunction〗按钮
或调用【Insert】【FunctionCtrl+F】，在弹出的“InsertFunction”对话框（参见图318）中，可查阅内置函数并将它们插入到公式里去：
单击
按钮，插入选定的函数，此时“InsertFunction”对话框并不退走，以便插入其他函数；单击
按钮，插入选定的函数，此时“InsertFunction”对话框将退走。
图318“InsertFunction”对话框
3.2复数运算
对实系数代数方程求解时，常会遇到复数根，可见复数是不可回避的问题。
其实，复数和复变函数本身就有广泛的应用。
MathCAD2000中所有函数的参数，几乎都可视为复数。
复数的虚数单位i或j前必须有数字引导（如：
1i或4j），否则MathCAD2000会将i或j当作变量名。
复数运算包括：
复数的加减乘除四则运算、三角函数、双曲函数、对数和指数、求共轭复数、求实部和虚部、求模和幅角等。
鉴于这些内容比较简单，故不予详述，仅举几例（参见图319）。
注意：
转置符号AT，不能当作“上标”输入，必须利用“矢量矩阵工具栏”中的〖MatrixTranspose〗按钮
（它的快捷键为〖Ctrl+1〗）或调用【Symbolics】【Matrix】【Transpose】。
图319复数运算实例
。
3.3矢量和矩阵的计算
在MathCAD2000中，矩阵都用“圆括号”表示，但对于超矩阵或较复杂的解矩阵仍然采用“方括号”表示。
矢量可视为单列矩阵，关于矩阵的不少规则对矢量也适用。
3.3.1矢量的计算
矢量是具有大小和方向并符合平行四边形法则的量。
矢量又称为“向量”。
3.3.1.1矢量的点乘和模
矢量点乘和模的计算结果参见图320。
图320矢量的点乘、模和叉乘
3.3.1.2矢量的叉乘
3.3.1.3与矢量尺寸有关的函数
矢量元素的个数（NumberofElements）lenhth（v）。
矢量最后一个元素的下标指示数（IndexoftheLastElement）last（v）。
矢量的行数（NumberofRows）rows（v）。
矢量的列数（NumberofColumns）cols（v）。
。
。
3.3.1.4创建对角矩阵
由矢量创建对角矩阵的函数（DiagonalMatrixFunction）diag（v）。
3.3.2矩阵的计算
矩阵的元素比较多，因此列写矩阵是一件费时的工作。
输入矩阵元素值的方法有：
（1）只对非零元素赋值（未赋值的元素默认为零，参见上图或图321中的
（1））。
图321矩阵的创建
图322“InsertMatrix”对话框
（2）利用〖矩阵和矢量〗按钮法。
单击矢量矩阵工具栏（参见图13）中的〖矩阵和矢量〗按钮
或调用【Insert】【MatrixCtrl+M】，再在弹出的“InsertMatrix”对话框（参见图322）里确定矩阵的行列数并单击
钮（对话框将会隐退）或
钮，而后直接在矩阵的占位符里键入内容（参见图321中的（3））。
注意：
用这种方法创建的矩阵，其元素的个数不允许超过100。
3.3.2.1矩阵的代数和
众所周知，两个同阶矩阵才能进行代数和。
在MathCAD2000中，允许矩阵与一个标量进行代数和，其结果等于矩阵的每个元素都与该标量进行代数和（相当于先将标量扩展成每个元素都等于标量值的同阶矩阵，而后再进行代数和）。
如：
。
3.3.2.2矩阵的行列式
矩阵行列式的计算结果参见图323。
。
图323矩阵的行列式、逆、特征值和特征矢量
3.3.2.3矩阵的乘积
对于上述矩阵M和N，其乘积M*N的计算结果参见右图。
除了这种“行乘列”的普通Cauchy乘积外，两个矩阵之间还可以进行多种乘积（如：
Hadamard积）。
在MathCAD2000中，定义有所谓“Kronecker积”（又称“直积”或“张量积”），对于给定的矩阵和它们的Kronecker积如下：
。
3.3.2.4矩阵的逆
矩阵的正则逆（NornalInverseMatrix）M-1。
矩阵的左逆（LeftInverseMatrix）geninv（A）。
。
3.4插值与拟合
插值（Interpolation）与拟合（Fitting）都是按照已知的数据点（自变量及其对应的函数值），构筑新的函数，以利由指定的自变量值计算出函数值。
两者的区别在于：
插值函数应通过给定的数据点，拟合函数只着眼于使总体误差尽可能小（一般并不通过给定的数据点）。
3.4.1插值函数
3.4.1.1线性插值
，
。
所谓“线性插值（LinearInterpolation）”就是将相邻的两个给定数据点，用直线连接起来。
内置函数linterp（vx,vy,x）用于确定线性插值，其中：
vx为升序的实矢量（不一定等间隔）；vy是与vx同维的实矢量；x是指定的预测位置（为了保证预测精度，x应在vx的范围内）。
linterp（vx,vy,x）返回x所对应的预测函数值。
例如：
3.4.1.2线性预测
线性预测（LinearPrediction）与线性插值相仿，但指定的x常位于vx的范围之外（即所谓“外插法”）。
用于线性预测的是内置函数predict（v,m,n），其中：
v为等间隔样本描述矢量；m是v中连续选取的样本个数；n是指定的预测位置数。
predict（v,m,n）返回的是n个预测函数值。
例如：
。
3.4.1.3拉格朗日插值函数
拉格朗日（Lagrange）插值函数可通过全部“给定的数据点”。
，
。
3.4.1.4Bezier曲线
由两条以上直线段组成的任意折线，总存在一条Bezier（贝竹）曲线过折线的两个端点并切于两端直线段。
Bezier曲线具有：
“凸包性”（曲线总处于折线的内侧）；“保凸性”（凸的折线总对应凸曲线）。
例如：
。
3.4.1.5三次样条函数
所谓“样条（Spline）”也是一种插值方法，样条函数是对插值点的导数提出限制条件的一类插值函数。
鉴于“构筑插值函数”所花时间较长，因此样条函数的构筑与插值计算是分开进行的。
三次样条函数的作用是：
返回由插值函数在给定数据点的二阶导数值所组成的矢量vs，以提供给interp进行插值。
按端点性态不同，可将三次样条函数分为直线型、抛物线型和三次曲线型三种，如表31所示：
表31Spline类函数
Spline类函数的名称和格式
Spline类函数的功能
vs=cspline（vx,vy）
计算插值点的二阶导数，在端点处以三次曲线连接
vs=pspline（vx,vy）
在端点处以抛物线连接，保证具有相等的二阶导数
vs=lspline（vx,vy）
在端点处以直线连接（端点的二阶导数都等于零）
最常用的是三次样条函数cspline（vx,vy），它在插值点具有连续的二阶导数并且存在三阶导数。
假设已经给定了点列（vx,vy），应先利用函数cspline（vx,vy）求得矢量vs（即：
vs=cspline（vx,vy）），而后再利用y=interp（vs,vx,vy,x）计算出三次样条函数的值（“插值”）。
其中：
vx为升序的实矢量（不一定等间隔）；vy是与vx同维的实矢量。
，
。
3.4.2拟合函数
3.4.2.1线性拟合
线性回归（LinearRegression）几乎已成了线性拟合的同义词，它的定义式为：
y=slope（vx,vy）*x+intercept（vx,vy）。
其中：
vx为升序的实矢量（不一定等间隔）；vy是与vx同维的实矢量。
slope（vx,vy），intercept（vx,vy）分别返回计算直线的斜率和截距。
例如：
。
3.4.2.2多项式回归
一维多项式回归的定义式为：
z=regress（vx,vy,k）。
其中：
vx为升序的实矢量（不一定等间隔，其元素的个数应大于多项式的次数）；vy是与vx同维的实矢量；k是指定的多项式次数。
函数regress（vx,vy,k）返回一个矢量，以便通过y=interp（z,vx,vy,x）确定拟合函数。
例如：
。
又如：
，
。
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