MathCAD手册.docx

1、MathCAD手册1. MathCAD2000的基础知识MathCAD是由美国Mathsoft公司于1986年推出的优秀数学软件，它集科学计算、图形和文本二维排版编辑功能于一身，是数学、物理、力学和机械工程等学科强有力的二次开发软件。MathCAD的科学计算包括：三角与代数、级数与极限、微分与积分、矢量与矩阵、复变函数、数理统计、插值拟合、求解非线性方程组和微积分方程、最优化技术以及常用工程变换等。图形功能包括：根据表达式绘制函数的直角坐标或极坐标线图、曲面图和等值线图、柱面图和散点图以及制作动画、图形文件和矩阵之间的数字化读写以及编辑。科学计算可以是数值计算或者在可能的条件下给出解析结果（称

2、为“符号运算”）。MathCAD的突出特点是：(1) 与人类的思维方式相贴近，可读性强、易于理解和查错，高效易用。例如二次方程一个根的解析表达式，在程序语言、Excel工作表和MathCAD工作表里的书写格式分别为：在一个程序语言中的书写格式为：x=(-B+SQRT(B*2-4*A*C)/(2*A)，在Excel工作表中的书写格式为：=(-B1+SQRT(B1*B1-4*A1*C1)/(2*A1)，在Mathcad2000工作表中的书写格式为：。(2) 在MathCAD里编写的数学公式几乎完全采用“数学”形式，不仅与出版要求十分一致，并且可给出计算结果（也即：公式是“活的Live”）。例如：如

3、果原始结果为 ，将2改为3后立即得 。(3) 能轻易地用图形和动画显示运算结果和过程的形象。(4) 具有符号推导功能。例如级数求和与积分的符号推导结果分别为：。(5) 集成了动画、超文本、多媒体和网络功能。(6) 其配备的结构化语言M+，是一种“活的（Live）”流程图。如：(7) 配备有数据翻译平台MathConnex，使Matlab，Excel和MathCAD等不同格式的数据能在该平台上交互引用和流动。(8) 在MathCAD里，几乎所有的操作都可以借助于“工具栏（Toolbar）”来实现，一学就会。可以说：只要懂得了数学，就能掌握MathCAD2000。1.1 MathCAD的启动和界面

4、1.1.1 MathCAD的启动启动MathCAD2000软件的方法有：(1) 调用【开始】【程序（P）】【Mathsoft Apps】【】；(2) 在“资源管理器（Explorer）”文件夹的D:Mcad2000里，双击或它的启动程序；1.1.2 MathCAD的界面MathCAD2000的程序窗口如图 11所示，其界面结构从上到下依次为：标题栏（Title bar，用于显示程序名“Mathcad Professional”和当前工作表名，如“Untitled:1”）、菜单栏（Menu bar）、常用工具栏（Standard bar）和格式工具栏（Formatting Bar）。大块地区称为

5、“工作区（Work Area）”。与其他程序窗口一样，MathCAD2000允许同时打开多个mcd文档（所不同的是：“Untitled:1”窗口仍存在）。mcd文档又称为“Worksheet（工作表）”。工作表就是通常的“文档窗口”。在工作表中，有多条（数量不限）浅灰色铅垂“边界线”。第一条边界线的右侧，还存在一条隐藏了的“纸边”分隔线（在MathCAD7.0中，是一条土黄色虚线）。纸边将工作表划分成左右两部分：左面部分称为“工作表主区”，右面部分称为“工作表副区”，其范围不受限制。边界线标志出右“页边距Margin”。“数学”工具栏（Math Palette）通常处于浮动状态（参见右图），它

6、是极为重要的工具。 程序窗口的最下部是“状态栏（Status bar）”。状态栏又称为“信息栏”，用于发布信息，以指明当前所处的操作状态，并给出进一步操作的提示。当程序窗口处于极大化状态时，标题栏上可能还会附着有MS Office工具栏（Office97工具栏）。图 11 MathCAD2000的程序窗口1.1.3 MathCAD的菜单MathCAD2000的操作手段有：下拉式菜单、快捷菜单、工具钮（Button）、鼠标（Mouse）和键盘等多种。本书以“下拉菜单”为主。为了简化书写，调用菜单和命令时，将表示成如下的格式： 调用【File】【OpenCtrl+O】。菜单或命令一律用全称（即包括

7、“热字母”，如果有的话还将包括快捷键、对话框“”和子菜单提示符“”等）并用实心方括号【 】括起；主菜单、下拉菜单、子菜单和命令一个接着一个写，其间不隔任何符号。对于英文版，名字术语还是以英文为主比较恰当，必要时才辅以中文。在MathCAD2000的菜单栏中，共有九个主菜单。这九个主菜单的下拉式菜单及其所辖命令的功能分别列于下述各小节中。1.1.4 常用工具栏在本书中，“按钮”一律用空心方括号括起；对话框名用双引号“”括起；首次出现的专用名词或易混淆的名词也以“双引号”括起。图 12 “常用工具栏”1.1.5 格式工具栏1.1.6 数学工具栏数学工具栏（Math Toolbar）图 13 矢量矩

8、阵工具栏图 14 微积分工具栏图 15 计算器工具栏1、 数值计算工具栏。图 16 数值计算工具栏图 17 逻辑运算工具栏图 18 函数图形工具栏图 19 编程工具栏2、 逻辑运算工具栏。3、 函数图形工具栏。4、 编程工具栏。5、 希腊字母工具栏。图 110 希腊字母工具栏图 111 符号运算工具栏6、 符号运算工具栏。2. MathCAD基本操作方法本章介绍MathCAD2000区域的类型和编辑、公式和文本内容的编辑、静态图形和动画的创建、对象的格式化、文件存取和打印。其中，区域编辑、图形和动画的创建以及对象的格式化叙述得比较完备。本章介绍的这些内容虽然尚未涉及数学的主要问题，但却是最基本

9、的操作技能并密切地关系到用户的工作质量和效率。2.1 区域的组成在MathCAD2000程序窗口的工作表里，可以任意设置三种区域（区域又称为“对象”）：2.1.1 数学区域数学区域（Math Region，简称“数学区”）用于键入数学公式。2.1.2 图形区域图形区域（Graphics Region，简称“图形区”）用于显示数学公式所体现的二维、三维静态图形或动态图形。2.1.3 文本区域文本区域（Text Region，简称“文本区”）用于编辑文本内容以给出必要的文字说明。为了创建文本区域，必须调用【Insert】【Text Region 】。2.2 公式的输入和编辑众所周知，所谓“公式（F

10、ormula）”，就是将“表达式（Expression）”的值赋予一个“变量”或“函数”。可见，公式由下述三部分组成：左部的变量名或函数名；右部的表达式；起连接作用的“赋值号”。变量或函数的赋值，也就是对该变量或函数进行“定义（Definition）”。2.2.1 基本概念为了正确掌握数学区的编辑技巧，必须了解与“公式”有关的一些基本概念。2.2.1.1 常量常量（Constant）可区分为：算术常量、字符串常量和逻辑常量三种类型。所谓“常量”就是直接列写的不变内容。机器能识别常量并将其用于表达式参与运算。常量不占用内存。算术常量是用数字直接表示的“数”，有：常标量（如：4，5.6，2+3i等

11、）；常矢量、常矩阵（如：4 5.6T，2+3j 6jT等）。字符串常量是用半角双引号括起的一串字符，如：abc，d+c/7，字符串常量等。逻辑常量又称为Boolean常量，它只有两个：true（或1），false（或0）。2.2.1.2 变量机器将为变量分配内存单元。通常，变量（Variable）都有一个命名，机器以变量名搜索其单元地址并进行读取（引用）或存储（赋值）。同理，变量也可区分为：算术变量、字符串变量和逻辑变量三种类型。这主要取决于赋值给变量的右端表达式的类型。对变量的赋值又称为对变量的“定义（Definition）”。2.2.1.3 函数函数（Function）与变量有很多共同点，

12、其主要差别在于：函数规定有一套明确的运算法则（自定义函数是通过表达式或程序体现运算法则的）；函数名的后面应跟随一个用半角圆括号括起的“参数表”，用于列出该函数的全部形式参数。如：f(x,y)。所谓“形式参数”就是出现在函数定义表达式中，但其自身尚未被定义过的变量（或函数）名。2.2.1.4 运算符运算符（Operator）是可执行的运算规则的一种符号代码。在MathCAD2000中，运算符只有：算术运算符和逻辑运算符两类（没有字符串运算符，字符串运算是通过函数实现的）。2.2.2 变量或函数的赋值本节主要介绍赋值号（Definition Operator）。为了弄清赋值（Assigning V

13、alues）的效果，应对变量和函数的类型有一点初步认识。有关变量、函数的详细内容，请参阅“3.1 变量和函数”。在此，仅简述如下：2.2.2.1 单值变量和区域变量只取一个值的变量，称为“单值变量”。区域变量（Range Variable）又称为“范围变量”或简称“域变量”，用于获取一系列值；区域变量也有整型和实型两种。2.2.2.2 计算结果的显示要显示表达式的“数值结果（Numerical Result）”，应采用普通等号“=”；要显示表达式的“解析结果”，应采用解析等号“”。上述两种符号可以理解为：将左部表达式赋予右部（相当于显示器）。“逻辑等号”（俗称“粗体等号”）的作用不在于“赋值”

14、，而是确保左右两个表达式“等值”。2.3 函数静态图形的创建函数图形分静态和动态两种，最主要的特征是：动态图形受控于内置变量FRAME（称为“帧变量”）。需要强调指出的是：在MathCAD2000中，所谓创建图形，主要是绘制图形上的若干“点”；至于点的形状以及点与点之间的连线（包括线型和颜色等）属于“图形格式”的内容。有了“图形格式”手段，使作图大大简化了。2.3.1 创建X-Y线图的方法与步骤现以正弦曲线的绘制作为例子，具体说明上述两种绘图方法的步骤。公式参见图 212。图 212 正弦曲线的计算公式绘图步骤为：单击工作表上某一点，以确定线图区域的原始锚位；键入纵坐标域变量yi；单击函数作图

15、工具钮或调用【Insert】【Graph】【X-Y Plot 】，创建线图区域；跳出该图形区域。图 213 正弦曲线图2.3.2 快速创建函数图形的方法在创建图形时，如果用户未指明自变量的范围，则机器会自动设置该范围（通常为：-10.10，参见图 214）。图 214 自动设置自变量范围的X-Y图2.4 动画的创建和播放相对于“静态”图形而言，“动画”是一系列静态图形的“集合”。所谓“播放动画”，就是将上述静态图形的集合逐帧展示在屏幕上。在MathCAD2000中，动画是借助“帧变量”FRAME来实现的。FRAME是MathCAD2000内置的区域变量，它包含有：起始帧（From）、终止帧（T

16、o）和播放速率（At，帧/秒）。2.4.1 动画的创建动画（Animate）实际上是函数的动态图形。由函数静态图形都可以构筑出动画，例如：每一瞬时只显示一个点元素或一条线元素（体现图形的产生过程）；图形虽全部显示，但各点的位置随FRAME变化；颜色的对应值随FRAME变化。今以正弦曲线（谐波）为例，具体说明创建动画的步骤：引入帧变量FRAME并列写相关的变量和函数（参见图 215）；利用快捷键或命令（参阅上一节），建立一个图形区；调用【View】【Animate】以弹出“Animate”对话框（参见图 216，其上有进一步操作的说明）；选定图区（这是很关键的一步，被框定的内容便是“Playba

17、ck”播放窗口中将要显示的内容，为了观察数值的变化，最好同时选定若干帧变量所在的数学区）；在“Animate”对话框中设定起始帧、终止帧和播放速率，单击Animate按钮，在“Animate”对话框的预览框中可以看到动画雏形（参见图 216）；待帧变量达到终止值时，机器会弹出“Playback”窗口（参见图 217）。半径、周期、圆频率和初相位圆方程帧变量（FRAME=090）圆上一点正弦曲线上一点摆动的水平线转动半径图 215 正弦曲线（谐波）图形图 216 “Animate”对话框幀变量看起来很像间隔为1的域变量，但幀变量绝不能按域变量加以定义（只能在“Animate”对话框设定其初值和终

18、值），否则将失去幀变量的动画功能（播放动画时恒显示第一幀）。不过，为了在印刷品中展示动画的某一幀，有必要临时地自定义幀变量。2.4.2 动画的播放“Playback”窗口（参见图 217）是播放动画用的。图 217 “Playback”窗口2.4.3 动画的保存完成了动画制作后，“Animate”对话框（图 216）中的Save As按钮变为可用的了（呈亮显）。此时，单击该对话框的Save As按钮，用于将动画保存为Windows的avi电影文件。对于同一内容，avi电影文件的尺寸比mcd文件的尺寸大出许多倍（avi电影文件的尺寸还与总帧数密切相关）。2.4.4 动画实例(1) 转动的五角星。

19、(2) 曲柄连杆机构。3. 数学计算本章介绍MathCAD2000内置函数的使用方法和可视化图形，内容涉及变量和函数、超越函数、截断函数、条件函数、复数运算、矢量和矩阵、微积分、统计分析、插值拟合、特殊函数等的数值计算。这些内容是MathCAD2000的主干，需要切实掌握。3.1 变量和函数3.1.1 变量和函数的定义3.1.1.1 变量在MathCAD2000文件中，可取得不同值的量称为变量（Variable）。凡变量都有一个名字，变量名与函数名统称为“标识符（Identifier）”。3.1.1.2 函数函数（Function）用于规定变量（包括常量）的运算法则。3.1.2 数学变量数学变

20、量和系统变量统称为“内置变量”。3.1.3 MathCAD的内置函数概要MathCAD7.0专业版共有241个内置函数。MathCAD2000专业版增加了79个内置函数并增强了原有函数的一些功能。使MathCAD2000的内置函数达到315个，这些函数构成一个“函数库”。单击Insert Function按钮或调用【Insert】【FunctionCtrl+F】，在弹出的“Insert Function”对话框（参见图 318）中，可查阅内置函数并将它们插入到公式里去：单击按钮，插入选定的函数，此时“Insert Function”对话框并不退走，以便插入其他函数；单击按钮，插入选定的函数，此

21、时“Insert Function”对话框将退走。图 318 “Insert Function”对话框3.2 复数运算对实系数代数方程求解时，常会遇到复数根，可见复数是不可回避的问题。其实，复数和复变函数本身就有广泛的应用。MathCAD2000中所有函数的参数，几乎都可视为复数。复数的虚数单位i或j前必须有数字引导（如：1i或4j），否则MathCAD2000会将i或j当作变量名。复数运算包括：复数的加减乘除四则运算、三角函数、双曲函数、对数和指数、求共轭复数、求实部和虚部、求模和幅角等。鉴于这些内容比较简单，故不予详述，仅举几例（参见图 319）。注意：转置符号AT，不能当作“上标”输入，

22、必须利用“矢量矩阵工具栏”中的Matrix Transpose按钮（它的快捷键为Ctrl+1）或调用【Symbolics】【Matrix】【Transpose】。图 319 复数运算实例。3.3 矢量和矩阵的计算在MathCAD2000中，矩阵都用“圆括号”表示，但对于超矩阵或较复杂的解矩阵仍然采用“方括号”表示。矢量可视为单列矩阵，关于矩阵的不少规则对矢量也适用。3.3.1 矢量的计算矢量是具有大小和方向并符合平行四边形法则的量。矢量又称为“向量”。3.3.1.1 矢量的点乘和模矢量点乘和模的计算结果参见图 320。图 320 矢量的点乘、模和叉乘3.3.1.2 矢量的叉乘3.3.1.3 与

23、矢量尺寸有关的函数矢量元素的个数（Number of Elements）lenhth(v)。矢量最后一个元素的下标指示数（Index of the Last Element）last(v)。矢量的行数（Number of Rows）rows(v)。矢量的列数（Number of Columns）cols(v)。3.3.1.4 创建对角矩阵由矢量创建对角矩阵的函数（Diagonal Matrix Function）diag(v)。3.3.2 矩阵的计算矩阵的元素比较多，因此列写矩阵是一件费时的工作。输入矩阵元素值的方法有：(1) 只对非零元素赋值（未赋值的元素默认为零，参见上图或图 321中的(

24、1)）。图 321 矩阵的创建图 322 “Insert Matrix”对话框(2) 利用矩阵和矢量按钮法。单击矢量矩阵工具栏（参见图 13）中的矩阵和矢量按钮或调用【Insert】【MatrixCtrl+M】，再在弹出的“Insert Matrix”对话框（参见图 322）里确定矩阵的行列数并单击钮（对话框将会隐退）或钮，而后直接在矩阵的占位符里键入内容（参见图 321中的(3)）。注意：用这种方法创建的矩阵，其元素的个数不允许超过100。3.3.2.1 矩阵的代数和众所周知，两个同阶矩阵才能进行代数和。在MathCAD2000中，允许矩阵与一个标量进行代数和，其结果等于矩阵的每个元素都与该

25、标量进行代数和（相当于先将标量扩展成每个元素都等于标量值的同阶矩阵，而后再进行代数和）。如：。3.3.2.2 矩阵的行列式矩阵行列式的计算结果参见图 323。图 323 矩阵的行列式、逆、特征值和特征矢量3.3.2.3 矩阵的乘积对于上述矩阵M和N，其乘积M*N的计算结果参见右图。除了这种“行乘列”的普通Cauchy乘积外，两个矩阵之间还可以进行多种乘积（如：Hadamard积）。在MathCAD2000中，定义有所谓“Kronecker积”（又称“直积”或“张量积”），对于给定的矩阵和它们的Kronecker积如下：。3.3.2.4 矩阵的逆矩阵的正则逆（Nornal Inverse Mat

26、rix）M-1。矩阵的左逆（Left Inverse Matrix）geninv(A)。3.4 插值与拟合插值（Interpolation）与拟合（Fitting）都是按照已知的数据点（自变量及其对应的函数值），构筑新的函数，以利由指定的自变量值计算出函数值。两者的区别在于：插值函数应通过给定的数据点，拟合函数只着眼于使总体误差尽可能小（一般并不通过给定的数据点）。3.4.1 插值函数3.4.1.1 线性插值，。所谓“线性插值（Linear Interpolation）”就是将相邻的两个给定数据点，用直线连接起来。内置函数linterp(vx,vy,x)用于确定线性插值，其中：vx为升序的实矢

27、量（不一定等间隔）；vy是与vx同维的实矢量；x是指定的预测位置（为了保证预测精度，x应在vx的范围内）。linterp(vx,vy,x)返回x所对应的预测函数值。例如：3.4.1.2 线性预测线性预测（Linear Prediction）与线性插值相仿，但指定的x常位于vx的范围之外（即所谓“外插法”）。用于线性预测的是内置函数predict(v,m,n)，其中：v为等间隔样本描述矢量；m是v中连续选取的样本个数；n是指定的预测位置数。predict(v,m,n)返回的是n个预测函数值。例如：。3.4.1.3 拉格朗日插值函数拉格朗日（Lagrange）插值函数可通过全部“给定的数据点”。，

28、。3.4.1.4 Bezier曲线由两条以上直线段组成的任意折线，总存在一条Bezier（贝竹）曲线过折线的两个端点并切于两端直线段。Bezier曲线具有：“凸包性”（曲线总处于折线的内侧）；“保凸性”（凸的折线总对应凸曲线）。例如：。3.4.1.5 三次样条函数所谓“样条（Spline）”也是一种插值方法，样条函数是对插值点的导数提出限制条件的一类插值函数。鉴于“构筑插值函数”所花时间较长，因此样条函数的构筑与插值计算是分开进行的。三次样条函数的作用是：返回由插值函数在给定数据点的二阶导数值所组成的矢量vs，以提供给interp进行插值。按端点性态不同，可将三次样条函数分为直线型、抛物线型和

29、三次曲线型三种，如表 31所示：表 31 Spline类函数Spline类函数的名称和格式Spline类函数的功能vs=cspline(vx,vy)计算插值点的二阶导数，在端点处以三次曲线连接vs=pspline(vx,vy)在端点处以抛物线连接，保证具有相等的二阶导数vs=lspline(vx,vy)在端点处以直线连接（端点的二阶导数都等于零）最常用的是三次样条函数cspline(vx,vy)，它在插值点具有连续的二阶导数并且存在三阶导数。假设已经给定了点列（vx,vy），应先利用函数cspline(vx,vy)求得矢量vs（即： vs=cspline(vx,vy) ），而后再利用 y=in

30、terp(vs,vx,vy,x) 计算出三次样条函数的值（“插值”）。其中：vx为升序的实矢量（不一定等间隔）；vy是与vx同维的实矢量。，。3.4.2 拟合函数3.4.2.1 线性拟合线性回归（Linear Regression）几乎已成了线性拟合的同义词，它的定义式为： y=slope(vx,vy)*x+intercept(vx,vy) 。其中：vx为升序的实矢量（不一定等间隔）；vy是与vx同维的实矢量。slope(vx,vy)，intercept(vx,vy)分别返回计算直线的斜率和截距。例如：。3.4.2.2 多项式回归一维多项式回归的定义式为： z=regress(vx,vy,k) 。其中：vx为升序的实矢量（不一定等间隔，其元素的个数应大于多项式的次数）；vy是与vx同维的实矢量；k是指定的多项式次数。函数regress(vx,vy,k)返回一个矢量，以便通过 y=interp(z,vx,vy,x) 确定拟合函数。例如：。又如：，。