参考一次函数应用题汇总.docx

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参考一次函数应用题汇总

中考数学一次函数应用题

 近年来，中考数学试题中出现了形式多样的生活类一次函数应用题，对培养学生学习数学的兴趣和责任感，产生了较大的影响，突破了数学教学单一知识授于的教学思想，提示着让学生去体会数学与自然、社会和人类生活的联系，从中使学生获得情感、能力、知识的全面发展。

    一、经济类一次函数应用题，其用意在于培养学生的经济意识，了解商品生产和经营活动中的知识，使学生体会到利用一次函数知识解决经济问题的乐趣，自觉地去探究现实经商活动中的一些问题。

    例1（2004年辽宁省）某厂生产一种旅行包，每个旅行包的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订一个，订购的全部旅行包的出厂单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不超过550个。

（1）设销售商一次订购量为x个，旅行包的实际出厂价为y元，写出当一次订购量超过100个时，y与x的函数关系式；

（2）求当销售商一次订购多个旅行包时，可使该厂获得利润6000元？

（售出一个旅行包的利润=实际出厂单价-成本）。

    解：

（1）y=60-（x-100）×0.02

即y=62-0.02x

（2）当x=100时，获利（60-40）×100=2000元

    ∵该厂获利６０００元，∴ｘ＞１００

由题意得：

６０－（ｘ－１００）×０．０２ｘ－４０ｘ＝６０００或（６２－０．０２ｘ）ｘ－４０ｘ＝６０００

解得　x1=600，x2=500

    ∵订购量不超过５５０个，∴只取ｘ＝５００

    答：

销售商一次订购了５００个旅行包。

    二、环保类一次函数应用题，培养学生的环保意识，引导学生。

积极主动参与环境保护活动，从小养成环境保护从小事做起，从身边做起的良好习惯，用数学知识解决环保问题比其他方法教育学生效果更好，能把环保的重要性一点一滴地渗透到学生的心灵中，使学生学有味，学能动，自然地融入数学与环境保护情境中。

    例２（２００２年黑龙江省）某气象研究中心观察一场沙尘暴从发生到结束的全过程。

开始时风速平均每小时增加２千米，４小时后，沙尘暴经过开阔沙漠地，风速平均每小时增加４千米，一段时间，风速保持不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，其风速平均每小时减少１千米，最终停止，结合风速与时间的图像，回答下列问题

（1）在y轴（　）内填入相应的数值；

（2）沙尘暴从发生到结束，共经过多少小时？

    （3）求当x≥25时，风速y（千米/小时）与时间x（小时）之间的函数关系式。

    解：

（1）由题意，当0≤x≤4时，风速每小时增加2千米，到４小时时，风速达到每小时８千米；

    当４＜ｘ≤１０时，风速再增加，到ｘ＝１０时，风速增加到（８＋４×６）＝３２千米／时，故在ｙ轴括号内填入８和３２。

    （２）由图像知，当ｘ＝２５时，ｙ＝３２因为从ｘ＝２５开始，风速平均每小时减小１千米，到风速为０时，又经过了３２小时，由２５＋３２＝５７，可知沙尘暴从发生到结束，共经过５７小时。

（３）设当ｘ≥２５时，ｙ与ｘ之间的关系式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ，把（２５，３２）（５７，０）代入，得

    ∴所求函数解析式为ｙ＝－ｘ＋５７２５≤ｘ≤５７

    本题取材沙尘暴，提示了人类生存与环境保护的关系，植被造林改造自然，征服自然的意义，用函数加图像来表述，使枯燥的函数知识闪现趣味，学生乐于走进数学。

    三、节约能源类一次函数应用题，培养学生的节能意识，了解能源与人类生存的关系，认识合理使用能源、节约能源的重要性。

节水、节电、节燃等问题与函数知识结合起来更能被学生接受。

    例３（２００１年重庆市）为加强公民的节水意识，某城市制定了以下用水收费标准：

每户每月用水未超过７立方米时，每立方米收费１．０元并加收０．２元的城市污水处理费；超过７立方米的部分每立方米收费１．５元并加收０．４元的城市污水处理费，设每户每月用水量为ｘ立方米，应交水费为ｙ元。

    （１）分别写出用水未超过７立方米和多于７立方米时，ｙ与ｘ的函数关系式；（２）如果某单位共有用户５０户，某月共交水费５４１．６元，且每户的用水量均未超过１０立方米，求这个月用水未超过７立方米的用户最多可能有多少户？

    解：

（１）由题意知：

当０≤ｘ≤７时，解析式为ｙ＝１．２ｘ０≤ｘ≤７

当ｘ＞７时，解析式为ｙ＝１．９ｘ－７＋８．４（ｘ＞７）

（2）设这个月用水未超过7m3的用户最多可能有x户，由

（1）知10m3应交水费（5.7+8.4）元，用水7m3应交水费8.4元，由题意得

（50-x）（5.7+8.4）+8.4x=541.6

    解得x=28.67

    若ｘ＝２９，此时交费的最大额为２９×８．４＋２１×１４．１＝５３９．７＜５４１．６，所以取x=28

    故未超过7m3用水户最多为28户

    此题取材于为节约水资源制订阶梯式收费政策，鼓励公民节约用水，用一次函数来表述这类问题，能教育学生节约用水从一点一滴做起，使学生认识到水是生命之源，节约用水人人有责，起到良好的国情教育。

    四、医药类一次函数应用题，用数学来表述医学科学知识，学生颇感兴趣。

    例４（２００１年南京市）某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药后２小时时血液中含药量最高，达每毫升６微克（１微克＝１０－３毫克），接着逐步衰减，１０小时时血液中含药量为每毫升３微克，每毫升血液中含药量ｙ（微克）随时间ｘ小时的变化如图所示。

    当成人按规定剂量服药后。

    （１）分别求出ｘ≤２和ｘ≥２时，ｙ与ｘ之间的函数关系式；

    （２）如果每毫升血液中含药量为４微克或４微克以上时在治疗疾病时是有效的，那么这个有效时间是多长？

    答案：

（1）y=3x（x≤2）,

y=x+（x≥2）

（2）6小时。

    五、教育类一次函数应用题，让学生关心教育事业的发展，了解我国人口增长情况与小学入学儿童数的关系，培养学生能利用所学函数知识对一些问题的结果作出预测和判断的能力，把一些社会问题用数学来表示，使问题的发展趋势清晰化，把一些抽象的数学知识与实际问题结合起来，能激发学生去观察生活，关心社会，主动地去学好数学。

    例５（２００２年辽宁省）随着我国人口增长速度的减慢，小学入学儿童数量有所减少。

下表中的数据近似地呈现了某地区入学儿童数的变化趋势。

试用你所学的数学知识解决下列问题：

（1）求入学儿童人数y（人）与年份x（年）的函数关系式；

（2）利用所求函数关系式，预测该地区从哪一年起入学儿童人数不超过1000人？

    六、保护视力类一次函数应用题，当今学生的视力状况成为社会的一大热点问题，如何教育学生注意用眼卫生，爱护眼睛，保护视力成为教育界的一个新课题，中考数学命题中能把一次函数与视力联姻无疑是一箭双雕。

    例６（２００１年吉林省）为了保护学生的视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的。

研究表明：

假设课桌的高度为ｙｃｍ椅子的高度（不含靠背）为ｘｃｍ则ｙ是ｘ的一次函数。

下表列出两套符合条件的课桌椅的高度：

（1）请确定y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；

（2）现有一把高42.0cm的椅子和一张高78.2cm的课桌它们是否配套？

请通过计算说明理由。

    解：

（1）设y=kx+b，则有

    ∴所求的函数式为y=1.6x+11

（2）当x=42.0时y=1.6×42.0+11=78.2

    ∴这套桌椅是配套的。

    中考数学中的一些社会、自然、生活等类型的一次函数应用题无疑对数学教学起到了良好的导向作用，教师在教学中自编一些社会现实（热点）问题的函数应用题，融入喜闻乐见的内容，迎合青少年的心理特点，把抽象的函数知识表述得既具体又生动，让学生在轻松愉快中步入数学殿堂

一次函数的经济应用题

经济应用题是近几年中考中的热点题型。

本文以2001年的中考题为例，谈谈这类问题的常见类型与解法，供参考。

一、 数与式型

数与式是算术和代数的交汇点，有关数与式的经济应用题，命题背景深刻，涉及的知识较多，诸如股票、销售、纳税等.解题的关键是认真阅读、分析题意，深刻理解题中的关键词、句的含义，准确地列出算式，将日常文字语言翻译成代数的符号语言.

例1 （武汉市）我国股市交易中每买卖一次需交千分之七点五的各种费用。

某投资者以每股10元的价格买入上海某股票1000股，当该股票涨到12元时全部卖出，该投资者实际盈利为（      ）

（A）2000元  （B）1925元  （C）1835元   （D）1910元

解 （12-10）×1000-10×1000×7.5‰-12×1000×7.5‰=1835.故选C.

说明 解此题时要注意看清"每买卖一次需交千分之七点五的各种费用"，否则容易出错.

例2（黄冈市）今年国家为了继续刺激消费，规定私人购买耐用消费品，不超过其价值50%的款项可以用抵押的方式向银行贷款。

蒋老师欲购买一辆家用轿车，他现在的全部积蓄为p元，只够购车款的60%，则蒋老师应向银行贷款        元.

例3（安徽省）某音像社对外出租光盘的收费方法是：

每张光盘在出租后的头两天每天收0.8元，以后每天收0.5元。

那么一张光盘在出租后的第n天（n是大于2的自然数）应收租金        元. 

【答案】 例2.； 例3.（0.6+0.5n）元.

二、 方程（组）型

方程（组）是初中数学的主线，涉及这部分知识的经济应用题，题型多种多样.解题时一般都要从建立方程（组）入手，将实际问题数学化.

例4（黑龙江省）某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机。

已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：

甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元。

（1）若商场同时购进其中两种不同型号电视机共50台，用去9万元，请研究一下商场的进货方案；

（2）若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元。

在同时购进两种不同型号电视机的方案中，为使销售时获利最的多，你选择哪种进货方案；（3）若商场准备用9万元同时购进三种不同的电视机50台，请你设计进货方案。

简解 

（1）分三种情况讨论：

①设购甲种电视机x台，乙种电视机y台，则              解得 

②设购甲种电视机x台，丙种电视机z台，则同上可得x=35，z=15；

③设购乙种电视机y台，丙种电视机z台，同理得y=87.5，z=-37.5（舍去）.

故商场的进货方案为购甲种电视机25台，乙种电视机25台；或购甲种电视机35台，丙种电视机15台.

（2）选前一方案可获利150×25+200×25=8750（元）；后一方案可获利150×35+250×15=9000（元）.故选后一方案获利多；

（3）设购甲种电视机x台，乙种电视机y台，丙种电视机z台，则

    解得x=35- 故有以下四种方案：

①当y=5时，x=33，z=12；②当y=10时，x=31，z=9；

③当y=15时，x=29，z=6；④当y=20时，x=27，z=3.

说明 此题中的

（1），因为未指明购进哪两种不同型号电视机，所以要分类讨论；（3）是求二元一次方程的正整数解，也要分类讨论.

例5（北京市宣武区）有资料显示美洲是世界上贫富差别最大的地区，美国的人均国内生产总值比海地与墨西哥的人均国内生产总值的和还要多23800美元，美国的人均国内生产总值是海地的45倍与墨西哥的4倍之和，达到29000美元。

海地与墨西哥的人均国内生产总值的比例中项是尼加拉瓜的人均国内生产总值的2倍，并且尼加拉瓜的人均国内生产总值高于海地的人均国内生产总值。

问尼加拉瓜的人均国内生产总值是多少美元？

简解 设海地的人均国内生产总值为x美元，墨西哥的人均国内生产总值为y美元.

则     解得

所以，尼加拉瓜的人均国内生产总值是 =500美元.

例6 （上海市）某电脑公司2000年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40%。

该公司预计2002年经营总收入达倒2160万元，且计划从2000年到2002年，每年经营总收入的年增长率相同，问2001年预计经营总收入为多少万元？

简解 设年增长率为x，则（600÷40%）（1+x）=2160.1+x=±1.2（负值舍去）

.所以2001年预计经营总收入为1500（1+x）=1800（万元）.

三、不等式型

例7  （荆州市）某商品的进价是1000元，售价为1500元，由于销售情况不好，商店决定降价出售，但又要保证利润率不低于5%，那么，商店最多降      元出售此商品。

（利润=销售价-进货价，利润率=利润÷进货价×100%）

解 设降x元出售此商品，由题意得≥5% ，解得x≤450. 故填450.

例8 （北京市东城区）商场出售A型冰箱每台售价2190元，每日耗电量为1度，而B型节能冰箱每台售价虽比A型冰箱高出10%，但每日耗电量为0.55度。

现将A型冰箱打折出售（打一折后的售价为原价的1/10），问商场至少打几折，消费者购买才合算（按使用期为10年，每年365天，每度电0.40元计算）

简解 设商场将A型冰箱打x折出售，消费者购买才合算.由题意，得

2190×+365×10×1×0.4≤2190×（1+10%）+365×10×0.55×0.4.

解得x≤8.即商场应将A型冰箱至少打8折，消费者购买才合算.

四、一次函数型

动态的数量变化预示着函数的广泛应用，这类试题涉及的知识层面丰富，其解法灵活多变随着中考重心由"二次"向"一次"的转移，一次函数应用题是近几年中考的热门话题，出现的频率较高.解这类问题的关键是建立函数关系式，常见的有三类：

一是通过分析数量（等量）关系直接写出函数关系式；二是用待定系数法求出函数关系式；三是建模得出函数关系式.然后运用函数的知识解决相关问题.

例9（北京市西城区）某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元。

因为在生产过程中，平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，所以为了净化环境，工厂设计两种方案对污水进行处理，并准备实施。

方案1：

工厂污水先净化处理后再排出。

每处理1立方米污水所用原料费为2元，并且每月排污设备损耗费为30000元；方案2：

工厂将污水排到污水厂统一处理。

每处理1立方米污水需付14元的排污费。

问：

（1）设工厂每月生产x件产品，每月利润y元，分别求出依方案1和方案2处理污水时，y与x的函数关系式；（利润=总收入-总支出）

（2）设工厂每月生产量为6000件产品时，你若作为厂长在不污染环境，又节约资金的前提下应选用哪种处理污水的方案，请通过计算加以说明。

 简解 

（1）设选用方案1每月利润为y元；选用方案2每月利润为y元.则

y=（50-25）x-2×0.5x-30000=24x-30000； y=（50-25）x-14×0.5x=18x.

（2）当x=6000时，y=114000（元），y=108000（元）.故应选方案1.

例10 （荆门市）随着教学手段不断更新，要求计数器进入课堂。

某电子厂家经过市场调查，发现某种计数器的供应量x（万元）与价格y（万元）之间的关系如图中供应线所示，而需求量x（万元）与价格y（万元）之间的关系如图中需求线所示。

如果你

是这个电子厂的厂长，应计划生产这种计数器多少个，每个售价多少元，才能使市场达到供需平衡？

简解 设供应线的函数解析式      

为y=kx+b，由图象知  解得   

 ∴ y=x+60.   

 同理可得，需求线的函数解析式为

令，得x=15.

此时=65.

故生产这种计数器15万个，每个售价65元，才能使市场达到供需平衡.

例11 （济宁市）某养鸡厂可同时饲养肉食鸡和蛋鸡两种鸡，由于条件限制，若单纯饲养肉食鸡最多饲养9000只；若单纯饲养蛋鸡最多饲养6000只。

（1）若饲养蛋鸡x只，则最多还能饲养肉食鸡y只，直接写出y关于x的函数关系式；

（2）蛋鸡饲养一年达到最大利润，每只获利润7元；肉食鸡饲养3个月出笼卖掉，每只获利润2元。

由于当地市场的制约，这家养鸡厂每个季度最多能卖掉肉食鸡6000只。

问这家养鸡厂年初饲养多少只蛋鸡，每季度饲养多少只肉食鸡时，一年获利润最大，最大利润是多少元？

简解 

（1）y=9000-x=9000-（0≤x≤6000）.

（2）设这家养鸡厂年初饲养x只蛋鸡，则每季度饲养（9000-）只肉食鸡时，一年获利润是p元，由题意，得 p=7x+8（9000-）=72000-5x.

又由y≤6000，得x≥2000.   

所以 2000≤x≤6000.

故当x=2000时，p有最大值72000-5×2000=62000，此时y=6000.

答 这家养鸡厂年初饲养2000只蛋鸡，每季度饲养6000只肉食鸡时，一年获利润最大，最大利润是62000元.

例12 （甘肃省）某市20位下岗职工在近郊承包50亩土地办农场。

这些地可种蔬菜、烟叶或小麦，种这几种农作物每亩地所需职工数和产值预测如下表：

作物品种 每亩地所需职工数 每亩地预计产值

蔬菜  1100

烟叶  750

小麦  600

请你设计一种种植方案，使每亩地都种上农作物，20位职工都有工作，且使农作物预计总产值最多。

简解 设种植蔬菜x亩，烟叶y亩，则小麦有（50-x-y）亩.由题意得

 ，即3x+y=90，   y=90-3x.

又设预计总产值为w，则w=1100x+750y+

600（50-x-y）=500x+150y+30000=50x+43500.

由y=90-3x≥0，且x>0，得  0

由一次函数的性质可知，当x=30时，y=0，50-x-y=20，w=45000元.

故种蔬菜30亩，小麦20亩，不种烟叶，这时20位职工都有工作（15人种蔬菜，5人种小麦），且农作物预计总产值最多，且最大值为4500元.

说明 例9是通过分析数量关系得出函数关系式；例10是用待定系数法求出函数关系式；例11、例12是先建立一次函数的模型，并求出自变量的取值范围，再根据一次函数的性质求得当自变量取临界值时，函数的最值来进行经济决策.这是这类问题的一种典型解法.

五、二次函数型

x（十万元） 0 1 2 …

   y 1 1.5 1.8 …

例13 （安徽省）某公司生产的种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件。

为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告。

根据经验，每年投入的广告费是x（十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：

（1）求y与x的函数关系式.

（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告费x（十万元）的函数关系式；（3）如果投入的年广告费为10-30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？

简解 

（1）设二次函数的解析式为，由题意得

    解得a=，b=，c=1.故

（2）S=10y（3-2）-x= .

（3）S== .由于1≤x≤3，所以当1≤x≤2.5时，S随x的增大而增大.所以，当广告费在10-25万元之间，公司获得的年利润随广告费的增大而增大.

六、统计型

例14（三明市）爱明商贸公司10名销售员，去年完成的销售额情况如下表：

销售额（单位：

万元） 3 4 5 6 7 8 10

销售员人数（单位：

人） 1 3 2 1 1 1 1

（1）求销售额的平均数、众数、中位数（单位：

万元）；

（2）今年公司为调动员工积极性，提高年销售额，准备采取超额有奖的措施。

请根据

（1）的结果，通过比较，合理确定今年每个销售员统一的销售额标准是多少万元？

   简解 

（1）答案依次为5.6万元，4万元，5万元.

（2）5万元.

例15 （新疆）一家电脑生产厂家在某城市三个经销本厂产品的大商场进行调查，产品的销量占这三个大商场同类产品销量的40%。

由此在广告中宣传，他们的产品在国内同类产品的销量占40%。

请你根据所学的统计知识，判断该宣传中的数据是否可靠：

      ；理由                                                   .

   简解 不可靠，理由是

（1）所取的样本容量小；

（2）样本的抽取缺乏随机性.

七、综合型

即是将以上各类中的某几项综合起来的问题.解答时需综合应用多方面的知识.

例16（苏州市）某园林的门票每张10元，一次使用。

考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多的游客，该园林除保留原来的售票方法外，还推出了一种"购买个人年票"的售票方法（个人年票从购买日起，可供持票者使用一年）。

年票分A、B、C三类：

A类年票每张120元，持票者进入园林时，无需再购买年票；B类年票每张60元，持票者进入园林时，需再购买门票，每次2元；C类年票每张40元，持票者进入园林时，需再购买门票，每次3元。

（1）如果你只选择一种购买年票的方式，并且你计划在一年中用80元花在该园林的门票上，试通过计算，找出可使进入该园林的次数最多的购票方式。

（2）求一年中进入该园林至少超过多少次时，购买A类年票比较合算。

简解 

（1）不可能选A类年票；若选B类年票，则可进园（80-60）÷2=10次；若选C类年票，则可进园（80-40）÷3=13次；若不买年票，则可进园80÷10=8次.故选C类年票，进园次数最多，为13次.

（2）设一年中进入该园林至少超过x次时，购买A类年票比较合算，则

             解得   ，     ∴    x>30.

所以一年中进入该园林至少超过30次时，购买A类年票比较合算.

例17 （嘉兴市）社会的信息化程度越来越高，计算机网络已进入普通百姓家。

某市电信局对计算机拨号上网用户提供三种付费方式供用户选择（每个用户只能选择其中一种付费方式）：

甲种方式是按实际用时付费，每小时付信息费4元，另加付电话话费每小时1元2角；乙种方式包月制，每月付信息费100元，同样加付电话话费每小时1元2角；丙种方式也是包月制，每月付信息费150元，但不必再另付电话话费。

   某用户为选择合适的付费方式，连续记录了7天中每天上网所花的时间（单位：

分）：

 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天

上网时间 62  40  35  74  27  60  80

根据上述情况，该用户选择哪种付费方式比较合适，请你帮助选择，并说明理由（每个月以30天计）。

简解 该用户一个月总上网时间为（62+40+35+74+27+60+80）÷7×30÷60=27（小时）.选择甲种付费方式每月应付费5.2×27=140.4元；选择乙种付费方式每月应付费100+1.2×27=132.4元；选择丙种付费方式每月应付费150元.所以选择乙种付费方式比较恰当.

例18（北京市平谷县）为进一步发展平谷县的大桃产业，县果品公司大桃研究中心又培育了`一种优质大桃的新品种，今年春季在全县范