有限元理论与技术习题弹性力学.docx
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有限元理论与技术习题弹性力学
弹性力学
填空题：
1、连续体力学包括固体力学、流体力学、热力学和电磁场力学，非连续体力学包括量子力学。
2、弹性力学所研究的范围属于固体力学中弹性阶段。
3、弹性力学的基本假定为：
连续性、完全弹性、均匀性和各向同性、变形很小、无初应力。
4、连续性假设是指：
物体内部由连续介质组成，物体中应力、应变和位移分量为连续的，可用连续函数表示。
5、均匀性和各向同性假设是指：
物体内各点和各方向的介质相同，即物理性质相同，物体的弹性常数杨氏模量和泊松比不随坐标和方向的变化而变化。
6、完全弹性假设是指：
物体在外载荷作用下发生变形，在外载荷去除后，物体能够完全恢复原形，材料服从胡克定律，即应力与形变成正比。
7、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程为：
平衡方程、几何方程和物理方程，三组方程分别表示：
应力与载荷关系、应变与位移关系、应力与应变关系。
8、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。
9、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。
10、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。
11、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。
与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。
12、建立平衡方程时，在正六面微分体的6个面上共有9个应力分量，分别为：
，其中正应力为：
，剪应力为：
，这些应力分量与外载荷共同建立3个方程。
13、建立几何方程时，线应变为，角应变为，这些应变与位移共同建立6个方程。
14、物理方程表示应力与应变的关系，即为胡克定律，其中弹性常数E和μ分别表示材料的杨氏模量和泊松比，物理方程组共包含6个方程。
15、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题，两者所研究得对象分别为等厚度薄平板和等截面长柱体。
16、平面应力问题和平面应变问题基本方程中：
平衡方程和几何方程相同，物理方程不相同。
（相同或不相同）
17、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。
15、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。
18、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。
19、弹性力学中边界条件通常可以分为：
位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。
20、弹性力学问题的解法分为解析法、变分法和差分法，就解题方法而言，又分为如下两种方法：
位移法和应力法。
21、将平面应力情况下的物理方程中的弹性模量E，泊松比
分别换成及就要得到平面应变情况下相应的物理方程。
22、位移法为物理方程与几何方程联立消除应变分量，得到应力与位移的函数方程式，再与平衡方程联立消除应力，得到载荷与位移的方程式。
简答题：
1、在弹性力学中根据什么分别推导出平衡微分方程、几何方程、物理方程，这三个方程分别表示什么关系？
答：
在弹性力学中，
（1）根据微元的力平衡分析导出了平衡微分方程，它表达变形体微元内部应力与作用在微元上外载荷之间的关系；
（2）根据微元变形的连续性推导出几何方程，它表达变形体内部应变与位移之间的关系；（3）根据广义胡克定律导出物理方程，它表达变形体内部应变与应力之间的关系。
2、简述泛函、变分原理、虚位移与最小能量原理。
虚功方程表达什么关系？
答：
泛函：
泛函也是一种“函数”，它的独立变量一般不是通常函数的“自变量”，而是通常函数本身。
泛函是函数的函数。
由于函数的值是由自变量的选取而确定的，而泛函的值是由自变量函数确定的，故也可以将其理解为函数的函数。
变分原理：
将弹性力学的基本方程－偏微分方程的边值问题转换为代数方程求解的一种方法。
虚位移：
位移边界条件所容许的位移的微小改变量。
最小能量原理：
在所有几何可能位移中，真实位移使得总势能取最小值。
虚功方程：
表达外力所做虚功与变形体内部变形能量（内能）增加之间的关系。
3、什么是平面应力问题？
什么是平面应变问题？
分别写出平面应力问题和平面应变问题的物理方程。
答：
平面应力和平面应变都是简化空间问题而设定的概念。
平面应力：
只在平面内有应力，与该面垂直方向的应力可忽略，即平面应力是指所有的应力都在一个平面内，如果平面是OXY平面，那么只有正应力σx，σy，剪应力τxy（它们都在一个平面内），没有σz，τyz，τzx。
例如薄板微小变形拉压问题。
平面应变：
只在平面内有应变，与该面垂直方向的应变可忽略，即平面应变是指所有的应变都在一个平面内。
如果平面是OXY平面，则只有正应变εx，εy和剪应变γxy，而没有εz，γyz，γzx。
例如水坝侧向水压问题。
平面应力问题物理方程平面应变物理方程
4、简述平面应力问题与平面应变问题的区别。
答：
平面应力问题是指很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时，体力也平行于板面并且不沿厚度变化。
对应的应力分量只有
，
，
。
而平面应变问题是指很长的柱形体，在柱面上受有平行于横截面并且不沿长度变化的面力，同时体力也平行于横截面并且不沿长度变化，对应的位移分量只有u和v。
5、弹性力学的基本假设，分别简述各个假设？
答：
1）连续性假定：
引用这一假定后，物体中的应力、应变和位移等物理量就可看成是连续的，因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。
2）完全弹性假定：
这一假定包含应力与应变成正比的含义，亦即二者呈线性关系，复合胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程。
3）均匀性假定：
在该假定下，所研究的物体内部各点的物理性质显然都是相同的。
因此，反应这些物理性质的弹性常数（如弹性模量E和泊松比μ等）就不随位置坐标而变化。
4）各向同性假定：
各向同性是指物体的物理性质在各个方向上都是相同的，也就是说，物体的弹性常数也不随方向变化。
5）小变形假定：
研究物体受力后的平衡问题时，不用考虑物体尺寸的改变，而仍然按照原来的尺寸和形状进行计算。
同时，在研究物体的变形和位移时，可以将它们的二次幂或乘积略去不计，使得弹性力学的微分方程都简化为线性微分方程。
6、简述材料力学和弹性力学在研究对象、研究方法方面的异同点。
答：
在研究对象方面，材料力学基本上只研究杆状构件，也就是长度远大于高度和宽度的构件；而弹性力学除了对杆状构件作进一步的、较精确的分析外，还对非杆状结构，例如板和壳，以及挡土墙、堤坝、地基等实体结构加以研究。
在研究方法方面，材料力学研究杆状构件，除了从静力学、几何学、物理学三方面进行分析以外，大都引用了一些关于构件的形变状态或应力分布的假定，这就大简化了数学推演，但是，得出的解答往往是近似的。
弹性力学研究杆状构件，一般都不必引用那些假定，因而得出的结果就比较精确，并且可以用来校核材料力学里得出的近似解答。
7、简述弹性力学的研究方法。
答：
在弹性体区域内部，考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。
即根据微分体的平衡条件，建立平衡微分方程；根据微分线段上形变与位移之间的几何关系，建立几何方程；根据应力与形变之间的物理关系，建立物理方程。
此外，在弹性体的边界上还要建立边界条件。
在给定面力的边界上，根据边界上微分体的平衡条件，建立应力边界条件；在给定约束的边界上，根据边界上的约束条件建立位移边界条件。
求解弹性力学问题，即在边界条件下根据平衡微分方程、几何方程、物理方程求解应力分量、形变分量和位移分量。
8、弹性力学中应力如何表示？
正负如何规定？
答：
弹性力学中正应力用
表示，并加上一个下标字母，表明这个正应力的作用面与作用方向；切应力用
表示，并加上两个下标字母，前一个字母表明作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个字母表明作用方向沿着哪一个坐标轴。
并规定作用在正面上的应力以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。
相反，作用在负面上的应力以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正方向为负。
有限元法
填空题：
1、利用有限单元法求解弹性力学问题时，简单来说包含结构离散化、单元分析、整体分析三个主要步骤。
2、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。
其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。
3、每个单元的位移一般总是包含着两部分：
一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。
4、每个单元的应变一般总是包含着两部分：
一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。
5、为了能从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变，还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。
6、为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为了使得相邻单元的位移保持连续，就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时，也能在整个公共边界上具有相同的位移。
7、在有限单元法中，单元的形函数Ni在i结点Ni=1；在其他结点Ni=0及∑Ni=1。
8、为了提高有限单元法分析的精度，一般可以采用两种方法：
一是将单元的尺寸减小，以便较好地反映位移和应力变化情况；二是采用包含更高次项的位移模式，使位移和应力的精度提高。
9、在有限单元法中，结点力是指结点对单元的作用力。
（√）
10、在平面三结点三角形单元的公共边界上应变和应力均有突变。
（√）
11、形函数Ni（xi,yi）=＿＿（i=j）
Ni（xi,yi）=＿＿（i≠j）
简答题：
1、有限元分析的基本思路
答：
首先，将物体或求解域离散为有限个互不重叠仅通过节点互相连接的子域（即单元），原始边界条件也被转化为节点上的边界条件，此过程称为离散化。
其次，在单元内，选择简单近似函数来分片逼近未知的求解函数，即分片近似。
具体做法是在单元上选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，这是有限元法的创意和精华所在。
而整体区域上的解函数就是这些单元上的简单近似函数的组合。
最后，基于与原问题数学模型（基本方程和边界条件）等效的变分原理或加权残值法，建立有限元方程（即刚度方程），从而将微分方程转化为一组变量或其导数的节点值为未知量的代数方程组。
从而借助矩阵表示和计算机求解代数方程组得到原问题的近似解。
2、简述有限元法求解中离散处理所遵循原则。
答：
（1）几何逼真，
（2）受力真实，（3）计算准确，（4）计算量少，（5）单元编号遵循右手准则（相邻单元编号差值最小）。
3、针对附图所示的有限元结构，组集出整体刚度矩阵K。
（单元刚度矩阵用Ke表示，单元刚度矩阵元素用
表示）。
54
单元刚度矩阵：
123243
K
=
463254
K
=
K
=
单元刚度贡献矩阵：
123456123456
K
=
K
=
123456123456
K
=
K
=
整体刚度矩阵：
123456
K
=
3、用有限元法分析实际工程问题有哪些基本步骤？
需要注意什么问题？
答：
1.结构的离散化，2单元分析2.1选择位移函数2.2载荷等效2.3单元刚度矩阵3整体分析3.1集成等效节点载荷3.2集成整体刚度
矩阵3.3约束边界条件
1）建立实际工程问题的计算模型利用几何、载荷的对称性简化模型建立等效模型
2）选择适当的分析工具侧重考虑以下几个方面：
多物理场耦合问题大变形网格重划分
3）前处理（Preprocessing）
建立几何模型（GeometricModeling，自下而上，或基本单元组合）有限单元划分（Meshing）与网格控制
4）求解（Solution）
给定约束（Constraint）和载荷（Load）求解方法选择计算参数设定
5）后处理（Postprocessing）
后处理的目的在于分析计算模型是否合理，提出结论。
用可视化方法（等值线、等值面、色块图）分析计算结果，包括位移、应力、应变、温度等；最大最小值分析；特殊部位分析。
4、在有限单元法中，位移模式应满足哪些基本条件。
答：
（1）位移模式必须包含单元刚体位移；
（2）位移模式必须包含单元的常应变；（3）位移模式在单元内要连续，且唯一在相邻单元之间要协调。
5、简述有限单元法结构刚度矩阵的特点。
答：
（1）对称性；
（2）奇异性；（3）主对角元恒正；（4）稀疏性；（5）非零元素带状分布。
6、简述有限单元法中单元刚度矩阵的性质。
答：
（1）单元刚度矩阵为对称矩阵；
（2）单元刚度矩阵为奇异矩阵；（3）单元刚度矩阵主对角线元素恒为正值；（4）单元刚度矩阵仅与单元本身有关。
7、简述有限单元法中形函数的性质。
答：
（1）形函数Ni在节点i处的值为1，在其他两个节点j，m处的值为0；
（2）在单元上任意一点处，3个形函数的和都等于1。
8、简述有限元法中选取单元位移函数（多项式）的一般原则。
答：
一般原则：
（1）广义坐标的个数应该与结点自由度数相等；
（2）选取多项式时，常数项和坐标的一次项必须完备；
（3）多项式的选取应由低阶到高阶；
（4）尽量选取完全多项式以提高单元的精度。
9、要保证有限单元法计算结果的收敛性，位移函数必须满足那些条件？
答：
（1）位移函数必须能够反映单元的常量应变；
（2）位移函数必须能够反映单元的刚性位移；
（3）位移函数在单元内部必须是连续函数；
（4）位移函数必须保证相邻单元间唯一协调。
10、为了保证有限单元法解答的收敛性，位移模式应满足哪些条件？
答：
为了保证有限单元法解答的收敛性，位移模式应满足下列条件：
（1）位移模式必须能反映单元的刚体位移；
（2）位移模式必须能反映单元的常量应变；
（3）位移模式应尽可能反映位移的连续性。
11、以三节点三角形单元为例，简述有限单元法求解离散化结构的具体步骤。
答：
（1）取三角形单元的结点位移为基本未知量。
（2）应用插值公式，由单元的结点位移求出单元的位移函数。
（3）应用几何方程，由单元的位移函数求出单元的应变。
（4）应用物理方程，由单元的应变求出单元的应力。
（5）应用虚功方程，由单元的应力出单元的结点力。
（6）应用虚功方程，将单元中的各种外力荷载向结点移置，求出单元的结点荷载。
（7）列出各结点的平衡方程，组成整个结构的平衡方程组。
12、在有限单元法中，为什么要求位移模式必须能反映单元的刚体位移？
答：
每个单元的位移一般总是包含着两部分：
一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是本单元的形变无关的，即刚体位移，它是由于其他单元发生了形变而连带引起的。
甚至在弹性体的某些部位，例如在靠近悬臂梁的自由端处，单元的形变很小，单元的位移主要是由于其他单元发生形变而引起的刚体位移。
因此，为了正确反映单元的位移形态，位移模式必须能反映该单元的刚体位移。
13、在有限单元法中，为什么要求位移模式必须能反映单元的常量应变？
答：
每个单元的应变一般总是包含着两部分：
一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。
而且，当单元的尺寸较小时，单元中各点的应变趋于相等，也就是单元的应变趋于均匀，因而常量应变就成为应变的主要部分。
因此，为了正确反映单元的形变状态，位移模式必须能反映该单元的常量应变。
14、采用有限单元法怎么样求解弹性力学问题（基本思路和基础步骤）？
答：
基本思想：
根据近似分割和能量极值原理，把求解区域离散为有限个单元的组合，研究每个单元的特性，组装各单元，通过变分原理，把问题化成线性代数方程组求解。
基本步骤：
（1）将结构进行离散化，包括单元划分、结点编号、单元编号、结点坐标计算、位移约束条件确定；
（2）等效结点力的计算；
（3）刚度矩阵的计算（先逐个计算单元刚度，再组装成整体刚度矩阵）；
（4）建立整体平衡方程，引入约束条件，求解结点位移；
（5）应力计算。
15、简述有限单元法常分析的问题。
答：
（1）静力学分析，
（2）模态分析，（3）动力学分析，（4）热力学分析，（5）其他：
接触分析、压杆稳定性分析、结构-流体耦合分析等。
16什么是等参变换单元？
为什么要采用等参变化？
答：
（1）是在取位移模式和进行图形变换时所取变换参数相同，叫做等参变换单元
（2）等参变换是为了可以把任意四边形和正方形单元联系起来。
由于等参变换的采用使等参单元的刚度、质量、阻尼、荷载等特性矩阵的计算仍在前面所表示单元的规则域内进行，因此不管各个积分形式的矩阵表示的被积函数如何复杂，仍然可以方便地采用标准化的数值积分方法计算。
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