人教版七年级数学上思维特训十七含答案线段上的动点问题.docx

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人教版七年级数学上思维特训十七含答案线段上的动点问题

思维特训（十七）　线段上的动点问题

方法点津·

所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类问题．

解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题．解题时要注意动点的起始位置和终止位置、运动方向，有时还要关注动点的运动速度，注意在运动过程中寻找等量关系．

线段上的动点问题一般有两种类型：

（1）动点无速度型，主要利用两点间的距离、线段的和差关系、线段中点的性质，结合方程求解；

（2）动点有速度型，主要利用路程＝时间×速度，结合线段有关的知识，通过方程来求解．

典题精练·

类型一　动点无速度型

1．如图17－S－1所示，A，B，C是一条公路边的三个村庄，A，B间的距离为100km，A，C间的距离为40km，现要在A，B之间设一个车站P，设P，C间的距离为xkm.

（1）用含x的式子表示车站到三个村庄的距离之和；

（2）若车站到三个村庄的距离之和为105km，则车站应设在何处？

（3）若要使车站到三个村庄的距离之和最小，则车站应设在何处？

图17－S－1

2．如图17－S－2，某公司有三个住宅小区A，B，C，A，B，C各小区分别住有职工30人、15人、10人，且这三个小区在一条大道上（即A，B，C三点共线），已知AB＝100米，BC＝200米，为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在某小区设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应该设在哪个小区？

图17－S－2

3．已知数轴上A，B两点对应的数分别为a和b，且a，b满足等式（a＋9）2＋|7－b|＝0，P为数轴上一动点，对应的数为x.

（1）求线段AB的长．

（2）数轴上是否存在点P，使PA＝3PB？

若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．

（3）在

（2）的条件下，若M，N分别是线段AB，PB的中点，试求线段MN的长．

类型二　动点有速度型

4．如图17－S－3，P是线段AB上任意一点，AB＝12cm，C，D两点分别从点P，B开始，同时向点A运动，且点C的运动速度为2cm/s，点D的运动速度为3cm/s，运动的时间为ts.

（1）若AP＝8cm.

①求运动1s后，CD的长；

②当点D在线段PB上运动时，试说明AC＝2CD.

（2）如果t＝2，CD＝1cm，试探索AP的长．

图17－S－3

5．如图17－S－4，B是线段AD上一动点，沿A→D以2cm/s的速度运动，C是线段BD的中点，AD＝10cm，设点B运动的时间为ts.

（1）当t＝2时，

①AB＝________cm；

②求线段CD的长．

（2）在运动过程中，若AB的中点为E，则EC的长是否变化？

若不变，求出EC的长；若发生变化，请说明理由．

图17－S－4

6．如图17－S－5甲，O是线段AB上一点，C，D两点分别从O，B同时出发，以2cm/s，4cm/s的速度在直线AB上运动，点C在O，A之间，点D在O，B之间．

（1）设C，D两点同时沿直线AB向左运动ts时，AC∶OD＝1∶2，求的值；

（2）在

（1）的条件下，若C，D两点运动s后都停止运动，此时恰有OD－AC＝BD，求CD的长；

（3）在

（2）的条件下，将线段CD在线段AB上左右滑动如图17－S－5乙（点C在O，A之间，点D在O，B之间），若M，N分别为AC，BD的中点，试说明线段MN的长度始终不发生变化．

图17－S－5

详解详析

1．解：

（1）如图①，当点P在线段BC上时，

车站到三个村庄的距离之和为PA＋PB＋PC＝40＋x＋100－（40＋x）＋x＝（100＋x）km；

如图②，当点P在线段AC上时，车站到三个村庄的距离之和为PA＋PC＋PB＝40－x＋x＋60＋x＝（100＋x）km.

综上所述，车站到三个村庄的距离之和为（100＋x）km.

（2）由

（1）得100＋x＝105，解得x＝5.

答：

车站设在C村左侧或右侧5km处．

（3）当x＝0时，x＋100＝100，此值最小．

答：

车站设在C村时到三个村庄的距离之和最小．

2．解：

以A小区为停靠点，则所有人的路程之和为15×100＋10×300＝4500（米），

以B小区为停靠点，则所有人的路程之和为30×100＋10×200＝5000（米），

以C小区为停靠点，则所有人的路程之和为30×300＋15×200＝12000（米）．

因为4500<5000<12000，

所以该停靠点的位置应设在A小区．

3．解：

（1）由（a＋9）2＋|7－b|＝0，得

a＋9＝0，7－b＝0.解得a＝－9，b＝7.

所以线段AB的长为b－a＝7－（－9）＝16.

（2）当点P在线段AB上时，PA＋PB＝AB，

即3PB＋PB＝AB＝16，

PB＝4，

此时7－x＝4，解得x＝3；

当点P在线段AB的延长线上时，

PA－PB＝AB，

即3PB－PB＝AB＝16，PB＝8，

此时x＝7＋8＝15.

综上所述，x的值为3或15.

（3）当点P在线段AB上时，

由M，N分别是线段AB，PB的中点，得

MB＝AB＝8，NB＝PB＝2.

由线段的和差，得

MN＝MB－NB＝8－2＝6；

当点P在线段AB的延长线上时，

由M，N分别是线段AB，PB的中点，得

MB＝AB＝8，NB＝PB＝4.

由线段的和差，得MN＝MB＋NB＝8＋4＝12.

综上所述，MN的长为6或12.

4．解：

（1）①由题意可知：

CP＝2×1＝2（cm），DB＝3×1＝3（cm），因为AP＝8cm，AB＝12cm，

所以PB＝AB－AP＝4cm，

所以CD＝CP＋PB－DB＝2＋4－3＝3（cm）．

②因为AP＝8cm，AB＝12cm，

所以PB＝4cm，AC＝（8－2t）cm，

所以DP＝（4－3t）cm，

所以CD＝CP＋DP＝2t＋4－3t＝（4－t）cm，

所以AC＝2CD.

（2）当t＝2时，CP＝2×2＝4（cm），DB＝3×2＝6（cm）．

当点D在点C的右边时，如图①所示：

因为CD＝1cm，所以CB＝CD＋DB＝7cm，

所以AC＝AB－CB＝5cm，

所以AP＝AC＋CP＝9cm；

当点D在点C的左边时，如图②所示：

因为AD＝AB－DB＝6cm，

所以AP＝AD＋CD＋CP＝11cm.

综上所述，AP＝9cm或11cm.

5．解：

（1）①因为B是线段AD上一动点，沿A→D以2cm/s的速度运动，

所以当t＝2时，AB＝2×2＝4（cm）．

②因为AD＝10cm，AB＝4cm，

所以BD＝10－4＝6（cm）．

因为C是线段BD的中点，

所以CD＝BD＝×6＝3（cm）．

（2）不变．

因为AB的中点为E，C是线段BD的中点，

所以EB＝AB，BC＝BD，

所以EC＝EB＋BC＝（AB＋BD）＝AD＝×10＝5（cm）．

6．解：

（1）设AC＝xcm，则OD＝2xcm，

又因为OC＝2tcm，BD＝4tcm，

所以OA＝（x＋2t）cm，OB＝（2x＋4t）cm，

所以＝.

（2）设AC＝xcm，则OD＝2xcm，

又OC＝2×＝5（cm），BD＝4×＝10（cm），由OD－AC＝BD，得2x－x＝×10，

解得x＝5，

所以OD＝2×5＝10（cm），

所以CD＝OD＋OC＝10＋5＝15（cm）．

（3）在

（2）中有AC＝5cm，BD＝10cm，

CD＝15cm，所以AB＝AC＋BD＋CD＝30cm.

设AM＝CM＝mcm，BN＝DN＝ycm，

因为2m＋15＋2y＝30，所以m＋y＝7.5，

所以MN＝CM＋CD＋DN＝m＋15＋y＝22.5（cm）．即线段MN的长度始终是22.5cm.