《概率论与数理统计》期末考试试题及解答.docx
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《概率论与数理统计》期末考试试题及解答
、填空题（每小题3分，共15分）
1.设事件A,B仅发生一个的概率为0.3，且P（A）P（B）二0.5，则代B至少有一个不发
生的概率为.
答案：
0.3
解：
P（ABAB）=0.3
即
0.3=P（AB）P（AB）=P（A）—P（AB）P（B）—P（AB）=0.5—2P（AB）
所以
P（AB）=0.1
P（AB）=P（AB）=1-P（AB）=0.9.
2.设随机变量X服从泊松分布，且P（X岂1）=4P（X=2），贝UP（X=3）=
答案：
1二e
6
解答：
-2
P（X乞1）=P（X=0）P（X=1）=e°：
；2；e—',P（X=2）e_，
2
由F
即2
>（X空1）=4P（X=2）知^-^2'2e_
■_■-1=0解得'-1,故
P（X=3）=-e4
6
3.设随机变量X在区间（0,2）上服从均匀分布，则随机变量Y=X2在区间（0,4）内的概率
密度为
答案：
fY（y）=
”1r\~^~r,°vy<：
4,
fY（y）=Fy（y）=—尸fX（V?
）=<4V72Jy[0,其它.
解答：
设Y的分布函数为FY（y）,X的分布函数为Fx（x），密度为fx（x）则
Fy（y）二PZy）二P（X2乞y）二P（「勺咗X沢勺）二FxCFx（_.y）
因为X~U（0,2），所以FX（=y）=0，即FY（y）二FXG.y）
故
1—I—尸，°cyc4,
fY（y）十丫（y）.fx（；y）二y
2“.o,其它.
另解在（0,2）上函数y=x2严格单调，反函数为h（y）=“『y
所以
fY（y）=fX（"厂斗"47702刀I0,其它.
4.设随机变量
X,Y相互独立，且均服从参数为，的指数分布，P（X.1）=e，，则
，P{min（X,Y）兰1}=
答案：
■=2，P{min（X,Y）乞1}=1—e-4解答：
P（X1）=1-P（XP{min（X,Y）乞1}=1—P{min（X,Y）1}
=1_P（X.1）P（Y.1）
4
=1-e
5.设总体X的概率密度为
仞1用00,其它
X!
X2/,Xn是来自X的样本，则未知参数二的极大似然估计量为
答案:
———-1
1n一二Inx
nid
解答：
似然函数为
n
lnL二nlnL1）八lnXj
dInLn丄J,丨小
一=一+区InxL0
d1
解似然方程得二的极大似然估计为
1
n1.
1n,InXi
ni4
、单项选择题（每小题3分，共15分）
1•设A,B,C为三个事件，且A,B相互独立，则以下结论中不正确的是
（A）若P（C）=1，则AC与BC也独立•
（B）若P（C）=1，则AUC与B也独立•
（C）若P（C）=0，则AUC与B也独立•
（D）若CB，则A与C也独立•（
答案：
（D）
A）,（B）,（C）
解答：
因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（
2•设随机变量X~N（0,1）,X的分布函数为G（x），则P（|X|■2）的值为
（A）2[1-：
：
」
（2）].（B）2：
」
（2）-1.
（C）2-G
（2）.（D）1-2^
（2）.（
答案：
（A）
解答：
X~N（0,1）所以P（|X|2）=1—P（|X匡2）=1—P（—2：
：
：
X=1-门
（2）：
：
」（-2）=1-[2^
（2）-1]=2[1-：
：
」
（2）]应选（A
3.设随机变量X和Y不相关，则下列结论中正确的是
（A）X与Y独立.（B）D（X-Y）=DXDY.
（C）D（X-Y）二DX-DY.（D）D（XY）二DXDY.（
答案：
（B）
解答：
由不相关的等价条件知，■=0=cov（x,y）0
D（X-Y）=DXDY+2cov（x,y）
应选（B）.
4•设离散型随机变量X和Y的联合概率分布为
（X,Y）
（1,1）
（1,2）
（1,3）
（2,1）
（2,2）
（2,3）
1
1
1
1
P
a
p
6
9
18
3
若X,Y独立，
则a,
P的值为
.A.2（
>1
1n
2
（A）a=—，f
弓=_
（A）a
=-,卩
9
9
9
9
1
（C）丄，
PJ
（D）a
5
仁丄.
6
6
18
18
答案：
（A）
解答：
若X,Y独立则有
:
-P（X=2,Y=2）=P（X=2）P（Y=2）
1i21
弋’飞小3（「）
故应选（A）
5•设总体X的数学期望为JX!
X2,|||,Xn为来自X的样本，则下列结论中正确的是
（A）Xi是丄的无偏估计量
（B）Xi是」的极大似然估计量
（C）Xi是丄的相合（一致）估计量
（D）Xi不是亠的估计量.（）
答案：
（A）解答:
EXi二，所以Xi是」的无偏估计，应选（A）
三、（7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为
0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，
求（i）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；
（2）—个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率
解：
设a二‘任取一产品，经检验认为是合格品’
B=‘任取一产品确是合格品’
则（i）P（A）=P（B）P（A|B）P（B）P（A|B）
-0.90.950.i0.02=0.857.
四、（i2分）
从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立
的，并且概率都是2/5.设X为途中遇到红灯的次数，
求X的分布列、分布函数、数学期望和方差.
解：
X的概率分布为
五、（10分）设二维随机变量（X,Y）在区域D=｛（x,y）|x_0,y_0,x，y^1｝上服从
均匀分布•求
（1）（X,Y）关于X的边缘概率密度；
（2）Z=XY的分布函数与概率
密度•
（2）利用公式fZ⑵=.一f（x,z「x）dx
其中
（x,z"0：
0空X岂1,0乞z—x乞1—x_2,0空x^1,其它一0,其它.
x^z空1.
当z0或z1时fz（z）=0
0乞z岂1时fz（z）=2°dx=2x0=2z
故Z的概率密度为
fz（Z）
2z,O^z^l,
0,其它.
Z的分布函数为
或利用分布函数法
0,z<0,
FZ（z）二P（ZEz）二P（XYEz）二2dxdy,0乞z^1,
D1
i1,za1.
0,z0,
=z2,0乞z空1,
1,za1.
「2z,0Wz兰1,
fz⑵吨⑵=0,其它.
六、
rdrd-
（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标X和纵坐标Y相
互独立，且均服从N（0,22）分布.求
（1）命中环形区域D二｛（x,y）|1乞x2•y2岂2｝的
_x2-y2
-8dxdy
（2）EZ=E（.X2Y2）=
唱_oa唱
"V丄e
8■:
0.0re8眄
r2dr
=—re甘+
o
r2
e8dr
0
2
七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位：
cmX~），今抽取容量为16的样
本，测得样本均值X=10，样本方差s=0.16.
（1）求4的置信度为0.95的置信区
2
间；
（2）检验假设HoU<0.1（显著性水平为0.05）.
（附注）如5（16）=1.746,如5（15）=1.753,如25（15）=2.132,
222
九.05（16）=26.296,厶.05（15）=24.996,厶.。
25（15）=27.488.
解：
（1）」的置信度为1-二下的置信区间为
ss
（X-t-./2（n-1）,Xt/2（n-1）—）
7nVn
X=10,s=0.4,n=16,口=0.05,t0.025（15）=2.132
所以」的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，10.2132）
2
為5（15）=24.996
15S2
151.6=24，
0.1
因为
-24：
：
：
24.996二0.05（15），所以接受H0.
《概率论与数理统计》期末考试试题（A）
专业、班级：
姓名：
学号：
单项选择题（每题3分共18分）
1.D2.A3.B4.A5.A6.B
题号
一一一
二二二
四
五
六
七
八
九
十
十一
十二
总成绩
得分
」、单项选择题（每题3分共18分）
（1）
）.
若事件A、B适合P（AB）二0,则以下说法正确的是（
（A）A与B互斥（互不相容）；
（B）P（A）=0或P（B）=0;
（C）A与B同时出现是不可能事件
（D）P（A）0,则P（BA）=0.
P0.20.30.10.4
则P{X<1.5}-（）0
（A）
（D）
0.6（B）1（C）0
（3）
设事件A1与A2同时发生必导致事件A发生，则下列结论正确的是（
（A）p（A）二P（AA2）（B）P（A）_P（AJP（A2）-1
（C）P（A）=P（AA2）（D）P（A^P（A1）P（A2^1
设随机变量X~N（-3,1）,Y〜N（2,1）,且X与Y相互独立，令Z=X-2Y，7,贝9Z~（）.
（A）N（0,5）;（B）N（0,3）;（C）N（0,46）;（D）N（0,54）.
（5）设X1X2，…，Xn为正态总体N（巴CT2）的一个简单随机样本，其中b=2卍
未知，则（）
是一个统计量。
n
22
（A）、Xi二
i4
（B）
n
2
（Xi」）
iA
（C）x」
（D）
X-J
tJ
为Ho：
」=%（%已知）
X-%
a严'n
（n二1）S2
CT2
（6）设样本Xi,X2,…，Xn来自总体X~N（J；「2）,二2未知。
统计假设
、填空题（每空3分共15分）
（1）
如果P（A）0,P（B）0,P（AB）二P（A），则P（BA）=
服从
分布（要求给出自由度）。
二、填空题（每空3分共15分）
xe~xx〉0
1.P（
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