第四节利率的计算及货币时间价值.docx

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第四节利率的计算及货币时间价值

第四节利率的计算及货币时间价值

•一、利率的计算

•

（一）单利

•利息=本金×利率×借贷期限

•本利和=本金×（1+利率×借贷期限）

•注意：

利率与期限要相对应，如使用年利率，则半年为1/2（年）；如使用月利率，则半年为6（月）。

•练习：

（1）某人借款1000元，月利率为8‰，期限为半年，则到期应付的本利和为多少？

•解：

1000×（1+8‰×6）=1048元

•

（2）某人借款1000元，年利率为8%，期限为半年，则到期应付的本利和为多少？

•解：

1000×（1+8%×1/2）=1040元

•

（二）复利

•P—本金、r—利率、n—借贷期限、S—本利和

•S1=P+P×r×1=P（1+r）1

•S2=S1+S1×r×1=S1（1+r）=P（1+r）2

•S3=S2+S2×r×1=S2（1+r）=P（1+r）3

•Sn=Sn-1+Sn-1×r×1

•=Sn-1（1+r）=P（1+r）n

•作业：

一年期定期存款利率为10%（假设三年都不变），三年期定期存款利率为11%，而你有一笔资金假设为10000元，需要投资三年，请问你会选择一次存三年还是每次存一年共存三年？

为什么？

•解：

3年×1的投资方案：

•10000（1+0.11×3）=13300元

•1年×3的投资方案：

•10000（1+0.1）3=13310元

•二、货币的时间价值

•

（一）概念

•问题：

……

•货币时间价值，是指从资金运动的观点来看，随着单位时间的伸延，货币资金发生的价值增殖量。

•在利率相同的情况下，数量上相同的终值，时间距离现在越远，其现值越少。

•

•时间相同，利率越高，同样数额的未来资金其现值越低。

•

（二）货币时间价值的表示

•货币资金时间价值一般是用利率或折现率、贴现率来表示。

•（三）货币时间价值的计算

•1、已知现值计算终值

•FV=PV（1+r）n

•2、已知终值计算现值

•PV=FV/（1+r）n

•3、现值A与终值B的比较

•方法一：

•将现值A计算成终值与B（终值）相比较；

•方法二：

•将终值B贴现成现值与A（现值）相比较。

•

•例，假设100美元的5年期公债售价为75美元。

在其他可供选择的投资方案中，最好的方案是年利率为8%的银行存款。

这两个方案哪个好呢？

•方法一：

•75×（1+8%）5=75×1.469328

•=110.1996>100

•方法二：

•100÷（1+8%）5=68.05<75

•（四）货币时间价值的经济意义

•可正确评估和考核投资货币资金的效益。

第一节货币时间价值概述

一,货币时间价值的概念

（一）货币增值的原因

货币能够增值,首要的原因在于它是资本的一中形式,可以作为资本投放到企业的生产经营当中,经过一段时间的资本循环后,会产生利润.这种利润就是货币的增值.因此,如果货币不参与生产经营而是像海盗一样被藏匿于某个孤岛上,显然不会发生增值.

（二）一般货币时间价值产生的原因

然而,并非所有的货币都需要直接投入企业的生产经营过程中才能实现增值.比如,存款人将一笔款项存入银行,经过一段时间后会自发地收到利息,因此他的货币实现了增值,我们又该如何解释呢

首先,在现代市场经济中,由于金融市场的高度发达,任何货币持有人在什么时候都能很方便地将自己的货币投放到金融市场中,参与社会资本运营,而无需他直接将货币投入器企业的生产经营.比如,货币持有者可将货币存入银行,或在证券市场上购买证券,这样,虽然货币持有者本身不参与企业的生产经营,但他的货币进入了金融市场,参与社会资本周转,从而间接或直接地参与了企业的资本循环周转,因而同样会发生增值.

总结上述货币增值的原因,我们可以得出货币时间价值的概念:

货币时间价值是指货币经过一段时间的投资和再投资后,所增加的价值.

二,货币时间价值的形式

货币的时间价值可用绝对数形式,也可用相对数形式.在绝对数形式下,货币时间价值表示货币在经过一段时间后的增值额,它可能表现为存款的利息,债券的利息,或股票的股利等.

在相对数形式下,货币时间价值表示不同时间段货币的增值幅度,它可能表现为存款利率,证券的投资报酬率,企业的某个项目投资回报率等等.

例1.企业在2005年初投资2000万元,用于某生产项目投资,2006年底该项目投入运营,2007年该项目的营业现金流入3000万元,购买材料,支付员工工资1500万元,支付国家税金300万元,则该投资项目三年内货币时间价值是多少

用绝对数表示货币时间价值3000-1500-300=1200万元,用相对数表示货币时间价值1200/3000=40%.

例2.在2005年初,企业有两个投资方案可供选择,一是项目投资,如上例;二是证券投资,需投资200万元,预计3年后本利和可达450万元,试比较两个项目的货币时间价值.

项目投资的货币时间价值已计算,现计算证券投资的货币时间价值.用绝对数表示450-200=250万元,用相对数表示250/200=125%.如果比较绝对数则项目投资较好,如果比较相对数则证券投资更优.

在现实生活中,财务管理更偏向于相对数,因为它便于人们将两个不同规模的决策方案进行直接比较.上例中比较货币时间价值的绝对值显然不恰当,因为二者的原始投入不同,而比较相对数显然更有价值.但在特定情况下（比如两个方案是互相排斥方案）,这时可能采用绝对数.

第二节一次性收付款的货币时间价值计算

由于企业财务管理中收付款的次数很多,金额也不一致,因此货币时间价值的计算比较复杂,本节我们首先讨论一次收付款的货币时间价值计算.

一,单利和复利

在货币的时间价值计算中,有两种计算方式:

单利和复利.

（一）单利

所谓单利,是指在计算利息时,每一次都按照原先融资双方确认的本金计算利息,每次计算的利息并不转入下一次本金中.比如,张某借李某1000元,双方商定年利率为5%,3年归还,按单利计算,则张某3年后应收的利息为3×1000×5%=150元.

在单利计算利息时,隐含着这样的假设:

每次计算的利息并不自动转为本金,而是借款人代为保存或由贷款人取走,因而不产生利息.

（二）复利

所谓复利,是指每一次计算出利息后,即将利息重新加入本金,从而使下一次的利息计算在上一次的本利和的基础上进行,即通常所说的利滚利.上例中,如张某与李某商定双方按复利计算利息,则张某3年后应得的本利和计算如下:

第1年利息:

1000×5%=50;

转为本金后,第2年利息（1000+50）×5%=52.5;

转为本金后,第3年利息（1050+52.5）×5%=55.125;

加上本金,第3年的本利和为1050+52.5+55.125=1157.625.

在复利计算利息时,隐含着这样的假设:

每次计算利息时,都要将计算的利息转入下次计算利息时的本金,重新计算利息,这是因为,贷款人每次收到利息,都不会让其闲置,而是重新贷出,从而扩大自己的货币价值.

比较单利和复利的计算思路和假设,我们可看出复利的依据更为充分,更为现实.因为如果贷款人是一个理性人,就应该追求自身货币价值的最大化,当然会在每次收到贷款利息时重新将这部分利息贷出去生息.因此,在财务管理中,大部分决策都是在复利计算方式下考虑投资收益和成本.

我国银行储蓄系统的利息计算采用单利方式,但这并不影响复利计算方式的科学性,因为储户一旦在储蓄存款利息到期后,总会将其取出使用或继续存款,从而保证了货币资金的继续运转.从这个角度我们可以说,即使银行采用单利计算利息,我们在现实生活中仍然按复利安排生活.

二,终值的计算

终值是指现在存入一笔钱,按照一定的利率和利息计算方式,相当于将来多少钱.在日常生活中有许多属于终值计算的问题.例如,张先生最近购买彩票,中奖100000元,他想将这笔钱存入银行,以便将来退休时抵用,设张先生还有10年退休,如按年存款利率2%计算,10年后张先生退休时能拿多少钱

终值的计算有两种方式:

单利和复利.

（一）单利的计算

设现有一笔资金,共计金额为P,存期为n年,年利率为i,则n年后的终值FVn为:

FVn=P+P·i·n=P（1+i·n）

上例中,张先生退休能拿的本利和为100000×（1+2%×10）=120000元.

（二）复利的计算

设现有一笔资金,共计金额为P,存期为n年,年利率为i,则n年后的终值FVn为:

第1年年末的本利和为P（1+i）

第2年年末的本利和为P（1+i）+P（1+i）i=P（1+i）2

第3年年末的本利和为P（1+i）2+P（1+i）2i=P（1+i）3

……

第n年年末的本利和为P（1+i）n

因此,FVn=P（1+i）n

式中,（1+i）n在财务管理学上称为复利终值系数,我们用FVIFi,n表示,它是计算复利终值的主要参数.其中i是计算货币价值的利息率,n是货币到期长度.人们可以用专门的程序在电子计算机中计算出来,以避免手工计算麻烦.

上例中,如果按复利计算,则张先生10年后退休可获得100000·FVIF2%,10=100000×（1+2%）10=100000×1.219=121900元.

三,现值的计算

所谓现值,是指将来的一笔收付款相当于现在的价值.比如,王先生的孩子三年后要上大学,需要的学费四年共计约60000元,如果按银行的利息率每年2%计算,相当于王先生现在要存入银行多少钱,才能保证将来孩子上学无忧

现值的计算也有两种方式:

单利和复利.

（一）单利的现值计算方式

在单利条件下,一笔现在的存款P,在存期为n,年利率为i的情况下,相当于n年后的P（1+n·i）的金额,因此,n年后的一笔款项FV,相当于现在的价值应为FV/（1+n·i）.因此,在单利的计算方式下,n年后的一笔款项,在利率为i的条件下,其现值PV的计算公式如下:

PVn=FV·[1/（1+n·i）]

（二）复利的现值计算方式

关于复利的现值计算,我们可以现做一个实例.比如,小李的朋友问小李,如果不考虑通货膨胀,1年后的100元钱和2年后的100元钱谁更大,大多少

要回答这个问题,首先我们无法直接比较两笔款项的绝对值,因为它们不属于同一时间,含有不同的货币时间价值,只有把它们折算为现在的价值,也就是它们分别相当于现在多少钱,才能进行绝对数比较.

1年后的100元相当于现在多少钱,要看市场货币随时间增值的程度,也就是利息率的大小,利息率越大,则1年后100元相当于现在的货币金额就越小.假设1年的利息率为2%,设1年后100元相当于现在的x元,则必然有x（1+2%）=100,x=98.04元.同样的道理,在复利条件下,设2年后100元相当于现在的x元,则必然有x（1+2%）2=100,x=96.12元.因此,在1年期的利率为2%的情况下,2年后的100元比1年后的100元价值小,相当于少现在的1.92元.

在复利条件下,一笔现在的存款P,在存期为n,年利率为i的情况下,相当于n年后的P（1+i）n的金额,因此n年后的一笔款项FV,相当于现在的价值应为FV/（1+i）n.因此,在复利的计算方式下,n年后的一笔款项,在利率为i的条件下,其现值PV的计算公式如下:

PVn=FV·[1/（1+i）n]

在财务管理学中,我们用PVIFi,n来表示1/（1+i）n,称其为复利现值系数.其中i是计算货币价值的利息率,n是货币到期时间长度.由于计算复利现值系数在n增大时比较复杂,人们通常用计算机编制程序计算.

第三节年金的货币时间价值

在日常经济生活中,我们经常会遇到有企业或个人在一段时期内定期支付或收取一定量货币的现象.比如,大学生同学在大学四年中,每年要支付金额大致相等的学费;租房户每月要支付大致相同的每月租金.这种现金的收付与平常的一次性收付款相比有两个明显的特点,一是定期收付,即每隔相等的时间段收款或付款一次;二是金额相等,即每次收到或付出的货币金额相等.在财务管理学中我们把这种定期等额收付款的形式叫做年金（Annuity）.

一,后付年金的货币时间价值计算

后付年金又称普通年金（OrdinaryAnnuity）,是指每次收付款的时间都发生在年末.比如,张先生于2000年12月31日购买了B公司发行的5年期债券,票面利率为5%,面值为1000元,利息到期日为每年12月31日.则张先生将在2001-2005年每年的12月31日收到50元的利息.这5年中每年的50元利息,对张先生来说,就是后付年金.又如李先生是一个孝子,每年的年末都要向父母孝敬2000元钱,这2000元对李先生和他的父母来说都是后付年金.

后付年金的货币价值计算有两个方面:

后付年金的终值和现值.

（一）后付年金的终值

要计算后付年金的终值,先要弄清它的含义.我们先看一个例子.小王是位热心于公众事业的人,自1995年12月底开始,他每年都要向一位失学儿童捐款.小王向这位失学儿童每年捐款1000元,帮助这位失学儿童从小学1年级读完九年义务教育.假设每年定期存款利率都是2%,则小王九年捐款在2003年底相当于多少钱

小王的捐款可用下图表示:

100010001000100010001000100010001000

1995199619971998199920002001200220032004

上图中,每个结点的1000元表示每年年底的捐款,9年捐款的终值,相当于将1999-2003年每年底的捐款1000元都计算到2003年年底终值,然后再求和.后付年金的终值,主要是指将每笔年终收付的款项,计算到最后一笔收付款发生时间的终值,再计算它们的和.设有一项后付年金,它的期限为n,金额为A,利率为i,则可用下图表示

AAA…………A

0123…………n

A（1+i）n-n

A（1+i）n-2

A（1+i）n-1

分别计算每一年收付款的终值,则

第1年收付款终值FV1=A（1+i）n-1

第2年收付款终值FV2=A（1+i）n-2

……

第n年收付款终值FVn=A（1+i）n-n

年金终值FVA=FV1+FV2+……+FVn=A（1+i）n-1+A（1+i）n-2+……+A（1+i）n-n

=A[（1+i）n-1+（1+i）n-2+……+（1+i）+1]

按上式计算年金终值,比较复杂.我们可以计算出它的简化公式.

FVA（1+i）=A[（1+i）n-1+（1+i）n-2+……+（1+i）+1]（1+i）

=A[（1+i）n+（1+i）n-1+……+（1+i）2+（1+i）]

FVA（1+i）-FVA=A[（1+i）n+（1+i）n-1+..+（1+i）2+（1+i）]-A[（1+i）n-1+（1+i）n-2+..+（1+i）+1]=A[（1+i）n-1]

iFVA=A[（1+i）n-1]

FVA=A[（1+i）n-1]/i

上式中,[（1+i）n-1]/i被称为后付年金终值,用FVIFAi,n表示,由于计算比较复杂,人们一般用电子计算机编制程序计算.

上例中,小王的九年捐款终值计算如下:

FVA=A[（1+i）n-1]/i=1000·FVIFA2%,9

1000[（1+2%）9-1]/2%=1000×9.7546=9754.6元.

例5.（矿石开发招标问题）秘鲁国家矿业公司决定将其西南部的一处矿产开采权公开拍卖,因此它向世界各国煤炭企业招标开矿.英国的托特纳姆公司和西班牙巴塞罗那公司的投标书最具有竞争力.托特纳姆公司的投标书显示,该公司如取得开采权,从获得开采权的第1年开始,每年末向秘鲁政府交纳10亿美元的开采费,直到10年后开采结束.巴塞罗那公司的投标书表示,该公司在取得开采权时,直接付给秘鲁政府40亿美元,在8年后开采结束,再付给60亿美元.如秘鲁政府要求的开矿年投资回报率达到15%,问秘鲁政府应接受哪个政府的投标

要回答上述问题,主要是要比较两个公司给秘鲁政府的开采权收入的大小.但由于两个公司支付开采权费用的时间不同,因此不能直接比较,而应比较这些支出在第10年终值的大小.试分析如下:

托特纳姆公司的方案对秘鲁政府来说是一笔年收款10亿美元的10年年金,其终值计算如下:

FVA=A[（1+i）n-1]/i=10·FVIFA15%,10

10[（1+15%）10-1]/15%=10×20.304=203.04亿美元.

巴塞罗那公司的方案对秘鲁政府来说是两笔收款,分别计算其终值:

第1笔收款（40亿美元）的终值=40×（1+15%）10=40×4.0456=161.824亿美元

第2笔收款（60亿美元）的终值=60×（1+15%）2=60×1.3225=79.35亿美元

合计终值241.174亿美元.

根据以上计算结果,秘鲁政府应接受巴塞罗那公司的投标.

（二）后付年金的现值

后付年金的现值计算在现实生活中也比较常见.比如,钱小姐最近准备买房,走看了好几家开发商的售房方案一个方案是A开发商出售一套100平方米的住房,要求首期支付10万元,然后分6年每年支付3万元,年底支付.钱小姐很想知道每年付3万元相当于现在多少钱,好让她与现在2000元/平方米的市场价格进行比较.在财务管理学中,计算后付年金的现值,就是将后付年金的每一笔收付款折算为现值在求和.设有一笔后付年金,每年收付款金额为A,期限为n期,利率为i,则后付年金的现值如下图所示:

AAA…………A

0123…………n

A（1+i）-1

A（1+i）-2

……

A（1+i）-n

如上图所示,后付年金现值PVA=A（1+i）-1+A（1+i）-2+……+A（1+i）-n

按照以上公式计算显然比较麻烦,我们可以对该公式进行推导.将上述等式两边同时乘以（1+i）,得

（1+i）PVA=[A（1+i）-1+A（1+i）-2+……+A（1+i）-n]（1+i）

=[A+A（1+i）-1+A（1+i）-2+……+A（1+i）-n+1]

（1+i）PVA-PVA=[A+A（1+i）-1+A（1+i）-2+……+A（1+i）-n+1]-[A（1+i）-1+A（1+i）-2+……+A（1+i）-n]=iPVA=A-A（1+i）-n=A[1-（1+i）-n]

PVA=A[1-（1+i）-n]/i

如果不用数学推导,我们从年金的终值公式也能算出年金现值公式.设有一笔后付年金,每年收付款金额为A,期限为n期,利率为i,则年金终值为FVA=A[（1+i）n-1]/i.将该终值折算为现值,则PV={A[（1+i）n-1]/i}（1+i）n=A[1-（1+i）-n]/i.

上式中,[1-（1+i）-n]/i被称为年金现值系数,用PVIFAi,n表示.比如PVIFA6%,6表示[1-（1+6%）-6]/6%.人们可以通过计算机编制程序进行计算.

根据上述公式,设钱小姐的住房贷款年利率为6%,则6年每年付3万元的现值为:

PV=3·PVIFA6%,6=3×4.9173=14.7915万元

二,先付年金的货币价值计算

与后付年金不同,先付年金（AnnuityDue）是指每次收付款的时间不是在年末,而是在年初.先付年金在现实生活中也很多.比如,租房户每个月在月初支付房租,学生在学期开学支付学费,等等.先付年金货币时间价值的计算包括两个方面:

终值和现值.

（一）先付年金终值

先付年金的终值和后付年金终值的计算思想相似,都是将每次收付款折算到某一时点的终值,然后再将这些终值求和.但由于先付年金和后付年金的收付款时间不同,因此二者的计算方法有所区别.我们首先将二者的货币收付时间用下图表示:

AAA…………A

0123…………n

后付年金示意图

AAA…………A

0123…………n

先付年金示意图

从上图中我们可看出,先付年金和后付年金相比,相当于整个现金收付向前提前了一年,因此与后付年金相比,先付年金的终值要大一个年度的复利增加.我们现在推导先付年金的终值计算公式.

AAA…………A

0123…………n-1n

A（1+i）

……

A（1+i）n-1

A（1+i）n

从上图可看出,先付年金的终值FVAD=FV0+FV1+FV2+……+FVn-1=A（1+i）n+A（1+i）n-1+A（1+i）n-2+……+A（1+i）1

等式两边同时乘以（1+i）-1,得

FVAD（1+i）1=A（1+i）n-1+A（1+i）n-2+……+A（1+i）0=A（1+i）n-1+A（1+i）n-2+……+A（1+i）n-n=FVA=A[（1+i）n-1]/i

因此,FVAD={A[（1+i）n-1]/i}（1+i）,即先付年金与后付年金相比,只增加了一个（1+i）的乘数.

例7（专营权使用费问题）孙女士看到在邻近的城市中,一种品牌的火锅餐馆生意很火暴.她也想在自己所在的县城开一个火锅餐馆,于是找到业内认识进行咨询.花了很多时间,她终于联系到了火锅餐馆的中国总部,总部工作人员告诉她,如果她要加入火锅餐馆的经营队伍,必须一次性支付50万元,并按该火锅品牌的经营模式和经营范围营业.孙女士提出现在没有这么多现金,可否分次支付,得到的答复是如果分次支付,必须从开业那年起,每年年初支付20万元,付3年.三年中如果有一年没有按期付款,则总部将停止专营权的授予.假设孙女士现在身无分文,需要到银行贷款开业,而按照孙女士所在县城有关扶持下岗职工创业投资的计划,她可以获得年利率为5%的贷款扶植,孙女士现在应该一次支付还是分次支付呢

对孙女士来说,如果一次支付,则相当于付现值50万元;而若分次支付,则相当于一个3年的先付年金,孙女士应该把这个先付年金折算为3年后的终值,再与50万元的3年终值进行比较,才能发现哪个方案更有利.

如果分次支付,则其3年终值为:

FVAD=20×FVIFA5%,3×（1+5%）=20×3.1525×1.05=66.2025

如果一次支付,则其3年的终值为50×FVIF5%,3=50×1.1576=57.88万元

相比之下,一次支付效果更好.

（二）先付年金现值

先付年金的现值和后付年金现值的计算思想相似,都是将每次收付款折算到现在的现值,然后再将这些现值求和.但由于先付年金和后付年金的收付款时间不同,因此二者的计算方法有所区别.我们用图形来表示先付年金的现值计算如下:

AAA…………A

0123…………n-1n

A

A（1+i）-1

A（1+i）-2

……

A（1+i）-（n-1）

因为先付年金首次支付在年初,因此可以将它看成是现值,价值为A（1+i）0,从第二年初到第n-1年初支付的年金,相当于第1年末到n-2年末的后付年金,因此可以将这部分按n-1年的后付年金现值计算,因此先付年金的现值为

PVAD=A+A[1-（1+i）-n+1]/i=A{1+[1-（1+i）-n+1]/i}

例8（住房补贴问题）周教授是中国科学院院士,一日接到一家上市公司的邀请函,邀请他作为公司的技术顾问,指导开发新产品.邀请函的具体条件如下:

（1）每个月来公司指导工作一天;

（2）每年聘金10万元;

（3）提供公司所在A市住房一套,价值80万元;

（4）在公司至少工作5年.

周教授对以上工作待遇很感兴趣,对公司开发的新产品也很有研究,决定应聘.但他不想接受住房,因为每月工作一天,只需要住公司招待所就可以了,这样住房没有专人照顾,因此他向公司提出,能否将住房改为住房补贴.公司研究了周